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Índice general
Presentación III
- Espacios métricos Introducción Histórica V
- 1.1. Introducción
- 1.2. Espacios métricos
- 1.3. Nociones topológicas
- 1.4. Límites y continuidad
- 1.5. Espacios métricos completos
- 1.6. Ejemplos de espacios métricos completos
- 1.6.1. El espacio C (X; K )
- 1.6.2. El espacio `∞
- 1.6.3. El espacio `p, 1 ≤ p < ∞
- 1.6.4. Otra prueba de la desigualdad de Minkowski en `p
- 1.7. Ejemplos de espacios métricos incompletos
- 1.7.1. El espacio Q de los números racionales
- 1.7.2. El espacio de los polinomios
- 1.7.3. El espacio C ([a, b])
- 1.8. Completamiento de un espacio métrico
- 1.9. El Teorema de Categoría de Baire
- 1.10. Problemas y ejercicios
2 Sección 1.1. Espacios Métricos
negativa que cumple con las propiedades intuitivas que tenemos en mente al pensar en la distancia entre dos puntos del plano R^2 : la propiedad triangular, es decir, en todo triángulo ABC, la longitud de uno de los lados es menor que la suma de las longitudes de los otros dos; la invarianza del valor de la distancia al permutar el orden de los puntos y la nulidad del valor de la distancia si y sólo si los puntos coinciden. Una vez que R n^ ha sido dotado de esta estructura métrica, definimos la noción de convergencia de una sucesión en R n, y demostramos dos resultados básicos sobre los que descansa el Análisis Real: el Teorema de Cauchy-Bolzano según el cual una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy, y el Teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que de toda sucesión acotada se puede extraer una subsucesión convergente. La propiedad sobre R n^ según la cual toda sucesión de Cauchy en R n^ es convergente motiva la definición de espacios más generales con esta propiedad, los espacios métricos completos, que estudiaremos en las próximas páginas.
M. Fréchet (1878-1973)
La noción de espacio métrico fue introducida por Maurice Fréchet^1 en su famosa tesis doctoral Sur quelques points du calcul fonctionnel, publicada en 1906 y que tuvo una enorme influencia no solo en el desarrollo del Análisis Funcional, sino también de la Topología. En su tesis, Fréchet introdujo la noción abstracta de distancia en un conjunto, lo que permitió extender las nociones habituales de vecindades, límites, continuidad, etc. a conjuntos abstractos. En este capítulo estudiaremos las ideas de Fréchet. Presentaremos los espacios métricos y estudiaremos los análogos abstractos de distancia, topología y convergencia estudiados
(^1) M.R. Fréchet (1878-1973). Matemático francés que estudió bajo la dirección de Jacques Hadamard. Sus estudios lo llevaron a buscar una estructura más general que el espacio euclideano R n. En su tesis de 1906 introdujo las nociones de espacio métrico, completitud y separabilidad.
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1.2. Introducción 3
en R n. También estudiaremos las nociones de completitud así como varios ejemplos de espacios métricos completos y otros incompletos. En la parte final del capítulo estudiaremos cómo es posible completar un espacio métrico y demostraremos el teorema de Baire.
1.2. Espacios métricos
La idea de distancia entre dos puntos x e y es muy antigua y está ligada a problemas de mediciones. Esta noción aparece desde los trabajos de Thales de Mileto (624 a.C.–546 a. C.), uno de los siete sabios de la antigua Grecia, y el primer hombre en predecir un eclipse de sol (en 585 a.C.).
Definición 1.1. Dado un conjunto X, diremos que una función d : X × X → R es una métrica sobre X si, para todo x, y, z ∈ X se verifican las siguientes condiciones:
m 1 ) d (^) (x, y) ≥ 0;
m 2 ) d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
m 3 ) d (x, y) = d (y, x) ;
m 4 ) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z).
Definición 1.2. Dado un conjunto X y una métrica d sobre X, el par (X, d) será llamado espacio métrico.
La definición de métrica apareció por primera vez en la tesis de Fréchet [8]. Posteriormente, Haussdorff dio el nombre de espacio métrico a la estructura formada por un conjunto y una métrica definida sobre este.
Ejemplo 1.1. Sea X un conjunto cualquiera, la aplicación d : X × X → R definida por
(1.1) d (x, y) =
1 , x 6 = y 0 , x = y
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1.2. Introducción 5
Aquí, hemos usando la desigualdad de Minkowski^2 para sumas finitas. Luego, aplicando la desigualdad triangular para números reales, obtenemos
d (x, y) + d (y, z) ≥
( (^) n
i= 1
(ai + bi)^2
( (^) n
i= 1
(|xi − yi| + |yi − zi|)^2
( (^) n
i= 1
|xi − zi|^2
= d (x, z)
Ejemplo 1.3. Sobre el mismo cuerpo K n^ podemos definir las aplicaciones
(1.2) dS (x, y) =
n
i= 1
|xi − yi|
y
(1.3) dM (x, y) = 1 m´≤iax≤n |xi − yi| ,
2
Teorema 1.1. Desigualdad de Minkowski. Sean a 1 , a 2 , ..., an, b 1 , b 2 , ..., bn números reales no negativos, entonces (^) ( n
k= 1
(ak + bk)^2
) (^12) ≤
( (^) n
i= 1
a^2 k
) (^12)
( (^) n
i= 1
b k^2
) (^12)
Demostración. Desarrollando el binomio y aplicando la desigualdad de Cauchy, obtenemos: n
k= 1
(ak + bk)^2 =
n
k= 1
( a^2 k + 2 akbk + b^2 k
)
n
k= 1
a^2 k + 2
n
k= 1
akbk +
n
k= 1
b^2 k
≤
n
k= 1
a^2 k + 2
( (^) n
k= 1
a^2 k
) 12 ( (^) n
k= 1
b^2 k
) (^12)
n
k= 1
b^2 k
=
( (^) n
k= 1
a^2 k
) (^12)
( (^) n
k= 1
b^2 k
) 12
2 .
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6 Sección 1.2. Espacios Métricos
siendo x = (x 1 ,... , xn) , y = (y 1 ,... , yn) ∈ K n. Se demuestra que estas aplicaciones definen métricas sobre K n^ y son llamadas métrica de la suma y métrica del máximo sobre K n, respectivamente.
Observación 1.1. En adelante, K denotará al cuerpo R o C.
Observación 1.2. Como muestra el ejemplo anterior, sobre un conjunto X se puede definir más de una métrica, salvo cuando este consta de un único elemento. ¿Cuál es la métrica que se puede definir sobre un conjunto unitario?
Definición 1.3. Sea (X, d) un espacio métrico y sea Y un subconjunto de X. Definimos la aplicación dY : Y × Y → R por
dY (x, y) = d (x, y) , ∀ x, y ∈ Y
es decir, dY = d|Y. Entonces dY es una métrica sobre Y, llamada métrica inducida por d sobre Y. En adelante, dado un espacio métrico (X, d) y un subconjunto Y ⊂ X, denotaremos por (Y, d) al espacio métrico (Y, dY ).
Definición 1.4. Una sucesión {xn} en el espacio métrico (X, d) converge a x ∈ X si y solamente si para todo ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que d (xn, x) < ε , para todo n ≥ n 0. Como es usual, denotaremos tal convergencia por
nl´→ım∞ xn^ =^ x.
Equivalentemente, d (xn, x) → 0.
Teorema 1.2. Sea (X, d) un espacio métrico y sean {xn} , {yn} dos sucesiones en X.
- Si (^) {xn} es convergente, entonces es acotada y su límite es único.
- Si xn → x , yn → y , entonces d (xn, yn) → d (x, y).
