Apostila de Cálculo Vetorial, Notas de estudo de Cálculo

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PET-CEM

Apostila de Cálculo Vetorial

Iury de Araujo

Com o intuito de auxiliar no aprendizado de algumas disciplinas o grupo PET-CEM resolveu incluir em suas atividades o desenvolvimento de algu- mas apostilas. Tais apostilas foram feitas em cima da ementa da matéria de interesse, bem como do seu livro texto. Como mencionado acima, o objetivo desta apostila é auxiliar os estudos, em momento algum o aluno deve deixar de lado a leitura do livro texto e o aproveitamento em sala de aula com o professor. Esta apostila contém somente as principais fórmulas do cálculo vetorial, sem suas deduções nem condições de uso. Portanto, para a leitura da mesma, é tido como pré-suposto que o graduando ja tenha em mente o que existe por traz dessas "simples fórmulas". Com isso, é fundamental, antes do apoio desta apostila, que o aluno ja tenha tido um contato mais completo com a matéria.

Capítulo 1

Unidade I

1.1 Operações Vetoriais

As operações vetoriais, tais como as escalares, são: adição; subtração; e multiplicação. Esta última podendo ser escalar ou vetorial, como veremos no decorrer do capítulo.

1.1.1 Adição e subtração

São as operações mais simples a serem feitas, apenas sendo somados os ve- tores termo a termo.

Exemplo 1 (Adição e Subtração vetoriais) Sendo, → u=< 1 , 2 , 3 > e → v =< 3 , 2 , 1 >, calcule :

a)u+v: u+v=<1,2,3>+<3,2,1> u+v=<1+3, 2+2, 3+1> u+v=<4, 4, 4,>

b)u-v: u-v=<1,2,3>-<3,2,1> u-v=<1-3, 2-2, 3-1> u-v=<-2, 0, 2,>

1.1.2 Multiplicações Vetoriais

São duas as operações possíveis: a primeira resulta um um escalar, e por isso chamada de Multiplicação Escalar Vetorial; já a segunda tem como resultado um vetor e por isso se diz que é uma Multiplicação Vetorial. Na escalar, tem-se a multiplicação, termo a termo, dos vetores, para então a soma desses resultados.

5

A notação usada para o vetor diretor foi só para uma melhor visualização da equação. Mas, deve-se lembrar de que estamos tratando de cálculo vetorial, ou seja, os termos → r e → r 0 , também são vetores. Eles são, para esclarecimento, vetores que fornecem a posição de um ponto na reta em relação à origem do sistema de coordenadas.

Exemplo 4 Determine a equação paramétrica da reta que passa pelos pon- tos (4, − 1 , 2) e (1, 1 , 5). →São dados dois pontos pertencentes a reta. →Um deles será diretamente usado da equação de parametrização. →Ambos os pontos serão usados para denir um vetor diretor da reta. →Feito isso, basta colocar os resultados obtidos na equação de parametriza- ção e o problema estará resolvido. r 0 =< 4 , − 1 , 2 > → v = (1, 1 , 5) − (4, − 1 , 2) =< 1 − 4 , 1 − (−1), 5 − 2 > → v =< − 3 , 2 , 3 >

→ r = → r 0 +t → v → r (^) = < 4 , − 1 , 2 > +t < − 3 , 2 , 3 > → r(t) = < 4 − 3 t, 2 t − 1 , 3 t + 2 >

Exemplo 5 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (− 2 , 2 , 4) e é perpendicular ao plano 2 x − y + 5z = 12. →É fornecido um ponto pertencente a reta e é dito que a mesma é perpen- dicular a um plano. →Temos um ponto na reta, nos falta somente um vetor diretor, aqui cha- mado de → v , para a mesma. Como foi dito que ela é ortogonal ao plano, logo seu vetor → v poderá ser o vetor normal do plano, aqui chamado de → n . →Sabendo disso e por inspeção à equação do plano que foi fornecida, temos o vetor → v da reta. →Caso o leitor não se lembre, o vetor

→ n (^) do plano é facilmente obtido ins- pecionando os coecientes das variáveis x,y e z, da equação do plano. No caso o vetor normal será:

→ n=< 2 , − 1 , 5 >. →Tendo essas informações, basta substituir na equação da reta. → r → 0 =< − 2 , 2 , 4 > n= → v =< 2 , − 1 , 5 >

→ r = → r 0 +t → v → r = < − 2 , 2 , 4 > +t < 2 , − 1 , 5 > → r(t) = < 2 t − 2 , 2 − t, 5 t + 4 >

1.2.2 Planos

Para determinar a equação de um plano são necessários, um ponto perten- cente ao mesmo e o seu vetor normal. Assim sendo, denimos um ponto genérico no plano e dizemos que o vetor formado pelos pontos no plano, o genérico e o tido, será ortogonal ao vetor normal do plano. Ou seja, mate- maticamente, temos que:

n • (r−r 0 ) = 0

Considerando um espaço tridimencional e espandindo os termos com as operações vetoriais, camos com:

a(x-x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0

Sendo:

→n = <a, b, c>, um vetor normal ao plano; →r 0 = <x 0 , y 0 , z 0 >, um ponto pertencente ao plano; e →r = <x ,y ,z>, um ponto genérico do plano.

