Baixe Aplicações de Vetores e Matrizes na Engenharia Civil e outras Trabalhos em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores
SEMINÁRIO INTEGRATIVO – MATRIZES E VETORES
Evelyn Rossi Freta Gabriel Netto Hirsch Guilherme Augusto Venante Jeremias Jean Luca Silva Borba Letícia Dagostim Fernandes Martins da Silveira Vicente UNESC – Universidade do Extremo Sul Catarinense
1. INTRODUÇÃO
As matrizes e vetores desempenham papéis fundamentais na engenharia, sendo essenciais para a representação e resolução de sistemas lineares complexos, além da transformação e manipulação de dados em várias dimensões. As matrizes são utilizadas na análise estrutural, controle de processos e modelagem de fenômenos físicos, simplificando a resolução de problemas com múltiplas variáveis interdependentes. Os vetores, por sua vez, são cruciais para descrever grandezas com magnitude e direção, como forças e velocidades, facilitando a modelagem de situações reais e a resolução de problemas tridimensionais. A escolha da equipe foi baseada na complementaridade de habilidades e conhecimentos, assegurando uma abordagem multidisciplinar e colaborativa. Cada integrante trouxe uma perspectiva única, desde a matemática aplicada até a prática em engenharia, permitindo uma análise abrangente dos conceitos de matrizes e vetores. O objetivo desta pesquisa é demonstrar a aplicação prática dessas ferramentas em problemas de engenharia, com foco na análise de treliças isostáticas, validando sua eficiência na resolução de problemas estruturais e destacando sua relevância em projetos reais de engenharia.
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores
2. REFERENCIAL TEÓRICO
MATRIZES
A matriz é uma ferramenta fundamental na engenharia por sua capacidade de representar e manipular dados complexos de forma organizada. Matrizes são uma poderosa ferramenta matemática na engenharia, sendo utilizadas em uma ampla gama de aplicações para modelagem, análise e resolução de problemas complexos que envolvem múltiplas variáveis e interações. Logo abaixo, nas figuras 1 e 2, é ilustrado a representação de dados numéricos através de uma matriz. Figura 1 : Dados de produção de bolos por mês Fonte: Toda Matéria (202 4 ) Figura 2 : Matriz da produção de bolos Fonte: Toda Matéria (202 4 ) VETORES Vetores são segmentos de retas, orientados por setas (figura 3), no qual são responsáveis por caracterizar grandezas físicas vetoriais, tais como: a força, velocidade, aceleração e distância. Figura 3 : Vetores orientados por setas Fonte: Toda Matéria (202 4 )
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores TRELIÇAS ISOSTÁTICAS As treliças isostáticas são estruturas compostas por barras retas conectadas por articulações, formando um sistema estável que não apresenta graus de liberdade. Essas estruturas são frequentemente usadas na engenharia civil para suportar e transmitir cargas aos apoios. Além disso, elas permitem criar estruturas robustas com menos material, em grandes vãos, tornando-as econômicas e ecologicamente corretas. As figuras 5, 6 e 7 ilustram estruturas compostas por treliças metálicas. As barras das treliças são interconectadas de tal forma que criam uma série de triângulos. A disposição dessa forma é fundamental para a estabilidade e resistência da estrutura, pois são mais estáveis e resistentes à deformação, permitindo que a treliça suporte eficazmente cargas de compressão e tração, evitando que a estrutura colapse, tornando-as úteis em uma ampla gama de aplicações, sendo algumas delas: a construção de pontes, telhados, torres de comunicação, andaime etc. Os materiais utilizados para construir estas estruturas podem ser aço, madeira ou concreto, e sua aparência pode variar dependendo da aplicação e do design específico. Figura 5 : Exemplo de uso de treliças em um telhado industrial Fonte: Macedo (20 19 )
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores Figura 6 : Exemplo de uso de treliças em plataforma petrolífera Fonte: Maxtil (20 24 ) Figura 7 : Exemplo de uso de treliças em ponte Fonte: Zinkpower (20 24 )
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores Onde:
- Fx representa forças horizontais H
- Fy representa forças verticais V
- M representa o movimento fletor. Logo:
- Equação (1) Considerando que neste exemplo não temos cargas horizontais, temos: HA = 0
- Equação ( 2 ) Considerando todas as forças verticais, temos: VA - 2kN + VB = 0 VA + VB = 2 kN VA = 2kN - VB(equação 3) VA = 2kN – 1kN VA = 1kN
- Equação (3) Considerando que os momentos foram determinados a partir do apoio A, e que temos como negativas as rotações das forças no sentido horário, logo:
- 2kN * 5 + VB * 10 = 0 10VB = 10 kN VB = 1kN Em seguida, confere-se o que são chamados de barras e nós da estrutura, conforme figura 9 , e calcula-se cada nó usando as equações de equilíbrio (1) e (2):
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores Figura 9 : Barras e Nós da treliça Fonte: Dos autores (202 4 )
- Nó A: Figura 10 : Nós A Fonte: Dos autores (202 4 ) tg α = cat op / cat adj tg α = 0,85 / 2,5 = 0, α = arc tg 0,34 = 18,778 0 sen 18,778 = 0, 3219 cos 18,778 = 0, ΣFy (↑+) = 0 FAE * sen α + VA = 0 FAE * 0,3219 + 1 kN = 0 0,3219.FAE = - 1 kN FAE = - 1 / 0, FAE = - 3,1 1 kN (compressão)
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores ΣFy (↑+) = 0
- FAE * sen α - FDE * sen α + FCE * sen α = 0
- (-3,11kN) * 0,3219 - 0,3219.FDE + FCE * 0,3219 = 0
- 0,3219.FDE + 0,3219.FCE = - 1,0011kN 0,3219.FCE = - 1,0011kN + 0,3219.FDE FCE = (-1,0011kN + 0,3219.FDE) / 0, FCE = - 3,11kN + FDE ΣFx (→+)= 0 FAE * cos α + FDE * cos α - FCE * cos α = 0
- 3,11kN * 0,9468 + FDE * 0,9468 - (-3,11kN + FDE) * 0,9468 = 0
- 2,9445 kN + 0,9468.FDE - 0,9468.FDE + 2,9445kN = 0 FDE = 0 (sem esforços) FCE = - 3,11kN + FDE FCE = - 3,11kN (compressão)
- Nó F: Figura 13 : Nó F Fonte: Dos autores (202 4 ) ΣFy (↑+) = 0 FCF * sen α - FDF * sen α - FBF * sen α = 0 FCF * 0,3219 - FDF * 0,3219 – (-3,11kN * 0,3219) = 0 0,3219.FCF - 0,3219.FDF = - 1,0011kN 0,3219.FCF = - 1,0011kN + 0,3219.FDF FCF = (- 1,0011kN + 0,3219.FDF) / 0, FCF = - 3,11kN + FDF
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores ΣFx (→+)= 0
- FCF * cos α - FDF * cos α + FBF * cos α = 0
- (-3,11kN + FDF) * 0,9468 - FDF * 0,9468 + (-3,11kN * 0,9468) = 0 +2,9445kN + 0,9468.FDF - 0,9468.FDF - 2,9445kN = 0 FDF = 0 (sem esforços) FCF = - 3,11kN + FDF FCF = - 3,11kN (compressão)
- Nó C: Figura 14 : Nó C Fonte: Dos autores (202 4 ) ΣFy (↑+) = 0
- FCE * sen α - FCD – FCF * sen α = 0
- (-3,11kN) * 0,3219 - FCD – (-3,11kN) * 0,3219 = 0 1,0011kN - FCD + 1,0011kN = 0
- FCD = - 2,00kN (-) FCD = 2,00kN (tração) ΣFx (→+)= 0
- FCE * cos α + FCF * cos α = 0
- (-3,11kN) * 0,9468 + (-3,11 kN) * 0,9468 = 0 +2,9445 - 2,9445 = 0
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores Além de obter os esforços das barras através das somas vetoriais dos nós, podemos organizar as informações gráficas da treliça utilizando matrizes. Para adentrar nesse campo, expõe-se novamente o objeto do estudo logo abaixo, na figura 16 , e observa-se as posições dos elementos. Figura 16 : Barras e Nós da treliça Fonte: Dos autores (2024) Durante a análise da ilustração da estrutura da treliça, pode-se extrair informações sobre a sua geometria para elaborar as matrizes de coordenadas nodais, x (4) e y (5), expostas abaixo. Coordenadas x (A, B, C, D, E) = [
7 , 5 ]
Coordenadas y (A, B, C, D, E) = [
0 , 85 ]
As matrizes expostas compõem parte dos dados de entrada necessários para a resolução da treliça computacionalmente. Foram utilizadas para exemplificar uma das utilidades de matrizes na engenharia civil. Porém, ao se aprofundar no assunto, podemos encontrar várias formas de aplicação de matrizes na engenharia civil, inclusive para se encontrar os esforços das barras.
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Percebeu-se ao decorrer deste trabalho que a aplicação de Matrizes e Vetores na Engenharia Civil tornasse de suma importância pois além de propiciar a análise de sistemas simples a complexos, oferece uma abordagem completa para modelagem, cálculo e resolução de problemas, proporcionando também a otimização dos projetos agregando maior eficiência no desenvolvimento de estruturas mais seguras. Essas ferramentas matemáticas são fundamentais para enfrentar os desafios modernos da engenharia civil, contribuindo significativamente para o avanço da área, provando que mesmo com os avanços constantes em tecnologia e inovação, as ferramentas matemáticas tradicionais permanecem intactas ao longo dos anos.
UNESC- Universidade do Extremo Sul Catarinense Relatório elaborado como requisito para a disciplina de Matrizes e Vetores RODRIGUES, Pedro. TRELIÇA: O que é? Tipos de treliças? + 20 EXEMPLOS. 2020. Disponível em: https://estruturasebim.com/2020/10/05/o-que-e-trelica/. Acesso em: 23 jun.
WALE ENGENHARIA (Goiânia) (org.). O crescimento do uso de Estruturas Metálicas na construção civil. Disponível em: https://waleengenharia.com.br/curiosidades/o-crescimento- do-uso-de-estruturas-metalicas-na-construcao-civil. Acesso em: 23 jun. 2024.
