apostila de algebra vetorial, Exercícios de Álgebra

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS

UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

por

Bruno Sérgio Vasconcelos de Araújo

Sumário

Capítulo 1

Vetores

1.1 Conceitos Iniciais

Definição: Chamamos de vetor a grandeza dotada de: (i) direção; (ii) sentido; (iii) comprimento. Um vetor é representado geometricamente por um segmento de reta orientado.

Figura 1: Vetor

Dois vetores de mesma direção, sentido e comprimento são iguais, mesmo estando posicionados em diferentes locais.

Figura 2: Vetores iguais

Dois pontos distintos A e B determinam um vetor pelo segmento AB orientado. Tal vetor é denotado por − AB→ ( ou B − A) se estiver orientado no sentido de A para B e por − BA→ caso contrário.

Figura 3: Vetor − AB→

O comprimento de um vetor v, também chamado de módulo ou norma, é de- notado por |v| ou por ‖v‖. Neste texto usaremos a notação ‖v‖. Dois vetores que possuem a mesma direção são ditos paralelos. Indica-se tal fato por u//v.

Figura 4: Vetores paralelos

Convenção: Consideramos um ponto A como sendo um vetor "especial" chamado de vetor nulo e denotado por ~ 0 ou − AA→. Observação: Dado um vetor v, vale:

‖v‖ = 0 ⇐⇒ v = ~ 0.

Convenção: ~ 0 é paralelo a qualquer vetor. Dado um vetor v, o vetor de mesma direção e comprimento de v, mas com o sentido contrário, chama-se oposto de v e é denotado por −v.

Figura 5: Vetor oposto

Um vetor v é dito unitário se ‖v‖ = 1. Dado um vetor v 6 = ~ 0 , o vetor que tem a mesma direção e sentido de v, mas com comprimento igual à 1, chama-se versor de v.

Figura 6: Versor

1.1.1 Operações com Vetores

Definição: Dados dois vetores u e v, sejam A, B e C pontos tais que − AB→ = u e − BC−→ = v. Definimos a soma entre u e v como sendo o vetor

u + v = − AC.→

Figura 10: Soma de vetores

Observação: Se u e v são não paralelos e estão posicionados no mesmo local, estes vetores determinam um paralelogramo, cuja diagonal define u + v.

Figura 11: Paralelogramo determinado por dois vetores não paralelos

Definimos também a diferença entre u e v por

u − v = u + (−v).

Figura 10: Diferença de vetores

Propriedades: Dados os vetores u, v e w, valem:

• u + v = v + u;
• u + (v + w) = (u + v) + w;
• u + ~0 = u;
• u − u = ~ 0.

Exemplo 2: Considere os vetores u e v abaixo desenhados. Desenhe os vetores −u, −v, u + v, u − v, v − u e −u − v.

Definição: Dados um vetor u 6 = ~ 0 e λ ∈ R − { 0 }, definimos o produto entre λ e u como sendo o vetor λ.u tal que

(i) ‖λ.u‖ = |λ|.‖u‖; (ii) λ.u//u; (iii) Se λ > 0 , então λ.u e u tem o mesmo sentido. Se λ < 0 , então λ.u e u tem sentidos opostos.

Se λ = 0 ou u = ~ 0 definimos λ.u = ~ 0.

Figura 11: Produto de um número real por um vetor

Observação: λ.u = ~ 0 ⇐⇒ λ = 0 ou u = ~ 0. Propriedades: Sejam u e v vetores e a, b ∈ R. Valem:

(i) a.(u + v) = a.u + a.v; (ii) (a + b).u = a.u + b.u; (iii) a.(b.u) = (a.b).u; (iv) 1 .u = u; (v) u//v se, e somente se, existe λ ∈ R tal que u = λ.v;

Sejam P = (x 1 , y 1 ) e Q = (x 2 , y 2 ) pontos do plano R^2.

Figura 12: Distância entre dois pontos A distância entre P e Q, é dada por d(P, Q) =

(x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2.

Exemplo 2: Calcule d(A, B), onde A = (− 1 , 2) e B = (3, −4).

Seja O = (0, 0) a origem de R^2. A cada ponto P = (x, y) ∈ R^2 , corresponde o vetor v = − OP→ := (x, y).

Figura 13: Vetor no plano R^2

Notação: ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1). Observação 1: Dados os vetores u = (x, y) e v = (a, b) e o número λ ∈ R, valem:

(i) ‖u‖ = √x^2 + y^2 ; (ii) u = v se, e somente se, x = a e y = b; (iii) u + v = (x + a, y + b); (iv) λ.u = (λ.x, λ.y); (v) u = x.~i + y.~j; (vi) Se a, b 6 = 0, então u//v ⇐⇒ xa = yb.

