Gestão de Carteiras e
de Riscos
Educação Continuada ANBIMA
Data: 01/03/2017
Controle D.04.64.00
Data da Elaboração 01/03/2017
Data da Revisão –
Elaborado por Educação Continuada
Aprovado por Equipe de Certificação Continuada
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Apostila - ANBIMA - Gestão de Carteiras e Riscos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Gestão de Investimento e Portfolio
Apostila do curso Gestão de Carteiras e Riscos da ANBIMA.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2025
Compartilhado em 29/04/2025
usuário desconhecido 🇧🇷
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Gestão de Carteiras e
de Riscos
Educação Continuada ANBIMA
Data: 01/03/
Controle D.04.6 4. Data da Elaboração 01/03/ Data da Revisão – Elaborado por Educação Continuada Aprovado por Equipe de Certificação Continuada
GESTÃO DE CARTEIRAS E DE RISCOS
Fundamentos de Estatística
Medidas de Posição Central: Média, Mediana e Moda Na análise e interpretação de dados, as medidas de posição central têm como função fornecer informações concisas sobre os valores de uma população ou de uma amostra. Tais medidas são facilmente calculadas e, por esse motivo, são amplamente utilizadas na análise de investimentos, mais do que quaisquer outros indicadores estatísticos.
A média aritmética é a medida de posição central mais comum e é definida como a razão entre a soma das observações de uma população ou de uma amostra e o número de observações (que denotamos N no caso de uma população e n quando se trata de uma amostra). Denominamos a média populacional como μ e a média amostral como 𝑋̅. Assim, a média aritmética populacional é dada por
μ =
E a média aritmética amostral é dada por
onde Xi representada cada observação (variando de 1 até n observações). Um analista de varejo, por exemplo, pode determinar a média aritmética das margens EBITDA de cinco empresas desse setor ao somar os valores observados e dividir o resultado por cinco.
Outra medida de posição central, a mediana , tem a característica de não ser influenciada por valores extremos no conjunto de observações. Ela é dada pelo valor central de um conjunto de observações que foram classificadas em ordem crescente ou decrescente. Por exemplo, um especialista em investimentos, ao observar cinco fundos de investimento que geraram retornos de 10%, 13%, 15%, 17% e 20% nos últimos 12 meses determinará que a mediana dessa amostra é 15%. Caso a amostra incluísse um outro fundo de investimento com alto retorno, de modo que o conjunto fosse formado pelos valores 10%, 13%, 15%, 16% e 27%, a mediana dos retornos ainda seria os mesmos 15%.
Quando a população ou amostra possui um número par de observações, a mediana é determinada pela média aritmética dos dois valores centrais. Se o especialista acima observasse os retornos anuais de seis fundos com valores de 10%, 13%, 15%, 17%, 20% e 27%, ele concluiria que a mediana dessa amostra é 16% (média aritmética entre 15% e 17%). Seja um conjunto com número par ou com número ímpar de observações, o número de observações com valores abaixo da mediana será sempre idêntico ao número de observações com valores acima da mediana.
Finalmente, a moda de um conjunto de observações é simplesmente o valor que ocorre com mais frequência nesse conjunto. Entretanto, é possível que um conjunto de itens não tenha uma moda (caso nenhum valor apareça com mais frequência que os demais) ou mesmo mais de uma moda (quando dois ou mais valores apareçam com a mesma frequência). Uma característica importante da moda é a possibilidade de ser utilizada com dados nominais. Por exemplo, se um gestor de uma
Similarmente, o desvio-padrão da amostra é
∑ 𝑛 𝑖= 1 (𝑋𝑖 − 𝑋̅ )^2
Um analista de investimentos que deseje discutir com seus clientes o retorno médio e o desvio- padrão dos retornos diários da ação preferencial da Gol Linhas Aéreas Inteligentes S.A. (GOLL4) pode, com base nos dados de fechamento das 20 sessões de negociação em bolsa entre 12/02/2016 e 11/03/2016, calcular essas medidas facilmente, como mostra a tabela abaixo com dados e resultados.
