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Análise Numérica

Departamento de Engenharia Civil

2003 – 2004

Ana Maria Faustino

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 1

Teoria de erros

Erros nos dados Erros de arredondamento ( número finito de dígitos

Tipos^ π^ ≈^ 3.14)^ Erros computacionais

de

erro

Erros de truncatura ( número finito de termos ( ) )

1 0!

( ) n ( )( ) x a k k k

f x ∑− f k a −

≈ ↑ fórmula de Taylor

Erros dos métodos

n^ (^ x a ) n

f n En x = (^) !( ) −

( ) ( )^ ξ

Erros nos dados – por exemplo, dados gerados por

medições de variáveis físicas. O erro vai depender da precisão do instrumento de medida, etc.

Erros dos métodos – quando se fazem aproximações a

expressões matemáticas exactas. Caso muito comum, aproximação da soma de uma série pela soma finita dos termos mais significativos. Exemplo 1: Usar a aproximação

(^12624) x^2 x^3 x^4 e − x^ ≈ − x + − + para determinar e −^1  ≈ 249 .

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 3

Exemplo 2 :

• 32.4 → +0.324× 102 ⇔ (3 × 10 -1+2 × 10 -2+4 × 10 -3) × 102
• num computador binário que use 4 bytes teremos: sinal expoente mantissa bits 1 8 23 (+1)

2 -1^ ≤ mantissa < 1 xmin = (.10...0) 2 × 2 -127≈ 2.94× 10 - xmax = (.11...1) 2 × 2128 ≈ 3.40× 1038

Qual a causa dos erros de arredondamento?.

⇓ A adição (+) e a multiplicação (×) não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante.

Suponhamos uma máquina que trabalha na base 10, a mantissa com 4 dígitos e os expoentes máximo e mínimo respectivamente 9 e –9.

Há duas situações que podem ocorrer:

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 4

• O resultado cai fora dos limites

Esta situação deve ser considerada anormal e deve ser corrigida. Pode ser:

ƒ Overflow | x | > xmax

0.9351× 106 ×0.3471× 104 =0.3245732× 1010 >10^9

Quando isto acontece algumas máquinas substituem o resultado por ± xmax cometendo um erro, outras dão uma mensagem de erro.

ƒ Underflow | x | < xmin

0. 5432106 = × − < −

×

× −

Quando isto acontece algumas máquinas substituem o resultado por 0 cometendo um erro, outras dão uma mensagem de erro (ou aviso).

• A parte fraccionária ter mais do que t dígitos

Exemplo 3:

0.3472× 102 +0.8310× 102 =0.11782× 102

0.9351× 10 -1×0.3471× 103 =0.32457321× 102

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 6

Exemplo 4 ( na máquina anterior ) 0.1000× 101 +0.1000× 10 -2=0.1001× 101 0.1000× 101 +0.1000× 10 -3=0.1000× 101 Logo εM>10-4. Se truncar 0.1000× 101 +0.5000× 10 -3=0.1000× 101 e εM=10- Se arredondar 0.1000× 101 +0.5000× 10 -3=0.1001× 101 e εM = 0.5× 10 - De um modo geral



 −

= (^) β 1 t searredondar 2

β^1 t se truncar ε M

e os números adjacentes a um dado x são (1 - εM ) x , x , (1+ εM ) x i.e., números adjacentes estão distanciados de εM x

Como a distância depende de x os números em vírgula flutuante estão distribuídos de modo mais denso nas proximidades de xmin e tornam-se mais raros à medida que se aproximam de xmax.

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 7

Como se representa o erro?

• Erro absoluto = | valor exacto - valor aproximado |

Erro máximo absoluto (e.m.a.) - ∆ a Chama-se e.m.a. de um valor aproximado a do valor exacto A ao supremo do conjunto dos valores que o erro absoluto ε pode tomar e representa-se por ∆ a.

ε = | A – a | e ∆ a ≥ ε

A = a ± ∆ a ⇔ A ∈[ a - ∆ a , a +∆ a ]

A ∈

a - ∆ a a a +∆ a

Como na maior parte dos casos A é desconhecido é impossível conhecer o valor do erro absoluto. Deste modo controlamos o erro através de um e.m.a.

