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An·lise Din‚mica pelo MÈtodo de Elementos
Finitos
Prof. Paulo de Tarso R. MendonÁa, Ph.D.
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Grante - Depto. Engenharia Mec‚nica, CP 476,
FlorianÛpolis, SC. CEP 88040-900,
mendonca@grante.ufsc.br
6 de Setembro de 2004
Resumo O estudo que relaciona as forÁas que atuam sobre um corpo com o movimento, tanto do corpo como um todo quanto de suas partes relativamente umas ‡s outras, È denominado din‚mica. As equaÁıes que representam este movimento em velocidades n„o relativisticas s„o as leis do movimento de Newton. Um tipo particular de comportamento din‚mico È o ìmovimento vi- bratÛrioî ou simplesmente a ìvibraÁ„oî, onde o sistema oscila em torno de uma certa posiÁ„o de equilÌbrio. Este texto lida com a simulaÁ„o numÈrica por elementos finitos de vibraÁıes em corpos sÛlidos. Neste e nos prÛximos capÌtulos apresentamos uma revis„o dos fundamentos de vibraÁıes mas deve-se ter claro que este n„o È um substitutivo a um curso formal no assunto. O objetivo destes tÛpicos aqui consiste apenas em homogeneizar o material e a notaÁ„o de forma a permitir o tratamento do problema pelo mÈtodo dos elementos finitos.
Conte˙do
1 EquaÁ„o do Movimento em um Grau de Liberdade 3
2 VibraÁıes Livres de Sistema n„o-Amortecido 4
3 VibraÁ„o Livre de Sistema Amortecido 5
4 Carregamento HarmÙnico 8
5 Resposta a Carregamento n„o-PeriÛdico 10 5.0.1 Exemplo 1 ó Sistema Amortecido sob Carregamento Exponencial....... 14
6 Sistemas com mais de um Grau de Liberdade 16
7 Elementos Finitos em Din‚mica 18 7.1 PrincÌpio de DíAlembert.................................. 19 7.2 PrincÌpio dos Trabalhos Virtuais em Barras....................... 19 7.3 Matrizes de Elementos Finitos de Barras......................... 20 7.4 EquaÁıes do Movimento de Lagrange........................... 23 7.4.1 Exemplo 2 ó EquaÁıes de Movimento com E.F. de Barra............ 24
- CONTE⁄DO
- 8 An·lise Modal
- 8.1 VibraÁıes Livres N„o-Amortecidas
- 8.2 Propriedades dos Autovetores e Autovalores
- 8.2.1 Ortogonalidade
- 8.2.2 NormalizaÁ„o e Ortonormalidade
- 8.2.3 Exemplo 3 ó Freq¸Íncias Naturais
- 8.2.4 Exemplo 4 ó Modos Naturais
- 8.2.5 Exemplo 5 ó NormalizaÁ„o de Autovetores
- 8.2.6 Exemplo 6 ó SoluÁ„o AnalÌtica de VibraÁıes em Barra
- 8.2.7 Autovetores Linearmente Independentes
- 8.3 An·lise Modal para ExcitaÁ„o Inicial - Sistema n„o-Amortecido
- 8.3.1 Exemplo 7 ó Resposta para Deslocamento Inicial pelo MEF
- 8.3.2 Exemplo 8 ó SoluÁ„o AnalÌtica para Barra sob Deslocamento Inicial
- 8.4 An·lise Modal Geral
- 8.4.1 Exemplo 9 ó SoluÁ„o pelo MEF de barra sob Carga Vari·vel no Tempo
- 8.5 Resumo do MÈtodo de An·lise Modal
- 9 DeterminaÁ„o do Amortecimento
- 9.1 Um Grau de Liberdade
- 9.2 n-Graus de Liberdade ó Elementos Finitos
- 9.3 MÈtodos Experimentais
- 9.3.1 Exemplo 10 ó DeterminaÁ„o Experimental de Amortecimento
- 9.4 MÈtodo AnalÌtico 1 ó Rayleigh
- 9.5 MÈtodo AnalÌtico
- 9.5.1 Exemplo 11 ó DeterminaÁ„o Experimental da Matriz de Amortecimento
- 9.5.2 Exemplo 12 ó VibraÁ„o Amortecida de Barra sob Deslocamento Inicial
- 9.5.3 Exemplo 13 ó VibraÁ„o ForÁada Amortecida pelo MEF
- 10 Lista de ExercÌcios
Esta È uma equaÁ„o diferencial linear, ordin·ria de coeficientes constantes m, c e k, que definem as caracterÌsticas do sistema fÌsico sendo simulado. O carregamento aplicado sobre o sistema È representado pela forÁa F (t), funÁ„o do tempo t.
2 VibraÁıes Livres de Sistema n„o-Amortecido
O chamado problema de vibraÁıes livres È aquele em que o sistema se move em ausÍncia de forÁas de excitaÁ„o, isto È, quando na eq. (2) se tem F (t) = 0 para todo t > 0. Nesse caso, a eq. (2) È dita estar em sua forma homogÍnea. Fisicamente, um sistema pode permanecer em movimento durante algum tempo apÛs a aplicaÁ„o e subsequente remoÁ„o de forÁa. TambÈm È possÌvel coloc·- lo em movimento aplicando um deslocamento ou velocidade de curta duraÁ„o. Por outro lado, a soluÁ„o deste problema fornece subsÌdeos para a soluÁ„o de problemas excitados, o que constitui a outra raz„o pela qual ele È sempre estudado. … costumeiro reescrever a equaÁ„o de movimento (2) em sua forma homogÍnea n„o-amortecida como
.. x(t) + ω^2 n x(t) = 0, ω^2 n =
k m
A soluÁ„o deste problema È conhecida e tem a forma geral
x(t) = A 1 cos ωnt + A 2 sen ωnt (4)
onde A 1 e A 2 s„o constantes de integraÁ„o a serem determinados a partir dos valores dados do deslocamento e velocidade iniciais x(0) e . x(0). Usando relaÁıes trigonomÈtricas, (cos(a − b) = cos a cos b+sen a sen b), a soluÁ„o tambÈm pode ser posta na forma equivalente
x(t) = A cos (ωnt − φ) (5)
com
A =
A 1
cos φ
A 2
sen φ
, tan φ =
A 2
A 1
As novas constantes A e φ tem significado fÌsico mais evidentes que A 1 e A 2 , s„o a amplitude e ‚ngulo de fase do movimento. O sistema realiza uma ìoscilaÁ„o harmÙnica simplesî com freq¸Ín- cia natural ωn, isto È, a massa move-se para frente e para tr·s sempre com a mesma amplitude A e com freq¸Íncia de ωn/ 2 π ciclos por segundo. O tempo gasto em cada ciclo, o perÌodo, È T = 2π/ωn segundos. No instante inicial, t = 0, a eq. (5) d· o deslocamento inicial
x(t = 0) = A cos(−φ) = A cos φ. (7) Definindo as condiÁıes iniciais
x(0) = xo, . x(0) = υo,
calculamos as constantes A 1 e A 2 e convertemos a soluÁ„o (4) na forma
x(t) = xo cos ωnt +
υo ωn
sen ωnt. (^) (9)
A amplitude e o ‚ngulo de fase s„o
A =
s
x^2 o +
μ υo ωn
, tan φ =
υo xoωn
AlÈm das formas (4) e (5) existe ainda uma terceira forma para a soluÁ„o do problema (3), dada na forma
x(t) = A est, (11)
onde A e s s„o constantes a serem determinadas. Derivando (11) È possÌvel ver que ela realmente satisfaz a equaÁ„o diferencial. Fazendo a substituiÁ„o obtemos
s^2 A est^ + ω^2 nA est^ = 0. (12)
Como A e est^ s„o n„o nulos para uma soluÁ„o n„o trivial podemos dividir toda a equaÁ„o obtendo a chamada equaÁ„o caracterÌstica do problema:
s^2 + ω^2 n = 0. (13)
Esta equaÁ„o tem duas soluÁıes, dadas por
s = ± iωn, (14)
onde i =
− 1. A soluÁ„o da equaÁ„o do movimento È ent„o uma combinaÁ„o linear das duas formas resultantes da substituiÁ„o de (14) em (11):
x(t) = A 1 eiωn^ + A 2 e−iωn^. (15)
3 VibraÁ„o Livre de Sistema Amortecido
Quando o amortecimento do sistema n„o È nulo, a equaÁ„o de movimento (2) È reescrita para uma forma an·loga a (3):
®x(t) + 2ζωn x˙(t) + ω^2 n x(t) = 0 (16)
onde
ζ =
c 2 mωn
È o chamado quociente de amortecimento viscoso. ζ tem significado fÌsico definido e ser· visto na seÁ„o 9. A soluÁ„o do problema È aquela mostrada na eq. (11). Substituindo a soluÁ„o (11) em (16) e simplificando obtemos a equaÁ„o caracterÌstica
s^2 + 2ζωn s + ω^2 n = 0. (18)
Dois valores de s satisfazem esta equaÁ„o:
s 1 s 2
æ
μ −ζ ±
q ζ^2 − 1
ωn. (19)
Cada raiz produz uma soluÁ„o em (11). Da teoria de equaÁıes diferenciais lineares, temos que a soluÁ„o do problema È uma combinaÁ„o linear das soluÁıes:
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.