Demostración. La primera parte queda como ejercicio para el lector. Probemos la segunda parte del teorema. La propiedad que se muestra en el ítem 2 del teorema se denomina continuidad de la métrica y es una consecuencia de la desigualdad triangular, pues:
d (xn, yn) ≤ d (xn, x) + d (x, y) + d (y, yn)
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8 Sección 1.3. Espacios Métricos
(0, 1) con la métrica euclideana, consideremos la sucesión xn =
n ,^ n^ ∈^ N. Probemos que esta sucesión es de Cauchy: dado ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que 2 n 0 <^ ε. Entonces, para todo^ n,^ m^ ≥^ n^0 se tiene que
n ,
m ≤^
n 0 , luego
d (xn, xm) =
∣∣^1
n −^
m
n 0 <^ ε.
Por lo tanto {xn} es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico (0, 1) con la métrica euclideana. Sin embargo, esta sucesión no es convergente en tal espacio.
Ejemplo 1.4. En un espacio métrico discreto, las únicas sucesiones de Cauchy son aquellas sucesiones {xn} para las cuales existe n 0 ∈ N tal que xn = xn+ 1 para todo n ≥ n 0 , es decir, sucesiones de cola constante.
Teorema 1.4. Sea {xn} una sucesión de Cauchy en el espacio métrico (X, d) y supongamos que (^) {xn} posee una subsucesión (^) {xnk } que converge a x, entonces la sucesión {xn} es convergente y también converge a x.
Demostración. Siendo {xn} una sucesión de Cauchy entonces, dado ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que si n, m ≥ n 0 se tiene que
d (xn, xm) < ε 2
A su vez, al ser {xnk } convergente a x, existe m 0 tal que si nk > m 0 se tiene que d (xnk , x) < 2 ε ,
para todo nk > m 0. Si definimos N 0 = m´ax {n 0 , m 0 } y tomamos n > N 0 y k tal que nk > N 0 , entonces, usando las desigualdades anteriores, tenemos
d (xn, x) ≤ d (xn, xnk ) + d (xnk , x) < ε 2 + ε 2 = ε.
Por lo tanto, la sucesión {xn} converge a x.
Teorema 1.5. Toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico (X, d) es acotada.
Demostración. Queda como ejercicio para el lector.
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1.3. Introducción 9
1.3. Nociones topológicas
Definición 1.6. Sea (X, d) un espacio métrico. Dado un punto a ∈ X y un número real positivo r, definimos los siguientes conjuntos:
- Bola abierta de centro a y radio r
Br (a) = {x ∈ X; d (x, a) < r}.
- Bola cerrada de centro a y radio r
Br (a) = {x ∈ X; d (x, a) ≤ r}.
- Esfera de centro a y radio r
Sr (a) = {x ∈ X; d (x, a) = r}.
Si r = 1, la bola o la esfera, según sea el caso, se denomina unitaria.
Definición 1.7. Sea (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto de X. Diremos que el conjunto A es acotado si existe una constante k > 0 tal que d (x, y) < k para todo x, y ∈ A.
Las bolas abierta, cerrada y la esfera, son ejemplos de conjuntos acotados.
Definición 1.8. Sea (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto de X. Diremos que:
a. El conjunto A es abierto si para todo x ∈ A existe ε > 0 tal que B ε (x) ⊂ A.
b. El conjunto A es cerrado si X − A es abierto.
Las bolas abiertas son conjuntos abiertos. Las bolas cerradas son ejemplos de conjuntos cerrados
Definición 1.9. Sea A un subconjunto del espacio métrico X, y sea x ∈ X. Con respecto al punto x existen tres posibilidades:
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1.3. Introducción 11
i ) B es cerrado si y solamente si, dada una sucesión {xn} ⊂ B que converge a x ∈ X, se tiene que x ∈ B, es decir, B es cerrado si y solamente si contiene a todos sus puntos adherentes.
ii ) x ∈ B si y solamente si ´ınf {d (x, y) ; y ∈ B} = 0.
Demostración. Ejercicio para el lector.
Teorema 1.9 (Densidad). B es denso en X si y solamente si, para cualquier elemento x ∈ X y cualquier número ε > 0 , existe un punto y ∈ B con d (x, y) < ε. Equivalentemente, para cualquier elemento x ∈ X existe una sucesión {yn} ⊂ B tal que yn → x.
Demostración. Queda como ejercicio.