Observação 2: Dados os pontos A = (x 1 , y 1 ) e B = (x 2 , y 2 ), valem:

(i) − AB→ = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ); (ii) O ponto médio do segmento AB é M =

(x 1 + x 2 2 ,

y 1 + y 2 2

Exemplo 1: Sendo u = (3, −1) e v = (− 2 , 4), determine o vetor w tal que

3 w + 2u =^12 v + w.

Exemplo 2: Sejam v = (10, 2), u = (3, 5) e w = (− 1 , 2). Determine a, b ∈ R tais que

v = au + bw.

Exemplo 3: Sejam A = (− 1 , 2), B = (3, −1) e C = (− 2 , 4). Determine D ∈ R^2 tal que − CD−→ = 1 2

− AB.→

(iii) u e v tem o mesmo sentido e ‖u‖ = 3; (iv) u e v tem sentidos opostos e ‖u‖ = 2;

1.3 Vetores no Espaço R^3

O conjunto R^3 := R × R × R pode ser representado geometricamente por um sistema de coordenadas munido de três retas perpendiculares entre si. O cruzamento destes eixos chama-se origem.

Figura 14: O Espaço R^3

Cada ponto do espaço corresponde à um elemento (x, y, z) ∈ R^3. Dois eixos coordenados determinam um plano coordenado. Os três planos coor- denados dividem o espaço R^3 em oito regiões denominadas octantes

A distância entre dois pontos P = (x 1 , y 1 , z 1 ) e Q = (x 2 , y 2 , z 2 ) é dada por d(P, Q) =

(x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2 + (z 1 − z 2 )^2.

Exemplo 1: Localize os pontos A = (1, 2 , 3), B = (2, − 1 , 0), C = (− 1 , 1 , −2), D = (0, 0 , 2), E = (2, 1 , −1), F = (0, 3 , 1) e G = (− 1 , 0 , 0) no espaço R^3 e em que eixos, planos coordenados ou octantes eles estão. Calcule d(A, C) e d(B, E).

Seja O = (0, 0 , 0) a origem de R^3. A cada ponto P = (x, y, z) ∈ R^3 , corresponde o vetor v = − OP→ := (x, y, z).

Figura 15: Vetor no Espaço R^3

Exemplo 3: Determine m, n ∈ R para que P = (− 3 , m, n) pertença a reta que passa por A = (1, − 2 , 4) e B = (− 1 , − 3 , 1).

Exemplo 4: Calcule o comprimento da mediana do triangulo ABC, relativa ao lado AB, onde A = (4, − 1 , −2), B = (2, 5 , −6) e C = (1, − 1 , −2).

Capítulo 2

Produto Escalar

2.1 Definição e Propriedades

Definição: Dados dois vetores u = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ) em R^3 definimos o produto escalar (ou produto iterno) entre u e v por

u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2.

Notação: 〈u, v〉 = u.v. Observação: Se u = (x 1 , y 1 ) e v = (x 2 , y 2 ) em R^2 defiimos

u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2.

Exemplo 1: Calcule (0, 1 , 2).(3, 5 , −3) = (1, 0).(0, 1) = Propriedades: Sejam u = (x 1 , y 1 , z 1 ), v = (x 2 , y 2 , z 2 ) e w = (x 3 , y 3 , z 3 ) vetores do R^3 , λ ∈ R e θ ∈ [0, π] o ângulo entre u e v. Valem: (a) u.v = v.u; (b) u.u = ‖u‖^2 ; (c) u.(v + w) = u.v + u.w; (d) (λ.u).v = λ.(u.v);

Observação: Valem as mesmas propriedades para vetores do R^2. Exemplo 2: Sabe-se que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 e que o ângulo entre u e v é 2 π/ 3. Calcule u.v e ‖u + v‖.

Exemplo 3: Mostre que os seguintes vetores são ortogonais: a) u = (1, − 2 , 3) e v = (4, 5 , 2); b) ~i e ~j.

Exemplo 4: Mostre que o triângulo de vértices A = (2, 3 , 1), B = (2, 1 , −1) e C = (2, 2 , −2) é retângulo.

Exemplo 5: Mostre que as diagonais de um losango são ortogonais.

Exemplo 6: Calcule o ângulo entre os vetores u = (1, 1 , 4) e v = (− 1 , 2 , 2).

Exemplo 7: Sabe-se que v = (2, 1 , −1) faz um ângulo de π/ 3 com − AB→, onde A = (3, 1 , −2) e B = (4, 0 , m). Calcule m.

2.2 Projeção de Vetores

Sejam u, v ∈ R^3 − {~ 0 }. Definimos a projeção ortogonal de u sobre v por P rojv(u) =

( (^) u.v ‖v‖^2

.v.

Interpretação Geométrica: Suponha que o ângulo entre u e v seja menor que π/ 2. Considere A, B, C ∈ R^3 tais que − AB→ = u e − AC→ = v. Seja P o ponto da reta que passa por A e C tal que − P B−→ ⊥ v. Temos que: