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Departamento de Áreas Acadêmicas IV

Curso de Engenharia de Controle e Automação

Disciplina – CEA04 - Eletromagnetismo

Professor: Tauler Teixeira Borges

ANEXOS e LISTAS DE EXERCÍCIOS

2 º SEMESTRE DE 20 10

Anexos do Capítulo 1 – ANALISE VETORIAL

Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas

Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas

SISTEMA (^) Cartesiano Cilíndrico Esférico

Cartesiano

z z

y y

x x

=

=

=

z z

y sen

x cos

=

=ρ φ

=ρ φ

= θ

= θ φ

= θ φ

z rcos

y rsen sen

x rsen cos

Cilíndrico

z z

tan (y/x) 0 2

x y 0

• 1

2 2

=

φ= ≤φ≤ π

ρ= + ρ≥

z = z

φ=φ

ρ=ρ

= θ

φ=φ

ρ= θ

z rcos

rsen

Esférico

θ= + ≤θ≤π

= + + ≥

tan y/x 0 2

tan x y z 0

r x y z r 0

• 1
• 1 2 2

2 2 2

φ=φ ≤φ≤ π

θ= ρ ≤θ≤π

= + + ≥

0 2

tan z 0

r x y z r 0

• 1 2

2 2 2

φ= φ

θ=θ

r= r

Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas

Anexos do Capítulo 2 – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO

CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR DE CARGA

ρ

= a

E

o

L

sendo:

ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante)

ρ = menor distância da linha ao ponto P [m]

a (^) ρ= versor normal à linha orientado para o ponto P

Demosntração:

Observando a figura temos:

dQ =ρL dz

R = −zaz +ρa ρ e

2 2 R = z +ρ ⇒

2 2

z R z

za a

R

R a

• ρ

− +ρ = =

ρ

Substituindo na fórmula geral acima obtemos:

( )

( )

( )

ρ

ρ ρ = +

πε +ρ

+∞ ρ − +ρ

=−∞

=

+ρ

− +ρ

πε +ρ

+∞ ρ

=−∞

= ∫ ∫ E E

4 z

dz za a

z z

za a

4 z

dz

z

E (^) z 2 23 /^2 o

L z

2 2

z

2 2 o

L

Por simetria Ez = 0.

Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): z= ρ tg α

dz = ρ αd α

2 sec

e levando na expressão acima e desenvolvendo,

( )

ρ

ρ ρ α α περ

ρ

ρ α+ρ

ρ α α

πε

ρ ρ

π

α=−π

+π α =−π

os d a 4

d a

4

E E

/ 2

/ 2

/ 2 / 2 o

L

2 23 /^2 o

L c

tg

sec

2

2

[ ] [ ] ρ

π ρ α=−π

π ρ α=−π + πε

ρ α = πε

ρ = = 1 1 a 4

a 4

E E

/ 2 / 2 o

/ (^2) L / 2 o

L sen

Daí chegamos finalmente a: (^) ρ ρ περ

ρ = = a 2

E E o

L

Logo, E é inversamente proporcional à distância ρ de P a linha ∞ com carga uniforme.

CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL DE CARGA

n o

s

a

E

sendo:

ρS = densidade superficial de

carga [C/m

2 ] (constante)

a (^) n= versor normal ao plano

orientado para o ponto P

Demosntração:

Observando a figura temos:

dQ = ρsdS=ρsρdρd φ

R = −ρaρ +za z e

2 2 R = ρ +z ⇒ 2 2

z R z

a za

R

R a

ρ +

−ρ + = =

ρ

Substituindo na fórmula geral acima obtemos:

( ) 2 2

z 2 2 o

s

z

a za

4 z

d d

0

2

0

E

ρ +

−ρ +

πε ρ +

+∞ ρρρ φ

ρ=

π

φ=

=

ρ

( )

( )

3 / 2 z 2 2 o

s z

2 s E E

4 z

a za d d

0

2

0

E = +

πε ρ +

+∞ −ρρ +ρρ ρφ

ρ=

π

φ=

= (^) ρ

ρ

Por simetria E^ ρ =^0.