Observación 1.4. De acuerdo a la definición 1.6 y el teorema anterior, se cumple que: Br (a) ⊆ {x ∈ X; d (x, a) ≤ r} = Br (a).
En R n^ vale la igualdad Br (a) = Br (a) , pero existen espacios sobre los que la inclusión es estricta. Consideremos por ejemplo el espacio métrico (X, d), donde d es la métrica discreta definida en (1.1). Entonces, dado x 0 ∈ X, tenemos que B 1 (x 0 ) = {x ∈ X; d (x, x 0 ) < 1 } = {x 0 }.
y B 1 (x 0 ) = {x ∈ X; d (x, x 0 ) ≤ 1 } = X.
Por lo tanto, no es cierto que B 1 (x 0 ) = B 1 (x 0 ).
Observación 1.5. El teorema anterior afirma que B es un subconjunto denso en X si y solamente si cualquier elemento x ∈ X puede ser aproximado por una sucesión de elementos de B, es decir, para cualquier elemento x ∈ X existe un elemento y ∈ B arbitrariamente próximo a x.
Observación 1.6. De acuerdo a la definición 1.3, si (X, d) es un espacio métrico y Y ⊂ X, entonces (^) (Y, d) también es un espacio métrico. Luego, todas las definiciones y teoremas anteriores tienen sentido sobre el espacio métrico (Y, d).
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12 Sección 1.4. Espacios Métricos
Ejemplo 1.5. Consideremos el espacio ( R , d) con la métrica euclideana, es decir,
d (^) (x, y) = (^) |x − y| , ∀ x, y ∈ R
y sea Y = (a, b] ⊂ R. Si A = (a, b) entonces la cerradura de A en Y es igual a Y, luego A es denso en Y, pero la cerradura de A en R es (^) [a, b].
1.4. Límites y continuidad
En esta sección, presentaremos los conceptos de límite y función continua de una función definida entre dos espacios métricos. Antes necesitamos la siguiente definición.
Definición 1.11. Dados un espacio métrico (X, d), un subconjunto A ⊂ X y un punto x 0 ∈ X, diremos que x 0 es un punto de acumulación de A si toda bola abierta de centro x 0 contiene puntos de A que son distintos de x, es decir,
∀ r > 0 : Br (x 0 ) ∩ (A − {x 0 }) 6 = ∅.
Esto quiere decir que, x 0 es un punto de acumulación de A si x 0 es un punto adherente de A − {x 0 } , es decir, si x 0 ∈ A − {x 0 }. Denotaremos por A′^ al conjunto de todos los puntos de acumulación de A.
Observación 1.7. De acuerdo a la definición anterior sigue que todo punto de acumulación de A es un punto de adherencia de A. Consideremos ahora los puntos adherentes al conjunto A que no son de acumulación. Sea x ∈ A − A′, entonces existe r > 0 tal que Br (x) ∩ A = (^) {x}. En este caso, decimos que x es un punto aislado de A. Esto quiere decir que los puntos aislados de A, pertenecen a A. Entonces, el conjunto de los puntos aislados del conjunto A es A − A′^ = A − A′.
Definición 1.12. Sean (^) (X, dX ) y (^) (Y, dY ) dos espacios métricos. Consideremos un conjunto A ⊂ X, una función f : A → Y y p un punto de acumulación de A y q ∈ Y. Diremos que el límite de f cuando x tiende a p es igual a q si para
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14 Sección 1.4. Espacios Métricos
Definición 1.13 (Continuidad). Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios métricos y sea f : X → Y una función dada.
i ) f es continua en un punto x ∈ X si, para cualquier ε > 0, existe δ = δ ( ε ; x) > 0 tal que, para todo y ∈ X,
dX (x, y) < δ ⇒ dY ( f (x) , f (y)) < ε.
ii ) f es continua sobre X si es continua en cada punto de X.
iii ) f es uniformemente continua sobre X si, para cualquier ε > 0, existe δ = δ ( ε ) > 0 tal que, para todo x, y ∈ X, se tiene
dX (x, y) < δ ⇒ dY ( f (x) , f (y)) < ε.