GOLL4 – Dados e Estatísticas
Data
Preço de Fechamento
Retorno Diário
15/02/2016 1,91 - 4,02% - 7,16% 0,51% n: 20 16/02/2016 1,93 1,05% - 2,09% 0,04% Retorno Médio: 3,13% 17/02/2016 1,88 - 2,59% - 5,73% 0,33% Variância: 1,36% 18/02/2016 1,85 - 1,60% - 4,73% 0,22% Desvio-Padrão: 11,67% 19/02/2016 1,80 - 2,70% - 5,84% 0,34% 22/02/2016 1,98 10,00% 6,87% 0,47% 23/02/2016 1,97 - 0,51% - 3,64% 0,13% 24/02/2016 1,93 - 2,03% - 5,17% 0,27% 25/02/2016 1,88 - 2,59% - 5,73% 0,33% 26/02/2016 2,17 15,43% 12,29% 1,51% 29/02/2016 2,31 6,45% 3,32% 0,11% 01/03/2016 2,25 - 2,60% - 5,73% 0,33% 02/03/2016 2,73 21,33% 18,20% 3,31% 03/03/2016 3,80 39,19% 36,06% 13,00% 04/03/2016 3,16 - 16,84% - 19,98% 3,99% 07/03/2016 3,30 4,43% 1,30% 0,02% 08/03/2016 3,26 - 1,21% - 4,35% 0,19% 09/03/2016 3,22 - 1,23% - 4,36% 0,19% 10/03/2016 3,43 6,52% 3,39% 0,11% 11/03/2016 3,30 - 3,79% - 6,93% 0,48% Soma: 25,9%
A tabela acima nos mostra que o retorno diário médio da ação GOLL4 é de 3,13% e que a alta variabilidade desses retornos faz com que o seu desvio-padrão seja relativamente alto, de 11,67%.
Medidas de Associação entre duas variáveis: covariância e coeficiente de correlação. Conceito e interpretação. As medidas que indicam como duas variáveis se comportam uma em relação a outra são denominadas de medidas de associação. Aqui vamos entender um pouco mais sobre duas dessas medidas.
A covariância , como o nome evidencia, mede o quanto duas variáveis se alteram uma em relação a outra (ou seja, como elas “co-variam”). Seu cálculo se parece bastante com o cálculo da variância, e a covariância da população é dada por
Já a covariância amostral é calculada por
A covariância de uma variável consigo mesma é a própria variância, e desta maneira as fórmulas acima se reconciliam com as fórmulas de cálculo da variância mostradas no item anterior.
Como exemplo, o mesmo analista que estimou alguns parâmetros para a ação GOLL4 pode desejar entender como os retornos diários desse papel covariam com os retornos da ação ordinária da Iochpe-Maxion S.A. (MYPK3). Vamos inicialmente fazer cálculos similares, agora para a MYPK3, como mostrado na tabela abaixo:
MYPK3 – Dados e Estatísticas
Data Preço de Fechamento
Retorno Diário
15/02/2016 8,80 - 3,74% - 5,08% 0,26% n: 20 16/02/2016 9,48 7,78% 6,44% 0,41% Retorno Médio: 1,34% 17/02/2016 9,48 0,00% - 1,34% 0,02% Variância: 0,12% 18/02/2016 9,48 0,00% - 1,34% 0,02% Desvio-Padrão: 3,49% 19/02/2016 9,43 - 0,52% - 1,86% 0,03% 22/02/2016 9,77 3,63% 2,29% 0,05% 23/02/2016 9,19 - 6,00% - 7,34% 0,54% 24/02/2016 9,08 - 1,18% - 2,52% 0,06% 25/02/2016 9,43 3,88% 2,54% 0,06% 26/02/2016 9,47 0,41% - 0,93% 0,01% 29/02/2016 9,44 - 0,31% - 1,65% 0,03% 01/03/2016 9,70 2,75% 1,41% 0,02% 02/03/2016 10,16 4,74% 3,40% 0,12% 03/03/2016 10,43 2,66% 1,32% 0,02% 04/03/2016 11,28 8,15% 6,81% 0,46% 07/03/2016 11,30 0,18% - 1,16% 0,01% 08/03/2016 11,37 0,62% - 0,72% 0,01% 09/03/2016 11,90 4,66% 3,32% 0,11% 10/03/2016 11,78 - 1,01% - 2,35% 0,06% 11/03/2016 11,79 0,08% - 1,25% 0,02% Soma: 2,3%
No nosso exemplo, estamos interessados em descobrir a correlação entre os retornos diários das ações GOLL4 e MYPK3. Utilizando os dados das tabelas acima, temos que a correlação entre essas duas variáveis (para o período considerado) é
11,67% × 3,49%
A correlação é interpretada da seguinte maneira:
