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Análise e Síntese de Sistemas Usando a Transformada de Laplace: Circuito RC, Esquemas de Matlab

Neste documento, aprenda a obter a função de transferência e a resposta em frequência de um circuito rc utilizando a transformada de laplace. Saiba como calcular a função de transferência do circuito, desenvolver um script matlab para traçar o gráfico da magnitude da resposta em frequência e determinar a frequência de corte do filtro. Essencial para estudantes de engenharia elétrica e de outras áreas relacionadas.

Tipologia: Esquemas

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Copacabana
Copacabana 🇧🇷

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Análise e Síntese de Sistemas Usando a
Transformada de Laplace
Objetivos
Definir a Função de Transferência de um SLITC;
Obter a Função de Transferência de um circuito elétrico usando a Transformada
de Laplace;
Desenvolver programa no MatLab para definir os componentes de um filtro;
Fundamentação Teórica
Dado um SLTIC qualquer cuja resposta ao impulso é representada no domínio do tempo
por h(t), sabemos que se esse sistema for submetido a uma entrada x(t), ele gerará uma
saída y(t), conforme mostra a Figura 1.
x(t) y(t)
Figura 1 Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo (SLITC).
A saída y(t) pode ser obtida pela convolução entre os sinais x(t) e h(t):
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) 𝑥(𝑡) (1)
Calculando a Transformada de Laplace da equação (1), teremos:
𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠). 𝑋(𝑠) (2)
H(s) é a Função de Transferência do referido sistema, também conhecida por Função
de Rede do Sistema, ou ainda, por Função Sistema. Podemos obter H(s), que é a
Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva h(t), a partir da equação (2):
𝐻(𝑠)=𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠) (3)
H(s) relaciona a saída e a entrada de um sistema no domínio da frequência complexa.
Com a Função de Transferência podemos avaliar a estabilidade de um SLITC, bem como
a resposta do sistema no domínio da frequência complexa.
Para que possamos estabelecer a Resposta em Frequência de um sistema é necessário
substituir a variável complexa s =σ+ jω pela variável complexa constituída apenas de
sua parte imaginária jω.
Exper.
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h
(
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Análise e Síntese de Sistemas Usando a

Transformada de Laplace

Objetivos

  • Definir a Função de Transferência de um SLITC;
  • Obter a Função de Transferência de um circuito elétrico usando a Transformada de Laplace;
  • Desenvolver programa no MatLab para definir os componentes de um filtro;

Fundamentação Teórica

Dado um SLTIC qualquer cuja resposta ao impulso é representada no domínio do tempo por h ( t ), sabemos que se esse sistema for submetido a uma entrada x ( t ), ele gerará uma saída y ( t ), conforme mostra a Figura 1.

x ( t ) y ( t )

Figura 1 – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo (SLITC).

A saída y ( t ) pode ser obtida pela convolução entre os sinais x ( t ) e h ( t ):

𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) (1)

Calculando a Transformada de Laplace da equação (1), teremos:

H ( s ) é a Função de Transferência do referido sistema, também conhecida por Função de Rede do Sistema , ou ainda, por Função Sistema. Podemos obter H ( s ), que é a Transformada de Laplace da Resposta Impulsiva h ( t ), a partir da equação (2):

𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) (3)

H ( s ) relaciona a saída e a entrada de um sistema no domínio da frequência complexa. Com a Função de Transferência podemos avaliar a estabilidade de um SLITC, bem como a resposta do sistema no domínio da frequência complexa.

Para que possamos estabelecer a Resposta em Frequência de um sistema é necessário

substituir a variável complexa s =σ+ j ω pela variável complexa constituída apenas de

sua parte imaginária j ω.

Exper.

h ( t )

Material Utilizado

Software MATLAB.

Procedimento Prático

  1. Vamos calcular a Função de Transferência e a Resposta em Frequência do circuito RC série, mostrado na Figura 2, para avaliar o seu comportamento frequencial.

Figura 2 – Circuito RC

A corrente e a tensão no circuito são relacionadas por:

𝑣𝑐(𝑡) = 𝑣𝑠(𝑡) − 𝑅. 𝑖(𝑡) e 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣𝑑𝑡𝑐(𝑡)

Usando variáveis genéricas x ( t ) e y ( t ) para representar a entrada e a saída do sistema, respectivamente (Figura 2), teremos:

Tomando a Transformada de Laplace em ambos lados da última equação, e admitindo o capacitor descarregado inicialmente, vc (0) = 0, teremos:

𝑠𝑌(𝑠) +

Logo, a Função de Transferência será dada por:

𝐻(𝑠) =

𝑠 +^1 ⁄𝑅𝐶

C

R

x ( t ) (^) vs ( t ) vc ( t )^ y ( t )

SLITC

x ( t ) SLITC y ( t )

i ( t )

  1. Repita a análise feita nos três itens anteriores para um circuito obtido a partir da troca de posição dos componentes passivos da Figura 2, ou seja, o resistor ocupará a posição do capacitor, e vice-versa.

  2. Idem, para um circuito RLC série.