Observación 1.9. Observemos la diferencia entre la parte (i) y la (iii) de la definición anterior. En la continuidad uniforme, es posible elegir un número δ > 0 válido para cualquier x, y ∈ X mientras que en la continuidad en un punto x ∈ X, el número δ elegido puede depender del punto x.
Observación 1.10. De la definición de continuidad puntual se sigue que si x es un punto aislado de X, entonces f es continua en x. Si x es un punto de acumulación de X, se tiene que f es continua en x si, y solamente si l´ yım→x f (y) =
f (x). En consecuencia, por el teorema 1.10, si f es continua en el punto x y {xn} es una sucesión que converge a x, entonces l´ n→ım∞ f (xn) = f (x).
Teorema 1.11. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios métricos y f : X → Y una función. Entonces, f es continua en x ∈ X si y solamente si, para cualquier sucesión {xn} en (X, dX ) con xn → x en X, la sucesión { f (xn)} satisface f (xn) → f (x) en (Y, dY ).
Demostración. Este resultado es consecuencia del teorema 1.10.
Teorema 1.12. Sean (X, dX ) y (Y, dY ) dos espacios métricos y f : X → Y una función. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a ) f es continua en el punto x ∈ X.
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1.4. Introducción 15
b) Para cualquier sucesión {xn} en (X, dX ) con xn → x en X, se tiene f (xn) → f (^) (x) en (^) (Y, dY ).
Demostración. Esta equivalencia sigue directamente del teorema 1.11.
Teorema 1.13. Sean (^) (X, dX ) y (^) (Y, dY ) dos espacios métricos y f : X → Y una función. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i) f es continua.
ii) Para cualquier conjunto cerrado B ⊂ Y, el conjunto f −^1 (B) ⊂ X es cerrado.
iii) Para cualquier conjunto abierto A ⊂ Y, el conjunto f −^1 (A) ⊂ X es abierto.
Demostración. Probemos la parte (i) ⇒ (ii). Supongamos que f es continua y sea B un subconjunto cerrado de Y. Si denotamos C = f −^1 (B) ⊂ X, debemos probar que C es cerrado, es decir, que C ⊂ C. Tomemos un elemento x ∈ C, entonces existe una sucesión {xn} ⊂ C ⊂ X tal que xn → x. Como f es continua sobre X, en particular será continua en el punto x. Luego, por el teorema anterior, se tiene que f (xn) → f (x). Como xn ∈ C = f −^1 (B) , para cada n, entonces { f (xn)} ⊂ B, y ya que B es cerrado entonces f (x) ∈ B. Luego x ∈ f −^1 (B) = C. Por lo tanto, C = f −^1 (B) es cerrado. Ahora, probemos (ii) ⇒ (iii). Sea A ⊂ Y un conjunto abierto. Entonces Y − A es cerrado y por hipótesis f −^1 (Y − A) es cerrado. Como f −^1 (Y − A) = X − f −^1 (A) , concluimos que f −^1 (A) es abierto, tal como se quería. Finalmente, probemos (iii) ⇒ (i). Sea x ∈ X, debemos probar que f es continua en x. Fijemos ε > 0 arbitrario y consideremos la bola abierta B ε ( f (x)). Por hipótesis, f −^1 (B ε ( f (x))) es abierto en X. Como x ∈ f −^1 (B ε ( f (x))) , entonces existe δ > 0 tal que B δ (x) ⊂ f −^1 (B ε ( f (x))). Es decir, f (B δ (x)) ⊂ B ε ( f (x)). Esto quiere decir que, para el número ε > 0 fijado, si y ∈ B δ (x) entonces f (y) ∈ B ε ( f (x)) , es decir, si dX (x, y) < δ entonces dY ( f (x) , f (y)) < ε. Por lo tanto, f es continua en x.
En las últimas líneas de la demostración anterior hemos probado la siguiente equivalencia útil.
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1.5. Introducción 17
Demostración. Sea {xk} una sucesión de Cauchy en R n^ y denotemos
xk = (xk 1 , xk 2 ,... , xkn).