( ) ( )

3 / 2 o^22

s z 3 / 2 o^22

s z z z

d

2 0

za

z

d

0

d

2

4 0

za E E

ρ +

+∞ ρρ

ε ρ=

ρ

ρ +

+∞ ρ ρ

ρ=

φ

π

πε φ=

ρ = =

Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): ρ =z tg α

dρ =z αd α

2 sec ,

e levando na expressão acima e desenvolvendo,

( )

α α

π

ε α=

ρ

α

π α α

ε α=

ρ

α+

π α α α

ε α=

ρ

= = ∫ ∫ ∫ d

/ 2

2 0

/ 2 d a

2 0

a

z z

/ 2 z z d

2 0

za E E o

s z

o

s z 3 / 2 2 2

2

o

s z z sen sec

tg

tg

tg sec

2

[ ] [ ] z

o

/ (^2) s 0 o

s z z 0 1 a 2 2

a E E + ε

ρ − α = ε

ρ = =

π cos (^) α=  (^) z o

s z a 2

E E ε

ρ = =

De uma forma mais geral, fazendo a (^) z = an  (^) n

o

s n a 2

E E ε

ρ = =

Logo, E é independente da distância (z) de P ao plano ∞ com carga uniforme.

Anexo do Capítulo 5 – FORÇAS MAGNÉTICAS, MATERIAS E INDUTÂNCIA

A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS

Polarização P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:

v

p p lim v

1 P lim

total

v 0

n v

i 1

i v 0 ∆

∑ = ∆

= ∆ →

∆

∆ → =

(Unidade: C/m

2

• mesma unidade de D )

onde n é o número de dipolos elétricos por unidade de volume ∆v

A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico (^) D com a carga elétrica livre , Q, isto é:

Q = (^) ∫ D•dS (Nota: D sai ou diverge da carga livre positiva)

Por analogia, pode-se também relacionar o campo P com uma carga, QP, que produz este campo,

sendo esta carga chamada de carga de polarização.

QP = − ∫ P•dS (Nota: P sai ou diverge da carga de polarização negativa)

A lei Gauss em termos da carga total , QT, (lei de Gauss generalizada) é expressa por:

Q T= ∫ εoE•dS

onde:

QT = Q + QP = soma da carga livre com a carga de polarização

εo = 8,854× 10

• 12 = permissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m)

Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que

relaciona os 3 campos D , E e P , para qualquer tipo de meio:

D E P

o

= ε + (Nota: No vácuo P = 0 )

Para um material linear, homogêneo e isotrópico, tem-se:

P = χeεo E [C/m

2 ]

sendo χe é a suscetibilidade elétrica do material (constante adimensional, χ lê-se “csi”). Esta

constante é relacionada com a permissividade elétrica relativa (ou constante dielétrica) do material,

εR, (grandeza também adimensional) através da expressão:

χe =εR− 1

Combinando estas 3 últimas equações obtém-se:

D = ε E onde: ε=εR εo

sendo ε a permissividade elétrica absoluta do material, dada em F/m.

Relações usando as densidades volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesmente ρ), de carga de

polarização, ρP, e de carga total, ρT:

Q (^) v dv v

= (^) ∫ ρ ∇ • D =ρv

Q (^) P dv P (^) v = (^) ∫ ρ ∇ • P =−ρP

Q (^) T dv T (^) v = (^) ∫ ρ ∇ • εo E =ρT

Anexos do Capítulo 6 – EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE

LAPLACIANO

 CARTESIANAS:

 ∇ = + +

2

2

2

2

2

2

2 V

V

x

V

y

V

z

∂

∂

∂

∂

∂

∂

 CILÍNDRICAS:

 ∇ =











 +^ +

2 2

2

2

2

2

1 1 V

V V V

ρ z

∂

∂ρ

ρ∂

∂ρ (^) ρ

∂

∂φ

∂

∂

 ESFÉRICAS:

 ∇ =











 +











 +

2 2

2 2 2 2

2

2

1 1 1 V r r^

r

V

r (^) r

V

r

∂ V

∂

∂

∂ (^) θ

∂

∂θ

θ

∂

∂θ (^) θ

∂

sen ∂φ

sen sen

SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE

Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão:

V = f(x)f(y)= XY onde X = f(x) e Y = f(y) (01)

Aplicando a equação de Laplace, obtemos:

V 0

2 ∇ = ⇒ 0 y

V

x

V

2

2

2

2

∂

∂

∂

∂ (02)

(01) → (02):