-4.
-2.
e −ξ ω^ n t
x(0)
(^2) ωπ t d
4 π ω d
x(t)
Figura 3: EsboÁo de soluÁ„o de vibraÁ„o transiente amortecida. (Usados os valores ωn = 5 rad/s, ζ = 0, 2 , xo = 5 mm, ωd = 4, 899 , A = 5, 1 , φ = 0, 201 )
tan φ =
ζ p 1 − ζ^2
De trigonometria temos que, da relaÁ„o acima, cos φ =
p 1 − ζ^2. (considere um tri‚ngulo ret‚ngulo
com catetos ζ e
p 1 − ζ^2 ). Ent„o, da segunda das eqs. (27),
A =
xo p 1 − ζ^2
Ent„o a soluÁ„o do problema de vibraÁ„o livre amortecida com x(0) = xo e x˙(0) = 0 È obtida levando (28) e (29) ‡ soluÁ„o (23):
x(t) =
xo p 1 − ζ^2
e−ζωnt^ cos (ωdt − φ). (30)
Por fim consideremos o caso mais geral definido pelo problema de valor inicial:
®x(t) + 2ζωn x˙(t) + ω^2 n x(t) = 0, x(0) = uo, x ˙(0) = vo.
Uma vez que o problema È linear podemos simplesmente sobrepor a soluÁ„o (25) obtida para x(0) = 0 e x˙(0) = vo, com a soluÁ„o (30) obtida para x(0) = uo e x˙(0) = 0. Ent„o a soluÁ„o completa È
x(t) =
√^ uo 1 −ζ^2
cos (ωdt − φ) + (^) ωvod sen ωdt
e−ζωnt, (32)
onde ωd e φ s„o definidos em (25) e (28). Esta soluÁ„o pode ainda ser posta nas formas alternativas:
x(t) =
vo + uoζωn ωd
sen ωdt + xo cos ωdt
e−ζωnt, ou ainda (33)
x(t) =
sμ vo + uoζωn ωd
- x^2 o cos (ωdt − φ) e−ζωnt, com tan φ =
vo + uoζωn xo
4 Carregamento HarmÙnico
Consideremos agora a soluÁ„o particular do problema (2). O caso mais simples de carregamento È o chamado ìcarregamento harmÙnicoî, isto È, um que varia segundo um seno ou cosseno ao longo do tempo:
F (t) = kf(t) = kA cos ωt. (34)
A forÁa aumenta e diminue ao longo do tempo com amplitude kA constante e freq¸Íncia constante ω. A eq. (2) pode ser dividida por k gerando uma equaÁ„o similar a (16):
x ®(t) + 2ζωn x˙(t) + ω^2 n x(t) = ω^2 n A cos ωt. (35)
A soluÁ„o desse problema tem a seguinte forma
x(t) = X cos (ωt − φ) , (36)
onde X e φ s„o a amplitude e o ‚ngulo de fase do movimento. Substituindo na eq. (35) obtemos a equaÁ„o caracterÌstica do problema
X
ω^2 n − ω^2
cos (ωt − φ) − 2 ζωnω sen (ωt − φ)
= ω^2 nA cos ωt. (37)
Usam-se em seguida as seguintes relaÁıes trigonomÈtricas
Ω cos (ωt − φ) = cos ωt cos φ + sen ωt sen φ, sen (ωt − φ) = sen ωt cos φ + cos ωt sen φ.