Exemplo 5: No exemplo 1 consideramos e −^1 ≈ 249 = 0. 375 , como a série é alternada sabe-se que o erro máximo absoluto cometido é ∆ e −^1 = 51 != 1201 ≤ 0. 0084 , pois o erro é

inferior ao primeiro termo desprezado. Isto é

e −^1 ∈ 249 − 1201 , 249 + 1201 ⊆ [ 0. 36 , 0. 39 ] ( e -1maq=0.3678794412)

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 9 Relações entre os e.m.a. e o e.m.r.

I. Determinação do e.m.r. conhecido o e.m.a..

δ (2)

naprática se

δ ε δ (1)

a a a

a a

A a aa a

=^ ∆

II. Determinação do e.m.a. conhecido o e.m.r..

( )

δ (4)

napráticaseδ 1

1 δ^ δ (3)

ε δ A δ

a a a

a

a a a a

a a a a

c

Arredondar a por defeito

Arredondar a por excesso

Notar que (1) ⇔⁄ (3) mas (2) ⇔ (4)

e.m.a. e.m.r.

A= a ± ∆ a ⇔ A= a ⋅ (1 ± δ a )

Exemplo 7 : A=(6.5±0.02)m^2 ⇔ A=6.5m^2 (1±0.31%)

Análise Numérica – Teoria de erros - DEC 10

Como se apresenta o erro? E o valor aproximado?

Algumas noções:

• Algarismos significativos (a.s.) de um número

são todos os dígitos usados na escrita com excepção dos

zeros para representar a casa das unidades.

( exemplo: 0.0519 tem 3 a.s.)

• Algarismos significativos correctos (^) (a.s.c.)

(ou exactos)

Um a.s. de um número aproximado a de uma quantidade exacta A diz-se correcto se ε=|A- a | ≤ 0.5× 10 -m onde -m é o expoente de 10 associado à casa decimal (c.d.) ocupada pelo algarismo. Exemplo 8: 325.09=3× 102 +2× 101 +5× 100 +0× 10 -1+9× 10 -

Salvo raras excepções, quantos mais algarismos significativos correctos o número aproximado tem melhor é a aproximação.

Exemplo 9 : Considere o valor exacto 2, e os valores aproximados 1.999 e 2.01. Qual é a melhor aproximação? (Resposta: 1.999)

Análise Numérica – Teoria de erros –DEC 12

Propagação dos erros

I. Função de uma variável ( z=f ( x ))

Seja f : ℜ → ℜ, contínua num domínio D ⊆ ℜ. Seja x 0 ∈ℜ um valor aproximado de x e ∆ x=|x-x 0 |. Qual o e.m.a. ∆ z ∈ℜ com que z 0 = f ( x 0 ) aproxima z = f ( x )?

• Regra de enquadramento Seja fmin e fmax respectivamente o valor mínimo e máximo de f em [ x 0 - ∆ x , x 0 + ∆ x ], então, como a função é contínua, z 0 ∈ [ fmin , fmax ] e ∆ z = max{ f ( x 0 ) - fmin , fmax – f ( x 0 )}.
• Fórmula de Taylor de 1ª ordem (teorema de Lagrange ou Fórmula dos acréscimos finitos) Seja f contínua e derivável em [ x 0 - ∆ x , x 0 + ∆ x ] então ∆ z = f ( x 0 ± ∆ x ) – f ( x 0 )=  f ′(ξ)⋅ ∆ x ξ∈] x 0 - ∆ x, x 0 + ∆ x [ e ∆ z ≤ M 1 ⋅∆ x , onde M 1 = max  f ′(ξ)⋅ (ξ∈] x 0 - ∆ x, x 0 + ∆ x [) na prática ∆ z ≈  f ′( x 0 )⋅ ∆ x ← O (∆ x^2 )

Análise Numérica – Teoria de erros –DEC 13

Geometricamente

f ( x 0 )

x 0 - ∆ x^ x 0 x 0 +∆ x

f ( x 0 - ∆ x )

f ( x 0 +∆ x )

por excesso ( é e.m.a.)

ε - erro cometido

∆ - erro estimado

por defeito ( não é e.m.a.)