0 y

Y X x

X Y 2

2

2

2

= ∂

∂

∂

∂ (03)

Dividindo (03) por XY:

0 y

Y

Y

1

x

X

X

1

2

2

2

2

= ∂

∂

∂

∂

Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y , escrevemos:

2

2

2

2

dy

d Y

Y

1

dx

d X

X

1 = − (04)

Como (^) X = f(x)e (^) Y = f(y), então para que a equação (04) seja verdadeira, cada um dos membros

de (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de α

2 , temos:

2 2

2

dx

d X

X

1 = α (05)

2 2

2

dy

d Y

Y

1 = −α (06)

Re-escrevendo (05) e (06) temos:

X dx

d X 2

2

2

= α (07) Y dy

d Y 2

2

2

= − α (08)

Solução da equação (07) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta:

“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma

constante positiva?”

Solução : Função trigonométrica hiperbólica em seno ou co-seno. Assim:

X = A cos hαx+B sen hα x (09)

Solução da equação (08) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta:

Aplicando a última condição de contorno (iv), V = Vo em x = c, 0 < y < d, obtemos:

d

n y

d

n c V V 1 n h n 1

o

π π = (^) ∑

∞

=

sen sen 0 < y < d (6)

ou

d

n y V bn n 1

o

π = (^) ∑

∞

=

sen 0 < y < d (7)

onde,

d

n c b (^) n V 1 n h

π = sen (8)

A equação (7) pode representar uma série de Fourier em seno para f(y) = V(y) = Vo em 0 < y < d

(região de interesse) e f(y) = V(y) = – Vo em d < y < 2d, repetindo a cada período T = 2d. O gráfico

desta função é mostrado na figura abaixo.

Sendo a função ímpar, o coeficiente bn é dado por:

dy d

n y f(y)sen T

2 b

T

y 0

n

π = (^) ∫ =

n=1,2,3,...

ou

( ) dy

d

n y V sen d

1 dy d

n y V sen d

1 b (^) o

2 d

y d

o

d

y 0

n

π

• ∫ −

π = ∫ = =

Resolvendo as integrais, obtemos:

para n ímpar n

4 V b

o n π

= (9)

e

bn = 0 para n par

Substituindo bn de (9) em (8) e isolando V1n chegamos a:

d

n c n h

4 V V

o 1 n π π

=

sen

(10)

Finalmente, substituindo (10) em (5) obtemos a expressão para o potencial como:

d

n y

d

n x h

d

n c n h

4 V V

o

ímpar

n 1

π π

π π

= (^) ∑

∞

=

sen sen

sen

0 < x < c, 0 < y < d (11)

ou,

d

n c n h

d

n y

d

n x h 4 V V

ímpar

n 1

o

π

π π

∑ π

=

∞

= sen

sen sen

0 < x < c, 0 < y < d (12)

Anexos do Capítulo 7 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO

ROTACIONAL

 CARTESIANAS: (^) z

y x y

x z x

z y

y

H

x

H

x

H

z

H

z

H

y

H H a a a

    















  + − 

  



• − 













 ∇× = −

 CILÍNDRICAS:

( )

z

z z H 1 H H

z

H

z

1 H H H a a a

    

















• − 















• − 













 ∇× = −

  

 



 ESFÉRICAS:

( ) ( )



  

H a a

   

r

H rH

rsen

1

r

H H 1

rsen

(^1) r r (^) 















• − 













 ∇ × = −

sen ( ) 



a

H^ 

r

rH

r

1 r

Analogias entre as equações da eletrostática e da magnetostática

ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA

1) Densidade de fluxo elétrico

D (^) o E

  = ε (no vácuo)

1) Densidade de campo magnético

B (^) o H

  = μ (no vácuo)

2) Fluxo elétrico

D d S S

  ψ = •

2) Fluxo magnético

B d S S

  Φ = •

3) Lei de Gauss da eletrostática

ψT =∫S D • dS=Q int

 

3) Lei de Gauss da magnetostática

B dS 0 S



4) Divergência da densidade de fluxo elétrico

∇ • D =ρ v

 

4) Divergência da densidade de fluxo magnético

∇ • B = 0

 

5) Rotacional do campo elétrico

∇ ×E = 0

 

5) Rotacional do campo magnético

H J

   ∇× =

6) Circulação do campo elétrico

∫ E^ • dL=^0

 

6) Circulação do campo magnético

H dL I J d S S

   

∫ •^ = =∫ •

Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral

que relaciona os 3 campos B

 , H

 e M

 em qualquer tipo de meio:

H M

B

o

 



= + μ

⇒ B (^) o( H M)

   = μ + (Análoga a D (^) oE P

   = ε + )

Para um meio linear e isotrópico , pode-se relacionar M

 linearmente com H

 por:

M (^) m H

  = χ (Análoga a P (^) e oE

  = χε )

sendo χm chamada de susceptibilidade magnética (constante adimensional).