Se a correlação for igual a 1 (valor máximo), as duas variáveis apresentam correlação perfeitamente positiva. Isso significa que o movimento em uma variável é acompanhado por um movimento proporcional de mesma direção na outra variável. Se a correlação for positiva mas inferior a 1, existe associação direta entre as variáveis observadas, ainda que não seja perfeita. As variáveis tendem a se mover na mesma direção, porém com intensidades distintas. Correlação igual a zero indica ausência de relação entre as variáveis estudadas, o que significa que o movimento em uma variável não nos ajuda a fazer qualquer inferência sobre o movimento correspondente em outra variável. Se a correlação for negativa mas superior a -1, existe associação inversa entre as variáveis, ainda que não seja perfeita. As variáveis se movem em direções opostas, com diferentes intensidades. Se a correlação for igual a -1 (valor mínimo), as duas variáveis apresentam correlação perfeitamente negativa. Isso significa que o movimento em uma variável é acompanhado por um movimento proporcional em direção oposta na outra variável.
Entre GOLL4 e MYPK3, vemos que a correlação é muito próxima de zero, o que indica que os retornos diários de uma ação não estão relacionados aos retornos diários da outra ação no período analisado.
Modelos Probabilísticos: Distribuição Normal e suas propriedades Nos itens anteriores discutimos algumas medidas de tendência central e de dispersão de uma variável (ou grupo de observações), assim como medidas de associação entre duas variáveis. Em estatística, tais variáveis são denominadas variáveis aleatórias , e elas podem ser discretas ou contínuas. As variáveis aleatórias discretas são aquelas que podem ter apenas um número finito de valores ou cujos valores sejam distintos e separados uns dos outros. Por exemplo, o preço de uma ação é uma variável discreta, pois somente pode assumir determinados valores, em incrementos de R$ 0,01 (um centavo). Já as variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer valor, e o número de observações possíveis não é contável. Por exemplo, o retorno diário de uma ação é uma variável contínua, pois pode assumir qualquer valor (2,347%, -1,094% e assim por diante).
Em finanças, precisamos trabalhar com probabilidades para fazermos inferências sobre o comportamento de uma determinada variável aleatória. Uma distribuição de probabilidade é uma função matemática que especifica as probabilidades associadas a cada resultado (ou grupo de resultados) possível. Para dados financeiros, como a taxa de retorno de um ativo, a distribuição normal é talvez a mais conhecida e a mais utilizada por profissionais do mercado, e é nessa distribuição que vamos focar as nossas atenções agora.
Em termos gráficos, a distribuição normal é simétrica e tem aproximadamente o formato de um sino. De acordo com a sua formulação, o centro da distribuição é a média, e à esquerda e à direita da média estão os valores possíveis da variável aleatória que estamos considerando. Como nem todos esses valores ocorrem com a mesma probabilidade, o formato da distribuição (ou seja, a curva do sino) é o que nos indica o maior ou menor grau de probabilidade de que um determinado valor (ou intervalo de valores, mais precisamente) ocorra. E tal indicação leva em consideração o quão longe da média está aquele determinado valor em termos de número de desvios-padrão. A distribuição normal, então, alia a informação sobre a dispersão dos dados com a probabilidade de que ocorram.