Determinação do e.m.r. ( δ z ) directamente

δ z = ∆ zz ≅ ff ′(( xx )) ⋅∆ x 0

0

Se f ′ ( x 0 ) = 0 então, usando a fórmula de Taylor de 2ª

ordem, tem-se:

∆ z ≈ 12  f ′′( x 0 )⋅ ∆ x^2 ← O (∆ x^3 ) c despreza-se quantidades de 3ª ordem em ∆ x

Análise Numérica – Teoria de erros –DEC 15 Por isso, e como

=

= =

n i i

n i i

n i i

z f(xx ) x

f(xx ) x f(xx ) x

i 1

0

i 1

0 i 1

0

Nota: x

f(x ) ∂ i

é a derivada parcial de f em ordem a xi

e é definida por

i

i i n i n i hi h

f x x h x f x x x x

f (x ) lim ( 1 , , , , ) ( 1 , , , , ) 0

0 L + L − L L

Pode usar as regras de derivação de funções de uma variável, considerando que todas as variáveis diferentes de xi são constantes.

Aproxima a função pelo hiperplano tangente à superfície no ponto aproximado

tem-se

Determinação do e.m.r. ( δ z ) directamente

)^ x f( x

f(xx )x

) x f( x

x

f( x )

z z z i

n i

i i i

n i

i ∂ δ

δ = ∆ ≅ ∑⋅ ⋅∆ = ∑⋅ ⋅ = = 1 0

0

1 0

0

| |

Análise Numérica – Teoria de erros – DEC 16

Interpretação geométrica

Seja z = f ( x,y ), x = x 0 + ∆ x e y = y 0 + ∆ y

Plano tangente à superfície no ponto (x 0 ,y 0 )

x

e 2

e 1 e i erro estimado (≈∆ z ) e.m.a. - ∆ z

z 3 z^4 z (^) z (^2) z (^1) y y 0+∆ y y 0 O x 0 x 0+∆ x

Sejam z 1 , z 2 , z 3 e z 4 4 funções de uma variável, obtidas pela intersecção da superfície z = f ( x,y ), com 4 planos verticais paralelos a O x z e O y z.

a) z 1 = f ( x,y 0 ) b) z funções de^ x 2 =^ f^ ( x,y 0 +∆ y ) c) z 3 = f ( x 0 ,y ) (^) funções de y d) z 4 = f ( x 0 +∆ x,y )

Usando as funções z 1 e z 4

ε z = f ( x 0 +∆ x , y 0 +∆ y )− f ( x 0 , y 0 ) = e 1 + e 2

Usando a fórmula de Taylor de 1ª ordem:

Análise Numérica – Teoria de erros – DEC 18

Regras práticas

Expressões de erros mais simples:

Ι− z = x ± y ∆ =∆ +∆^ (e.m.a.)

ΙΙ− z = x ⋅ y = x δ z =δ x +δ z (e.m.r.)

ΙΙΙ− z = xp^ ( δ z= pδ x^ (e.m.r.)

z y

z x y

p exacto)

e

Como o e.m.a. está relacionado com c.d.c. e o e.m.r.

está relacionado com a.s.c., tem-se:

Adições c.d. Produtos a.s. Divisões a.s. Potências a.s.

Sejam x 0 = 475.54 (∆ x =0.5× 10 -2, 2 c.d.c. e 5 a.s.c. )

e y 0 =0.0768 (∆ y =0.5× 10 -4, 4 c.d.c. e 3 a.s.c.) dois valores aproximados de x e y. xmin =475.535 ≤ x < 475.545 = xmax ymin =0.07675 ≤ y < 0.07685= ymax

Análise Numérica – Teoria de erros – DEC 19

Adição e subtracção

x 0 + y 0 =475.54 + 0.0768 =475. x 0 - y 0 =475.54 - 0.0768 =475.

• Enquadramento xmin+ ymin ≤ x + y < xmax + ymax → 475.6 118 ≤ x + y < 475.6 229 xmin- ymax < x - y < xmax - ymin → 475.4 582 < x - y < 475.4 683 ∆( x ± y )=0.505× 10 -2≈0.5× 10 -2→2 c.d.
• Fórmula de Taylor ∆( x ± y )=1⋅∆ x + |±1|⋅∆ y =0.5 × 10 -2^ +0.5 × 10 -4≈0.5 × 10 -2→2 c.d. x + y = 475. x – y = 475.
• Regra prática

Numa adição algébrica de dois ou mais números aproximados, o resultado deverá ter tantas casas decimais quantas as do número com menos casas decimais correctas. Os restantes números podem ser arredondados para mais uma c.d. do que as daquele que tem menos. 475.54 + 0.077=475.617 → x + y =475. 475.54 - 0.077=475.463 → x - y =475.