Substituindo M

 na expressão geral, e arranjando os termos, obtemos a conhecida relação:

B H

  =μ

onde:

μ =μR μ o = permeabilidade magnética absoluta (unidade: H/m)

μ (^) R = 1 +χ m = permeabilidade magnética relativa (constante adimensional)

CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO

Aplicando a lei de Gauss do campo magnético ao pequeno cilindro da figura, fazendo ∆h→0,

temos:

B dS 0 S ∫ •^ =

  ⇒ B (^) n 1 ∆S−Bn 2 ∆S= 0

Donde:

B (^) n 1 = Bn 2 ⇒

B= μ H

n 2 1

2 H (^) n 1 H μ

μ = (^) ⇒

M= χ (^) mH

n 2 m 2 1

m 1 2 M (^) n 1 M χ μ

χ μ

Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua , isto é, não se altera.

Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos:

∫ H^ •^ dL=I enlaçada

  ⇒ H (^) t 1 ∆L−Ht 2 ∆L=K∆L

Donde:

H (^) t 1 − Ht 2 =K ⇒

B= μ H K

B B

2

t 2

1

t 1

μ

− μ

⇒

M= χ (^) mH K

M M

m 2

t 2

m 1

t 1

χ

− χ

Logo, a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera-

se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em

forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por:

(H 1 H 2 ) an 12 K

    − × =

onde an 12

 é o versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a região 2 (ver figura).

Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtemos:

H (^) t 1 = Ht 2 ⇒

B= μ H

2

t 2

1

Bt 1 B

μ

= μ

⇒

M= χ (^) mH

m 2

t 2

m 1

Mt 1 M

χ

= χ

Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua , isto é, não se altera quando não

existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios.

CIRCUITO MAGNÉTICO

A análise de um circuito magnético é feita por analogia com a análise de circuitos elétricos de

corrente contínua constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses

circuitos.

CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO

1) Intensidade de campo elétrico

E = −∇ V

 

1) Intensidade de campo magnético

H = −∇V m

 

2) Diferença de potencial elétrico

= (^) ∫ •

B

A

VAB E dL

 

2) Diferença de potencial magnético

= (^) ∫ •

B

A

Vm (^) , AB H dL

 

3) Lei de Ohm, forma pontual

J E

  =σ

3) Densidade de fluxo magnético

B H

  =μ

4) Corrente elétrica

= (^) ∫S J • dS

  I

4) Fluxo magnético

Φ = (^) ∫ •

  B dS S

5) Resistência (R)

S

L R σ

=

5) Relutância (ℜ)

S

L

μ

ℜ=

6) Lei de Ohm

V =R I

6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos

Vm =ℜ Φ

7) Lei de Kirchhoff das malhas

∫ E^ •^ dL=^0

 

7) Lei circuital de Ampère

∫ H^ •^ dL=Ienlaçada

  ou (^) ∫ H • dL=NI

 

9 – Dados os pontos P = ( 6, 125

o , - 3) e Q = ( 3, - 1, 4), determine a distância:

a) de P a té a origem; Resp = 6.

b) de Q até o pé da perpendicular ao eixo Z que passa por ele; Resp = 3.

c) entre P e Q. Resp =11.

10 – Dados os pontos P = ( 3, 30

o , - 1) e Q = (1, 2, 3):

a) Determine a distância entre P e Q; Resp = 4.

b) O ponto Q em coordenadas cilíndricas; Resp = 2.24 , 63.

o , 3

c) A componente escalar do vetor definido da origem ao ponto P na direção de Q.

Resp =0.