Exemplo 6 Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2, 1 , 0) e é paralelo a x + 4y − 3 z = 1. →Ponto pertencente ao plano é dado. →É dito que é paralelo a outro plano. Com isso, podemos usar o vetor normal do plano fornecido para obter a equação do novo plano. → r →^0 =<^2 ,^1 ,^0 > n=< 1 , 4 , − 3 >

a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0 1(x − 2) + 4(y − 1) − 3(z − 0) = 0 x − 2 + 4y − 4 − 3 z = 0 x + 4y − 3 z = 6

Exemplo 7 Determine a equação do plano que passa por (3, − 1 , 1), (4, 0 , 2) e (6, 3 , 1). →Três pontos no plano são dados. →Naturalmente um será usado como ponto dado do plano. →E utalizaremos os três para denir um vetor normal ao plano. →O vetor normal será denido com o multiplicação vetorial de dois vetores contidos nos planos, estes vetores serão formados por esses três pontos for- necidos. → r → 0 =< 3 , − 1 , 1 > u × → w= → n

→Através da imagem, vericam-se duas informações importantes. 1)Temos uma parábola em z. 2)Temos circunferências no plano xOy.

→Serão mostradas duas parametrizações, uma com coordenadas retangu- lares e outra com coordenadas polares.

Coordenada retangular

→Esta será feita conforme o apresentado nesta seção.

→Serão usados x e y como parâmetros e também uma função z(x, y).

→Para tal basta isolar z na equação fornecida.

Assim, x^2 + y^2 − z = 0 z = x^2 + y^2

Com isso,

r(x,y)=

x = x y = y z = z(x, y)

r(x,y)=

x = x y = y z = x^2 + y^2 →Embora os limites não tenham sido especicados, estes podem ser en- contrados fazendo x^2 + y^2 = r^2 , onde r é o raio do círculo no plano xOy.

→Com isso, vê-se facilmente que x e y variarão de −r à +r.

Usando Coordenadas Polares →Para fazer a parametrização tendo r e θ como parâmetros, sendo r o raio do círculo em xOy e θ o ângulo entre o raio e x. Faz-se x = rcos(θ) e y = rsen(θ).

Ficando,

r(x,y)=

x = x y = y z = x^2 + y^2

r(r,θ) =

x = rcos(θ) y = rsen(θ z = r^2 →Com isso temos θ ∈ [0, 2 π] e para acharmos o raio devemos substituir em z = r^2 os limites conhecidos de z.

Cílindricas

Superfícies cilíndricas são normalmente expressas em coordenadas cilíndri- cas, por uma questões de simplicidade dos cáculos. Mas, também, podendo serem expressas em retangulares. Em coordenadas retangulares, temos:

x = x y =

r^2 − x^2 z = z

Já, em coordenadas cilíndricas camos com as seguintes equações:

x = r ∗ cos(θ) y = r ∗ sen(θ) z = z

Sendo:

→r, o raio do cilindro, uma constante; → θ, θ ∈ [0, 2 π] →z, a "altura", z, do cilindro

Cônicas

Superfícies cônicas têm uma parametrização bastante parecida com a de uma superfície cilíndrica. Sendo a difença, que: em um cilindro o raio é uma constante; e em um cone ele varia de forma linear com a altura do cone. Sendo assim, podemos fazer:

x = r(z) ∗ cos(θ) y = r(z) ∗ sen(θ) z = z

] Sendo:

→r, o raio do cone, agora uma variável que depende da altura do mesmo; → θ, θ ∈ [0, 2 π]; →z, a "altura", z, do cone.

f (x(t), y(t)) =

x = x(t) y = y(t)

Neste caso o gráco é formado pelo conjunto dos pontos da forma (x(t), y(t)). f(x(t),y(t))

x(t 0 )

y(t 0 )

t 0 t

Para o caso de curvas espaciais temos:

f (x(t), y(t), z(t)) =

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

t é o parâmetro.

As vantagens de usar esse tipo de representação são:

1. Algumas curvas são melhor representadas quando colocamos x e y em função de uma terceira variável.
2. Do mesmo modo algumas vezes é melhor usar um novo sistema de coordenadas.

e cuja imagem é um conjunto de vetores. Em particular estamos interessados é funções r cujos valores são vetores tridimensionais. Isso signica que para todo número t no domínio de r existe um único vetor deV 3 denotado por r(t). Se f (t), g(t) e h(t) são os componentes do vetor r(t), então f , g e h são funções de valor real chamadas de funções componentes de r e escrevemos:

r(t) = <f(t), g(t), h(t)> r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

Campos vetoriais são campos que associam a cada ponto do seu espaço um vetor. Neste capítulo serão vistos conceitos de cálculos para esses campos que são expressos por funções vetoriais.

1.4.1 Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral às Funções

Vetoriais

→ O limite de uma função vetorial é calculado fazendo o mesmo limite para cada uma de suas funções componentes.

t^ lim→a r^ =<^ lim t→a f^ (t),^ lim t→a g(t),^ tlim→a h(t)^ >

→ A derivada de uma função vetorial é calculada fazendo a derivada de cada uma de suas funções componentes.

r'(t) = <f'(t), g'(t), h'(t)>

→ A integral de uma função vetorial é calculada fazendo a integral para cada uma de suas funções componentes.

∫ (^) b

a

r(t)dt =<

∫ (^) b

a

f (t)dt,

∫ (^) b

a

g(t)dt,

∫ (^) b

a

h(t)dt >

1.5 Comprimento de Arco

Para uma curva em coordenadas cartesianas, temos:

L =

∫ (^) b

a

dy dx dx

Supondo uma curva C descrita pelos parâmetros x = f (t) e y = g(t), com t ∈ [α, β] e f ′(t) > 0 , que quer dizer que C é percorrida somente uma vez, temos:

L =

∫ (^) β

α

dy/dt dx/dt )^2 dx =

∫ (^) β

α

dy/dt dx/dt )^2 f ′(t)dt

Theorem 1 Se uma curva C for descrita por x = f (t) e y = g(t), onde t ∈ [α, β], onde f ′^ e g′^ são contínuas em [α, β] e C é percorrida somente uma vez quanto t varia de α até beta então o comprimento de C é dado por:

L =

∫ (^) β

α

dy dt

)^2 + (

dx dt )^2 dt

Exemplo 10 Comprimento de um círculo

L =

∫ (^2) π

0

dy dt

)^2 + (

dx dt )^2 dt

L =

∫ (^2) π

0

d(rsen(t)) dt

)^2 + (

d(rcos(t)) dt )^2 dt

L =

∫ (^2) π

0

(rcos(t))^2 + (−rsen(t))^2 dt .. . L = 2 πr

1.6 Integrais de Linha

As integrais de linha se assemelham às integrais ja vistas em outros cálculos. Sua diferença é que não é mais calculada em um invervalo [a,b], mas sim ao longo de uma curva C. Para o cálculo de uma integral de linha, a mesma será reduzida a uma integral normal. Para tal será utilizada a noção de comprimento de arco.

r(x) =

x = x y =

x

→Para seguir uma notação padrão, utilizaremos a variável t para a pa- rametrização. Ficando:

r(t) =

x = t y =

t

→Tendo a função escalar, f = y, e a parametrização da curva. Para o cálculo da integral de linha basta utilizar a denição. Segue a resolução:

→Como as questões de integrais de linha exigem uma série de passos para a concretização do cálculo. Calcularemos antes algumas informações que serão usadas na integral.

r(t) =

t;

t

f (r(t)) =

t r′(t) =

t

∣r′(t)

t

C

f (x, y)ds =

t

f (r(t))

∣r′(t)

∣ (^) dt ∫

C

f (x, y)ds =

t

t)

dy dt

dx dt

(^2) dt ∫

C

f (x, y)ds =

0

t)

t

• (1)dt .. ∫.

C

f (x, y)ds =

0

t + 1dt .. ∫.

C

f (x, y)ds =

[

(1 + t)

32 ]^2

0 .. ∫.

C

f (x, y)ds =

Exemplo 12 Calcule a integral de linha da função f (x, y) = x^2 + y^2 sobre a porção do primeiro quadrante de um círculo de raio r = 2 com o centro na origem.

→É notória a conveniência, não a obrigatoriedade, do uso de coordena- das polares.

→Para este caso, temos que:

r(t)=

x = rcos(t) y = rsen(t)

f (x, y) = x^2 + y^2 f (x(t), y(t)) = (rcos(t))^2 + (rsen(t))^2 f (r(t)) = r^2

Assim sendo, camos com:

r(t) = 〈 2 cos(t); 2sen(t)〉 f (r(t)) = 4 r ∣′(t) = 〈− 2 sen(t); 2cos(t)〉 ∣r′(t)

4(sen^2 (t) + cos^2 (t)) = 2