Aplicações de derivadas parciais em campo eletromagnético, Trabalhos de Equações Diferenciais Aplicadas

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Aplicações de derivadas

parciais em campo

eletromagnético.

Grupo: Douglas; Gabriel; Jéssika; Patrick;

Raiane; Túlio.

1. Introdução

Para o estudo do eletromagnetismo podemos adotar duas posturas

bastantes diversas. Na primeira adota-se o comportamento

microscópico da matéria, requerendo portanto a Mecânica Quântica, e

deduz-se a partir dela o comportamento macroscópico. Na segunda

abordagem utiliza-se diretamente a formulação das leis baseadas no

comportamento macroscópico, admitindo-se aí que o menor elemento

de volume de interesse seja tal que contenha um grande número de

partículas de forma que a Física Clássica seja válida. Desta forma,

diversas relações podem ser consideradas como dados experimentais,

não se averiguando as causas das mesmas. O emprego da Mecânica

Quântica apresenta alguns atrativos por se tratar de uma formulação

mais geral do comportamento da matéria.

Por estas e outras razões que a Mecânica Quântica, apesar do seu

grande grau de precisão, limita-se a aplicações específicas.

Para evitar quaisquer absurdos no estudo do eletromagnetismo aqui

apresentado considerou-se a abordagem clássica com um limite de

equacionamento em torno de 0,1 mm.

Um campo que é função do tempo e das coordenadas espaciais

pode ser definido como uma onda. Contudo, usaremos uma notação

um pouco mais restrita, pois além dos condicionantes acima

mencionadas, é necessário que o campo obedeça a equação da

onda. Portanto, termos como onda ou campo são considerados

sinônimos, uma vez que o campo eletromagnético obedece as

equações de onda, como veremos a seguir:

2. Equação de Maxwell

As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais

parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõem a base

do eletromagnetismo clássico no qual está embebida toda

a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o

entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente

para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e

continuada durante as décadas seguintes. As equações de Maxwell

podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo

"microscópico" das equações de Maxwell utiliza os conceitos

de carga total e corrente total, que inclui as cargas e correntes em níveis

atômicos, que comumente são difíceis de se calcular.

O campo eletromagnético é definido por quatro vetores que são funções

das coordenadas (x, y, z,) do ponto no espaço e do tempo, a saber:

E – campo elétrico;

D – deslocamento elétrico ou densidade de fluxo elétrico;

B – indução magnética ou densidade de fluxo magnético;

H – campo magnético;

Uma das relações entre estes vetores foi estabelecida por James Clerk

Maxwell (Maxwell 1954) que consolidou o trabalho de Àmpere, Gauss,

Oersted, Faraday e outros. Na referência acima, Maxwell não expressou o

campo através das quatro equações que receberam o nome de equações de

Maxwell. Apenas 1964, é que o mesmo Maxwell formulou em quatro

equações as relações entre eletricidade e magnetismo.

A notação mais moderna utilizando-se o símbolo deve-se a Heaviside,

que independentemente de Maxwell apresentou uma formulação mais

compacta entre os campos vetoriais E e H. Um ponto curioso é que as

quatro equações se reduzem a apenas uma caso a formulação tensorial

seja adotada (Jackson 1999, Feynman et al. 1964). Além das equações de

Maxwell, há uma outra relação entre os vetores definida por propriedades

da matéria e das condições iniciais seja da temperatura, seja do estado

anterior da matéria, entre outros. Sob o ponto de vista macroscópico,

essas relações podem ser tomadas como resultado de determinação

experimental.

As quatro equações de Maxwell podem ser divididas em dois grupos de

duas equações:

O primeiro estabelece a relação entre o campo elétrico e o campo

magnético;

Tomando como válida a hipótese de conservação de carga obtemos as

outras duas equações de Maxwell:

A primeira expressão em (2.3) define que as cargas elétricas,

distribuídas com uma densidade são a origem de D, em outras palavras,

as linhas de força de D têm sua origem ou seu fim em cargas elétricas.

Já a segunda traduz que o vetor B é solenoidal e que, portanto, a

densidade de suas linhas de força por um determinado volume

representam usualmente caminhos fechados e não há cargas magnéticas.

chamadas posteriormente de equações de Maxwell para o

eletromagnetismo que são: a lei de Gauss para o campo

elétrico, a lei de Gauss para o campo magnético, lei de

Ampère e lei de Faraday para a indução

eletromagnética, dando origem à teoria de eletricidade

e magnetismo. Em paralelo ao estudo dessa nova ciência, há

também, a corrida para desenvolver aparelhos envoltos a essa

ciência. As tecnologias desenvolvidas a partir do estudo do

eletromagnetismo surgiram, provocando grandes modificações

no modo de vida da sociedade, estando presente em todos os

setores que a compõe na vida cotidiana, como o transporte,

comunicação, equipamentos biomédicos, indústria, o sistema

de potencia, o sistema de uso militar como rastreamento e

monitoramento e etc.