A distribuição normal pode ser representada da seguinte maneira:
Como aplicar o conhecimento sobre a distribuição normal? Imagine que você esteja conversando com um cliente sobre uma determinada ação negociada em bolsa, cujo retorno semanal médio seja de 2,0%, com desvio-padrão dos retornos semanais de 2,5%. O cliente deseja então saber, com base nos dados históricos, a probabilidade de que o retorno dessa ação na próxima semana seja de igual ou superior a 7,0%. Utilizando a hipótese de que esses retornos semanais seguem uma distribuição normal, e considerando que o retorno de 7,0% está a exatamente dois desvios- padrão de distância da média, você pode afirmar que a probabilidade de o retorno dessa ação ser de 7,0% ou mais é de aproximadamente 2,5% (na verdade, 2,28%), bastando para isso olhar o gráfico acima e lembrar que a distribuição normal é simétrica (isto é, um lado é o espelho do outro).
As regras de bolso sobre a relação entre probabilidades e número de desvios-padrão na distribuição normal são, assim, muito úteis no dia-a-dia. O entendimento da distribuição normal é muito importante para qualquer discussão ou apresentação a clientes e colegas com base em dados estatísticos, ou seja, com uma base quantitativa sólida para se chegar a inferências conceitualmente corretas.
Introdução à Inferência Estatística: Intervalo de Confiança De posse do conhecimento básico sobre a distribuição normal, podemos agora abordar o conceito de intervalo de confiança. Um intervalo de confiança é um intervalo de valores dentro do qual se espera encontrar um determinado parâmetro populacional com uma certa probabilidade ou grau de confiança.
prever o preço futuro de um ativo observando seu comportamento ao longo de uma série histórica. A eficiência fraca se apoia na ideia de que os mercados descrevem um processo aleatório ( random walk ) ao longo do tempo. Os gráficos abaixo ilustram esta noção.
O gráfico 1 descreve um processo aleatório, tipo random walk. Observe que o gráfico nos dá a impressão de que há um padrão facilmente perceptível. Há 3 picos (1, 2 e 3) com uma tendência crescente (o terceiro pico é mais alto que o segundo e este mais alto que o primeiro). Em torno dos dois primeiros picos há uma breve oscilação seguida de uma queda (o terceiro pico aparece incompleto). Há teorias que dizem que após três altas seguidas com estas características o mercado apresentará uma queda significativa. O que você acha? Colocaria seu dinheiro nessa aposta?
Gráfico 1
Na verdade, o padrão observado é ilusório. O gráfico foi gerado por um simples jogo de cara ou coroa, com 28 jogadas, em que se atribuiu um “retorno” de 3% para o resultado cara e de – 2% para o resultado coroa.
No gráfico abaixo, repetimos o jogo, o que obviamente muda a sequência de caras e coroas e os resultados ficam totalmente diferentes.
Há um padrão agora?
Gráfico 2
- 5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
1
2
Esse jogo é reproduzido aqui:
Divirta-se procurando padrões de retorno nos gráficos, mas lembre-se que todos são gerados por um processo aleatório, equivalente a 28 rodadas de um jogo de cara e coroa.
Note que a existência de um processo aleatório não implica na inexistência de uma tendência de longo prazo. No nosso jogo, ganhamos 3% quando o resultado para a moeda é cara e perdemos 2%, quando é coroa. No longo prazo, o número de caras e coroas tende a ser o mesmo, mas como
- 8%
- 6%
- 4%
- 2%
0%
2%
4%
6%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
imediata e na medida certa, assim que são tornadas públicas. Dessa forma o preço do ativo estaria sempre “justo”.
A descrença nas análises técnica e fundamentalista nos levaria a alternativas de investimento passivas, como comprar um fundo de índice. Nesses produtos financeiros não há qualquer tipo de análise ou processo de gestão de carteiras. Por outro lado, a Hipótese de Eficiência dos Mercados tem recebido inúmeras críticas. Proponentes da escola de finanças comportamentais, por exemplo, têm apontado para anomalias do mercado como a reação exagerada a uma notícia ou efeitos que se repetem no tempo (por exemplo, o chamado efeito janeiro, segundo o qual os preços das ações em janeiro aumentam mais que em outros meses). Analistas fundamentalistas têm demonstrado que indicadores como as razões baseadas em informações públicas como a razão preço-lucro podem ter efeito relevante. Por fim, a hipótese de processo aleatório ( random walk ) tem sido desafiada por novos testes estatísticos que demonstram que pode haver algum grau de previsibilidade, ainda que baixo, nos preços.