11 – Considerando um campo escalar T = 240 + z

2

- 2xy:

a) Expresse o campo T em coordenadas cilíndricas; Resp = 240 + z

2

- 

2 sen(2  )

b) Se a densidade do campo é expressa por e

- z (2 + 

3 cos

2  ), determine-a no ponto (-2, - 5, 1).

Resp = 8.

12 – Transforme cada um dos vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado:

a) A = 5 ax em P (4, 120

o , 2); Resp = - 2.5 a  - 4.33 a 

b) B = 6 ay em Q (4, 3, - 1); Resp = 3.6 a  + 4.8 a 

c) C = 4 ax – 2 ay – 4 az em R (2, 3,5). Resp = 0.55 a  - 4.44 a  - 4 az

13 – Dados os pontos A (6, 110

o , 125

o ) e Q (3, - 1 , 4):

a) determine a distância de Q a origem; Resp = 5.

b) Qual é a distância de A até o plano y = 0?Resp = 4.

c) Qual é o modulo do vetor que se estende de A até Q? Resp = 10.

14 – Expresse campo vetorial W = ( x

2

- y

2 ) ay + xz az:

a) em coordenadas cilíndricas no ponto P (6, 60

o , - 4); Resp = - 15.59 a  - 9 a  - 12 az

b) em coordenadas esféricas no ponto Q (4, 30

o , 120

o ). Resp = - 3.87 ar + 0.232 a  + a 

15 – Um campo vetorial é definido no ponto P (10, 30

o ,

o ) como sendo

G = 3 ar + 4 a  + 5 a  :

a) Determine a componente vetorial de G normal a superfície r =10; Resp = 3 ar

b) Determine a componente vetorial de G tangente ao cone  = 30

o ; Resp =3 ar + 5 a 

c) Determine a componente vetorial de G na direção do vetor R = 6 ar + 8 a  ;

Resp = 3.48 ar + 4.46 a 

d) Determine um vetor unitário perpendicular a G e tangente ao plano  = 60

o .

Resp =  (0.8 ar – 0.6 a  )

Capítulo 2 - Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico

1 – Dados três cargas pontuais, Q1 = 1 mC, Q2 = 2 mC e Q3= 3 mC, estão localizadas nos

pontos Q1 ( 1, 2, 3), Q2 (-2, 5, 2) e Q3 (0, 1, 2), pede-se:

a) Determine o módulo da Força que Q1 exerce em Q2; Resp = 945.6 N

b) Qual é o valor da força resultante sobre Q1? Resp = 5877.46 ax – 4572,54 ay + 5442.5 az

2 – Uma carga pontual Q1 = 2 mC está localizada no ponto P1 (-3, 7, - 4), enquanto uma carga

Q2 = - 5 mC, esta localizada no ponto P2 (2, 4, - 1), determine:

a) força que atua em Q1; Resp = 1.59 ax - 0.956 ay + 0.956 az kN

b) A força que atua em Q2; Resp = - 1.59 ax + 0.956 ay - 0.956 az kN

c) Qual é a localização de uma carga Q3 = 3mC, que está sujeita atuação de uma força,

devido somente a carga Q1 dada por: F = 13481 ar N? Resp = (-3.7, 8.63, - 4.93)

3 – Sendo dadas três cargas: Q1 = 1  C, em P1(1, 2, 3); Q2 = - 2  C em P2 (2, 1, 0) e Q3 = 3

 C em P3 (0, 0, 2). Calcule o valor do campo elétrico total na origem.

Resp = 3014.96 ax + 1271.61 ay – 515.37 az

4 – Sendo dadas duas cargas: Q1 = 2  C, em P1(-3, 7, - 4) e Q2 = - 5  C em P2 (2, 4, - 1), para o

ponto P (12, 15, 18), determine:

a) O vetor campo elétrico; Resp = - 19,11 ax – 28.79 ay – 42.65 az V/m

b) a intensidade do campo elétrico; Resp = 54. 89 V/m

c) Um vetor unitário no sentido do campo elétrico. Resp = – 0.35 ax – 0.52 ay – 0.78 az

5 – Tendo uma densidade volumétrica  V = 10 z e

- 0.1x sen (  y), para uma superfície definida

nos intervalos: - 1  x  2 ; 0  y  1 e 3  z  3.6. Determine o valor total da carga.

Resp = 35.9 C

6 – Tendo uma densidade volumétrica  V = 4 x y z, para uma superfície definida nos

intervalos: 0    2 ; 0     /2 e 0  z  3. Determine o valor total da carga.

Resp = 36 C

7 – Considerando uma distribuição linear de carga infinita sobre o eixo Z, com um valor

constante de densidade  L = 30 nC /m. Calcule o valor do campo elétrico no ponto P (2, 2, 4).

Resp = 135.29 ax + 135.29 ay

8 – Uma linha infinita carregada com densidade linear constante  L = 25 nC /m, está situada

sobre a reta x = - 3, z = 4. Determine o valor de E em coordenadas cartesianas:

a) na origem; Resp = 53.9 ax – 71.9 az

b) no ponto P1 (2, 15, 3); Resp = 86.4 ax – 17.3 az

c) no ponto P2 (4, 60

o , 2); Resp = 77.5 ax – 31 az

9 – Sendo uma superfície plana infinita com densidade de carga constante  S = 3 nC /m

2 ,

localizada em z = 2, e outra superfície com  S = 2 nC /m

2 , localizada em x = 3, determine a

intensidade de campo elétrico no ponto P ( 2, 1, 8).

Resp = 203.3 V/m

10 – Três superfícies plana infinitas e carregadas localizam-se no vácuo da seguinte maneira:

2  C/ m

2 em x = - 3; - 5  C/ m

2 em x = 1 e 4  C/ m

2 em x = 5. Determine o campo elétrico:

a) na origem; Resp = 169.4 ax KN

b) no ponto ( 2.5, - 1.6, 4.7); Resp = - 395 ax KV/m

c) no ponto ( 8, - 2, - 5 ); Resp = 56.5 ax KV/m

d) no ponto ( - 3.1, 0, 3.1); Resp = - 56.5 ax KV/m

11 – Dado o campo elétrico E = 15x

2 ax + 5y

3 ay, determine a equação das linhas de força no

ponto P (2, 3, - 4).

Resp = 6x – 2y – xy

12 – Determine a equação de linha de força que passa pelo ponto P ( 1, 2, 3):

a) Para E = y ax + x ay; Resp = y

2

- x

2 = 3

b) Para E = (x + y) ax + (x – y) ay; Resp = y

**2

• 4xy – x**

2 = 7

9 – Dado vetor densidade de fluxo D = 2xy ax + x

2 ay, calcule o valor da carga envolvida por

um paralelepípedo retângulo formado pelos planos x = 0, x =1, y = 0, y = 2 e z = 0, z = 3.

Resp = 12 C

e) 10 – Dado o campo D = (20 / r) sen  sen (  /4) a  , na região 3  r  4, 0     /4, 0   

2  , determine o valor da carga total contida nesta região.

Resp = 40 C

Capítulo 4 – Energia e Potencial

1 – Determine o trabalho para se mover uma carga de 20 C do ponto P (1,0,2) até o ponto Q

(0,1,3) sob a ação de um campo elétrico E = x

3 z ax + ay + 2yz az, ao longo dos segmentos

de reta (1,0,2) para ((0,0,2); (0,0,2) para (0,1,2) e (0,1,2) para (0,1,3). Resp = - 110 J

2 – Qual o valor do trabalho para se mover uma carga de – 10 C da origem ao ponto P (1,2,3),

sob a ação de um campo elétrico E = 6x

2 y ax + 2x

3 ay + 6z az, através do caminho

definido pela linha reta y = 2x , z = 3x. Resp = 310 J

3 – Uma carga de 1.6 nC, está localizada na origem. Determine o potencial em r = 0.7 m se:

a) a referência está no infinito; Resp = 20.5 V

b) a referência está em r = 0.5 m; Resp = - 8.22 V

c) V = 5 V em r = 1 m. Resp = 11.16 V

4 – Dados os pontos A = (1,2,3) e B = (2,0,5), determine a diferença de potencial entre A e B:

a) considerando uma distribuição linear de carga,  L =10 pC, sobre o eixo z; Resp = - 0.02 V

b) considerando uma distribuição superficial de carga,  S =2 pC, em z = 0; Resp = 0.23 V

5 – Dado o potencial V = 50 x

2 yz +20y

2 , determine o valor de potencial e o campo elétrico no

ponto P (1,2,3) Resp = 380 V; - 600 ax – 230 ay – 100 az

6 – Dentro de uma esfera de raio =1, o potencial é dado por V = 100 + 50 r + 150 r sen  sen .

Determine o valor do Campo elétrico no ponto P (1, 90

o , 0

o ). Resp = - 50 ar – 150 a 

7 – Duas esféricas condutoras concêntricas de raios a = 6 cm e b = 16 cm possuem cargas

iguais e opostas, sendo 10

- 8 C na esfera interior. Assumindo que  =  0 , na região entre as

esferas, determinar: a) o máximo valor do módulo de campo elétrico entre as esferas.

Resp = 25 kV/m

b) a diferença de potencial entre as esferas. Resp = 936 V

c) a energia total armazenada na região entre as esferas. Resp = 4.69  J

8 – Calcular a energia armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento 15 cm e

condutores interno e externo de raios 3 e 6 cm, respectivamente, supondo que a

densidade superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a  s = 2 n C/ m

2 .

Resp = 133 pJ

9 – Encontre a energia armazenada na região esférica r  10, para os seguintes campos de

potencial: a) V = 100 r

2 e b) V = 100 r

2 sen . Resp = a) 44.5 mJ, b) 33.4 mJ

Capítulo 5 – Condutores, Dielétricos e Capacitância

1 – Para uma densidade de corrente J = 10 y

2 z ax – 2 x

2 y ay + 2 x

2 z az, e superfície

estabelecida por x = 3, 2  y  3 e 3.8  z  5.2, determine:

a) o módulo da densidade de corrente no centro da área; Resp = 296 A/m

2 ;

b) A corrente total que atravessa a superfície. Resp = 399 A

2 – Para um condutor sob a ação de um campo elétrico E = 400 ax – 290 ay + 310 az, e um

ponto P (-2, 4 , 1), situado na superfície do condutor:

a) Determine a intensidade de campo elétrico no ponto P; Resp = 583 V/m.

b) Determine a densidade superficial de carga no ponto P. Resp = 5.16 nC/m

2

3 – Uma pequena esfera metálica de 10 pC, sobre o eixo x, está a 6 m de um plano condutor,

definido em x = 0. Qual é o valor do vetor campo elétrico num ponto médio entre a carga

e o plano? Resp = 11 ax mV/m

4 – Uma carga pontual igual a 18  C está localizada no eixo z a 0.4 m do plano condutor z = 0.

Determine a densidade de fluxo elétrico nos pontos:

a) (0.3, 0.4, 0); Resp = - 4.36  C / m

2

b) (0, 0.2, 0.2). Resp = 19.77  C / m

2

5 – Determine a capacitância de um capacitor de placas paralelas, com as seguintes

características: d = 8 mm, S = 2 m

2 e  R = 250. Resp = 0.553  F

6 - Determinar a capacitância de um capacitor esférico de raios 2 mm e 3 mm em função de .

Resp = 0.075 

7 - Determinar o valor da capacitância de um capacitor coaxial de raios 2 e 3 mm e

comprimento de 3 m, para um  R = 1.6. Resp = 61.7 pF

8 – Duas superfícies esféricas de raios 6 cm e 2 cm, são concêntricas e condutoras perfeitas. O

material que preenche a região entre elas tem uma condutividade  = 80 mho /m. Se a

densidade de corrente J = [ 10 /  r

2 ] ar, para 2  r  6, determine:

a) A corrente que flui de uma esfera para a outra; Resp = 40 A

b) O campo elétrico na região entre as esferas; Resp = [ 1 / 8  r

2 ] ar

c) A diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras; Resp =1.326 V

d) A potência total dissipada no material condutor; Resp = 53.05 W

Capítulo 6 – Equações de Poisson e de Laplace

1 – Determine o Laplaciano de:

a) 1 /

2 2 x + y ; b) 1 /  ; c) 1 / r.

Resp = a) ( x

**2

• y**

2 )

- 1. , b) 1/ 

3 , c) 0

2 – Seja o potencial no vácuo, expresso por V = 8 x

2 y z:

a) Determine o campo elétrico no ponto P ( 2, - 1 ,3 ); Resp = 139.48 V /m

b) Determine o valor da densidade volumétrica em P; Resp = 425 pC / m

3

c) Determine a equação da superfície equipotencial que passa pelo ponto P. Resp ( x

2 yz +12 = 0)