Como {xk} es una sucesión de Cauchy, dado ε > 0 existe un número n 0 ∈ N tal que si k, m ≥ n 0 entonces
d (xk, xm) =
( (^) n
i= 1
|xki − ymi|^2
< √ ε n
Elevando al cuadrado obtenemos para k, m ≥ n 0 y para i = 1,... , n que
|xki − ymi| < √ ε n
Esto prueba que para cada i = 1,... , n, la sucesión {xki} es una sucesión de Cauchy de números reales. Luego, en virtud de la completitud de R , existe ξ i ∈ R , 1 ≤ i ≤ n, tal que l´ım k→∞
xki = ξ i. Si definimos ξ = ( ξ 1 ,... , ξ n) ∈ R n
resulta que
d (xk, ξ ) =
( (^) n
i= 1
|xki − ξ i|^2
( (^) n
i= 1
√ ε n
) 2 )^12
= ε ,
para k ≥ n 0 , es decir, l´ k→ım∞ xk = ξ. Por lo tanto, {xk} es una sucesión convergente
en R n^ y consecuentemente, R n^ es completo.
Corolario 1.14.1. Para cualquier n ∈ N , el espacio R n^ es completo con las métricas dS y dM definidas en (1.2) y (1.3).
Demostración. Queda como ejercicio.
Observación 1.11. Una demostración más directa de la completitud de R n^ se puede obtener utilizando el teorema de Heine-Borel-Lebesgue y los teoremas 1.4 y 1.5.
Definición 1.15. Sea (X, d) un espacio métrico. Un conjunto A ⊂ X es compacto si cualquier sucesión {xn} en A contiene una subsucesión que converge a un elemento de A. Un conjunto A ⊂ X es relativamente compacto si su cerradura A es compacta. Si el conjunto X es compacto entonces diremos que (X, d) es un espacio métrico compacto.
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18 Sección 1.5. Espacios Métricos
Observación 1.12. La compacidad de un conjunto juega un papel fundamental en muchas aplicaciones. Una gran cantidad de problemas en optimización, métodos numéricos y ecuaciones diferenciales parciales se basan en la obtención de una sucesión de aproximaciones contenida en un conjunto compacto (soluciones aproximadas). Entonces, en virtud de la compacidad, podemos obtener una subsucesión convergente de aproximaciones. El límite de dicha subsucesión es el candidato a solución del problema.
Teorema 1.15. Todo espacio métrico compacto es completo.
Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico compacto y consideremos una sucesión de Cauchy {xn} en X. Como (X, d) es compacto, entonces {xn} posee una subsucesión (^) {xnk } convergente en X. Luego, por el teorema 1.4, resulta que {xn} es convergente. Por lo tanto, (X, d) es completo.
Teorema 1.16. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. Entonces
i ) si A es completo entonces es cerrado;
ii ) si X es completo entonces A es completo si y solamente si es cerrado;
iii ) si A es compacto entonces A es cerrado y acotado.
Demostración. Supongamos que A es un conjunto completo, y sea {xn} una sucesión en A tal que xn → x. Como (^) {xn} es convergente entonces es de Cauchy en A, y como A es completo, entonces x ∈ A. Luego A es cerrado. Esto prueba la primera afirmación del teorema. Probemos la segunda parte del teorema. Si A es completo, entonces A es cerrado por el ítem (i) del teorema. Supongamos ahora que X es completo y A ⊂ X es cerrado. Sea {xn} una sucesión de Cauchy en A, entonces también será una sucesión de Cauchy en X, y como X es completo, entonces xn → x ∈ X. Siendo A un conjunto cerrado, concluimos que x ∈ A. Por lo tanto, A es completo. Supongamos ahora que A es compacto, y sea {xn} una sucesión en A tal que xn → x. Como A es compacto, la sucesión (^) {xn} posee una subsucesión (^) {xnk } que converge a un elemento de A, digamos xnk → z ∈ A. Pero como xn → x por hipótesis, entonces x = z ∈ A. Por lo tanto, A es cerrado. Finalmente, aún
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