O debate sobre a eficiência dos mercados (e sobre seu grau) tem sido campo de uma batalha sem fim em finanças. Para quem deseja investir seus recursos ou oferecer recomendações ao público investidor, vale analisar alguns títulos indicados na bibliografia.
Risco e Retorno Esperados Ao investir nos mercados, nosso objetivo é sempre o de obter um retorno. Este é um retorno esperado (uma expectativa) que obviamente pode ou não se concretizar. O retorno esperado advém da soma de dois componentes, os rendimentos (dividendos e juros recebidos) e a apreciação (ou algumas vezes queda) nos preços dos ativos – ou ganhos de capital, devendo ser definido para um determinado período.
Os dois componentes e o retorno total podem ser assim representados:
Rendimento Ganho de capital Total Retorno absoluto 𝑑^1 𝑝^1 −^ 𝑝^0 𝑅^ =^ 𝑑^1 +𝑝^1 −^ 𝑝^0
Retorno percentual
𝑝 0 𝑟^ =^
Onde: 𝑑 1 é o dividendo (juros no caso de títulos de renda fixa) pagos ao fim do período de investimento. 𝑝 0 é o preço do ativo no início do período de investimento. 𝑝 1 é o preço do ativo no fim do período de investimento.
Hoje, boa parte dos investidores aplica em fundos de investimento. Os fundos tendem a reinvestir os dividendos e juros ao invés de distribuí-los. Isso faz com que a parcela da valorização referente ao rendimento já se reflita na apreciação da cota do fundo, simplificando nossa conta:
Retorno de um fundo de investimento que reinveste juros e dividendos:
Retorno absoluto 𝑅^ =^ 𝑐^1 −^ 𝑐^0
Retorno percentual
𝑟 = 𝑐^1 𝑐−𝑐^0
0
, ou, considere a expressão equivalente: 𝑐 𝑐^1 0
Onde: 𝑐 0 é o valor da cota do fundo no início do período de investimento 𝑐 1 é o valor da cota do fundo ao fim do período de investimento.
Num exemplo para ações, temos que a ação do Grupo Pão de Açúcar (PCAR4) abriu o ano de 2014 (dados de 2 de janeiro) valendo R$ 90,92 e fechou o mesmo ano (dados de 2 de janeiro de 2015) com o valor de R$ 93,85. Durante o ano a ação pagou dividendos de R$ 1,01. Qual o retorno percentual para o papel?
(1) Rendimento (r): 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜𝑠𝑃𝑜 = (^) 90,921,01 = 2,10%
(2) Ganho de capital: 𝑝 𝑝^1 0
(3) Total: 5,32%
Note-se que estamos considerando, por simplificação, que todo o dividendo foi pago ao fim do período. Na verdade, os acionistas receberam dividendos ao longo do ano e poderiam ter reinvestido esta soma na própria PCAR4, o que daria um resultado ligeiramente superior.
Vamos considerar agora um fundo de investimentos hipotético. No fechamento de abril de determinado ano, a cota tinha o valor de 1,9352 e no fechamento de março do mesmo ano, o valor publicado da cota foi de 1,9400. Podemos calcular o retorno do fundo para o mês da seguinte forma:
Enquanto o retorno esperado é o objetivo do investidor, este deve admitir a existência de uma incerteza em torno deste retorno. A tal incerteza, que pode ser para mais ou para menos, damos o nome de risco. Assim, se esperávamos um retorno de 10% ao ano para uma determinada aplicação, é razoável supor que, na prática, tal retorno estará num intervalo entre 8% a.a. e 12% a.a.
