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Neste documento, aprenda a obter a função de transferência e a resposta em frequência de um circuito rc utilizando a transformada de laplace. Saiba como calcular a função de transferência do circuito, desenvolver um script matlab para traçar o gráfico da magnitude da resposta em frequência e determinar a frequência de corte do filtro. Essencial para estudantes de engenharia elétrica e de outras áreas relacionadas.
Tipologia: Esquemas
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Dado um SLTIC qualquer cuja resposta ao impulso é representada no domínio do tempo por h ( t ), sabemos que se esse sistema for submetido a uma entrada x ( t ), ele gerará uma saída y ( t ), conforme mostra a Figura 1.
x ( t ) y ( t )
Figura 1 – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo (SLITC).
A saída y ( t ) pode ser obtida pela convolução entre os sinais x ( t ) e h ( t ):
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) (1)
Calculando a Transformada de Laplace da equação (1), teremos:
H ( s ) é a Função de Transferência do referido sistema, também conhecida por Função de Rede do Sistema , ou ainda, por Função Sistema. Podemos obter H ( s ), que é a Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva h ( t ), a partir da equação (2):
𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) (3)
H ( s ) relaciona a saída e a entrada de um sistema no domínio da frequência complexa. Com a Função de Transferência podemos avaliar a estabilidade de um SLITC, bem como a resposta do sistema no domínio da frequência complexa.
Para que possamos estabelecer a Resposta em Frequência de um sistema é necessário
substituir a variável complexa s =σ+ j ω pela variável complexa constituída apenas de
sua parte imaginária j ω.
h ( t )
Software MATLAB.
Figura 2 – Circuito RC
A corrente e a tensão no circuito são relacionadas por:
𝑣𝑐(𝑡) = 𝑣𝑠(𝑡) − 𝑅. 𝑖(𝑡) e 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣𝑑𝑡𝑐(𝑡)
Usando variáveis genéricas x ( t ) e y ( t ) para representar a entrada e a saída do sistema, respectivamente (Figura 2), teremos:
Tomando a Transformada de Laplace em ambos lados da última equação, e admitindo o capacitor descarregado inicialmente, vc (0) = 0, teremos:
𝑠𝑌(𝑠) +
Logo, a Função de Transferência será dada por:
𝐻(𝑠) =
x ( t ) (^) vs ( t ) vc ( t )^ y ( t )
SLITC
x ( t ) SLITC y ( t )
i ( t )
Repita a análise feita nos três itens anteriores para um circuito obtido a partir da troca de posição dos componentes passivos da Figura 2, ou seja, o resistor ocupará a posição do capacitor, e vice-versa.
Idem, para um circuito RLC série.