O risco, entendido da forma acima, é normalmente medido pelo desvio padrão dos retornos (a medida estudada no item 3.1.2). No gráfico a seguir, representamos os retornos mensais do índice IBOVESPA em 2010:
Data
Retorno PCAR
Retorno ESTC
Retorno 50% PCAR 50% ESTC jan/10 1,68% 0,00% 0,84% fev/10 5,82% -4,03% 0,90% mar/10 -4,04% -2,18% -3,11% abr/10 -6,64% -3,09% -4,86% mai/10 -3,35% 3,72% 0,18% jun/10 10,80% 4,27% 7,53% jul/10 -3,51% -10,47% -6,99% ago/10 6,58% 3,29% 4,93% set/10 1,79% 30,97% 16,38% out/10 -4,20% 6,89% 1,35% nov/10 2,36% -0,51% 0,93% dez/10 1,84% -19,39% -8,77% Média 0,76% 0,79% 0,78% Desvio Padrão 5,25% 11,90% 6,78%
movimentos em direções opostas. É o que ocorreu em fevereiro, maio, outubro, novembro e dezembro do ano em questão. Isso nos permite afirmar que o risco de se ter Estácio na carteira é parcialmente compensado pelo risco de Pão de Açúcar. Trata-se do efeito diversificação.
Vamos supor que você invista em uma carteira composta de 50% de ações do Pão de Açúcar e 50% de ações da Estácio. Qual seriam seu retorno^1 e risco neste caso? Como eles se comparariam com o obtido por um investimento de 100% em cada um dos ativos originais?
A tabela ao lado representa esta situação. Nela vemos, mês a mês em 2010, os retornos de PCAR e ESTC e de uma carteira formada por 50% de cada um destes ativos. Na parte de baixo, calculamos a média dos retornos mensais no ano de 2010 e o desvio padrão para o mesmo período, utilizando as funções aplicáveis do Excel.
Ao compararmos a média dos retornos dos ativos individualmente com a média da carteira, podemos concluir que esta última está situada exatamente entre as duas primeiras. Percebemos então que o retorno de uma carteira é dado pela média dos retornos esperados dos ativos que a compõe, ponderada por suas participações relativas. Ou seja:
𝑟𝑐 = 𝑟𝑎𝑤𝑎 + 𝑟𝑏𝑤𝑏
onde: 𝑟𝑎 é o retorno do ativo a 𝑟𝑏 é o retorno do ativo b 𝑤𝑎é a participação do ativo a 𝑤𝑏é a participação do ativo b
Fazendo as contas:
𝑟𝑐 = 0,76% x 50% + 0,79% x 50% = 0,78%
E o risco? A princípio, poderíamos imaginar que o risco da carteira também é dado pela média ponderada dos riscos. Porém, ao calcularmos este número, chegaríamos a:
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑃𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑅𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 = 5,25% x 50% + 11,90% x 50% = 8,58%
(^1) Por simplicidade iremos considerar aqui apenas a variação dos preços (ganhos ou perdas de capital) no cálculo dos
retornos.
O número que obtivemos, porém, foi 6,78% (1,8% a menos). Esta diferença se deve ao efeito diversificação. Devido a ele podemos afirmar que, em geral, o risco de uma carteira é menor que a média dos riscos dos ativos que a compõe, ponderada por suas participações relativas.
A fórmula para o cálculo do risco de uma carteira de dois ativos deve considerar não apenas os desvios padrão e as participações. A covariância (ou variação conjunta) também deve entrar na conta. Na aplicação da fórmula, seguimos dois passos. Primeiro calculamos a variância da carteira e depois tiramos a raiz quadrada da variância e chegamos ao desvio padrão (risco) da carteira.
Cálculo da variância da carteira de dois ativos:
𝜎𝑝^2 = 𝜎𝑎^2 𝑤𝑎^2 + 𝜎𝑏^2 𝑤𝑏^2 + 2𝑤𝑎𝑤𝑏𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏
onde: 𝜎𝑝^2 é a variância da carteira (ou portfólio) 𝜎𝑎^2 é a variancia dos retornos de a (quadrado do desvio padrão) 𝜎𝑏^2 é a variancia dos retornos b (quadrado do desvio padrão) 𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 é a covariância entre os retornos dos ativos a e b 𝑤𝑎é a participação do ativo a 𝑤𝑏é a participação do ativo b
A primeira parte da fórmula lembra o cálculo da média ponderada, só que com as variáveis elevadas ao quadrado, pois estamos falando de variância. A segunda parte dá conta das covariâncias (há duas a entre a e b e entre b e a, mas como as duas são iguais, simplesmente multiplica-se a primeira por 2).
Tendo a variância da carteira, chegamos ao risco (ou desvio padrão) retirando a sua raiz quadrada.
𝜎𝑝 = √𝜎𝑐^2
Vamos aplicar a fórmula aos dois ativos que vimos estudando, considerando uma participação de 50% para cada ativo. A covariância entre PCAR e ESTC foi de 0,073% no período.
Calculando a variância da carteira:
𝜎𝑝^2 = 5,25%^2 × 50%^2 + 11,9%^2 × 50%^2 + 2 × 50% × 50% × 0,073% = 0,46%
Extraindo a raiz quadrada deste número, temos o desvio padrão:
𝜎𝑝 = (^) √ 0 ,46% = 6 ,78%
Note que a covariância entre dois ativos pode ser calculada a partir da correlação entre eles. Nesse caso temos:
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 = 𝜌𝑎.𝑏𝜎𝑎𝜎𝑏 Onde 𝜌𝑎.𝑏 é a correlação entre os retornos de a e b
E a fórmula do cálculo da variância de uma carteira pode ser reescrita da seguinte forma:
Para cada uma das carteiras calculamos o retorno e o risco utilizando as fórmulas apresentadas anteriormente.
Algumas carteiras representam situações interessantes e estão destacadas em vermelho. As carteiras 100% PCAR e 100% ESTC representam investimentos puros nestes ativos. A carteira 50% PCAR e 50% ESTC foi a que utilizamos no nosso exemplo anterior. A carteira 85% PCAR e 15% ESTC foi a que apresentou o menor risco, chamamos esta carteira de carteira de variância mínima.
A “barriga” que a curva forma à medida que formamos carteiras combinando diferentes proporções dos ativos é o que evidencia que há um ganho de diversificação.
Ativos com Correlação nula Vale explorar um pouco mais a importância do grau de variação conjunta de dois ativos na redução do risco. Há duas medidas da variação conjunta, covariância e correlação. As duas são relacionadas da seguinte forma:
𝐶𝑜𝑣𝑎,𝑏 = 𝜌𝑎.𝑏𝜎𝑎𝜎𝑏 (a covariância é dada pela correlação multiplicada pelos desvios padrão) ou
𝑎𝜎𝑏
(a correlação é dada pela covariância dividida pelos desvios padrão).
O gráfico abaixo apresenta novamente as diversas carteiras que podem ser formadas com PCAR e ESTC. A correlação entre estes dois ativos, medida para 2010, foi de 0,12.
Imagine agora que tal correlação fosse diferente. O que ocorreria com o gráfico? Você mesmo pode fazer o teste, utilizando várias possibilidades (correlação de 1 ; -1 ; 0,7 etc).
Caso queira voltar ao gráfico original é só colocar a correlação de 0,12, que é a verdadeira correlação entre os ativos.
Embora a correlação nula não seja tão eficaz quanto a correlação perfeitamente negativa, ela certamente melhora a relação entre risco e retorno do portifólio. Assim, temos que quanto mais negativa for a correlação entre dois ativos maior será o efeito da diversificação.
Risco Diversificável e Risco Sistemático Quanto maior o número de ativos, maior o efeito diversificação. O gráfico abaixo exemplifica o efeito da diversificação como função do número de ativos utilizados. Para elaborá-lo supusemos que todos os ativos têm o mesmo desvio padrão (30%) e a mesma correlação (40%). Vale ressaltar que o efeito é muito forte para dois ativos e vai se tornando menor quanto maior é o número de ativos considerado:
A adição de mais ativos faz o desvio padrão da carteira convergir para um número pouco abaixo dos 20%. Considerando as variáveis utilizadas (desvio padrão de 30% e correlação de 40% para todos os ativos) este número pode ser calculado tomando-se a raiz da correlação multiplicada pelo desvio padrão:
√^40 ×^ 30%^ = 18,97%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0 10 20 30 40 50 60
Desvio Padrão do Portfólio
Número de ativos