Substiuindo em (37) pode-se igualar os coeficientes de cos ωt de ambos os lados da igualdade e fazer o mesmo com os coeficientes de sen ωt. Obtem-se ent„o duas equaÁıes:
Ω X[(ω^2 n − ω^2 ) cos φ + 2ζωωn sen φ] = ω^2 nA, X[(ω^2 n − ω^2 ) sen φ − 2 ζωωn cos φ] = 0.
Estas equaÁıes podem ser resolvidas para as incÛgnitas do problema, X e φ:
X = A
μ ω ωn
μ 2 ζω ωn
− 1 / 2 e tan φ =
2 ζω/ωn
1 −
ω ωn
¥ 2.^ (39)
Levando (39) a (36) temos que o sistema responde com a mesma freq¸Íncia ω do carregamento, com uma amplitude X dependente da amplitude A do carregamento.
Uma outra forma de colocar a soluÁ„o, consiste em usar uma forma complexa em lugar de (36). Representemos o carregamento por
f(t) = A eiω t. (40)
A soluÁ„o geral do sistema n„o-amortecido sob carregamento F (t) = kA cos ωt e condiÁıes iniciais nulas (uo = vo = 0) È obtida sobrepondo a soluÁ„o homogÍnea (24) e a soluÁ„o particular (47):
x(t) = C | 1 cos ωnt +{z C 2 sen ωn}t SoluÁ„o homogÍnea
A cos ωt (1 − β^2 )
Aplicando as condiÁıes iniciais x(0) = x˙(0) = 0, obtÈm-se C 2 = 0 e C 1 = −A(1 − β^2 ), o que resulta na soluÁ„o:
x(t) =
A
(1 − β^2 )
[cos ωt − cos ωnt]. (^) (48)
5 Resposta a Carregamento n„o-PeriÛdico
Estamos interessados em obter a resposta do sistema a um carregamento qualquer como o ilustrado na Figura 4. V·rios mÈtodos existem para estimar a soluÁ„o deste problema, e nos concentraremos aqui no mÈtodo baseado na integral de convoluÁ„o, tambÈm chamada integral de Duhamel.
F(τ)
0
F(t)
t t τ ∆τ
Figura 4: Carregamento temporal genÈrico.
Primeiramente introduzimos o conceito de funÁ„o Delta de Dirac. Observe a funÁ„o ilustrada na Figura 5. … uma funÁ„o ga(t) definida em ∀t ∈ R, tal que
ga(t) = 0, ∀ t < a, e ∀t > a + E ga(t) =
E
, ∀ t ∈ [a; a + E].
… visÌvel que
I =
Z ∞
−∞
ga(y) dy = 1, ∀E ∈ R. (50)
Uma vez que a integral ser· sempre unit·ria para qualquer valor de E pode-se definir uma pseudo funÁ„o denominada funÁ„o Delta de Dirac δ (t − a) como
δ (t − a) = lim 3 → 0 ga(t). (51)
Esta funÁ„o È ent„o
t
g (t)a
a ε
1 ε
_
Figura 5: FunÁ„o com integral unit·ria.
δ (t − a) = 0 ∀t 6 = a (52)
e indefinida em t = a. Sua integral È tal que
Z (^) ∞
−∞
δ (t − a) dt = 1. (53)
Esta ìfunÁ„oî È melhor compreendida sendo um operador com a seguinte propriedade (decorrente de (53)):
J =
Z ∞
−∞
G(t)δ(t − a)dt = G(a), (54)
isto È δ(t − a) È tal que a quando multiplicado por qualquer funÁ„o tem integral igual ao valor desta funÁ„o no ponto a. Esta caracterÌstica pode ser entendida com a ajuda da Figura 6. Note que o resultado do produto G(t) g(t − a) È n„o nulo apenas no intervalo [a; a + E]. Ent„o
J =
Z (^) a+ 3
a
G(t)lim 3 → 0 ga(t) dt = lim
E
Z (^) a+ 3
a
G(t) dt = lim
E
G(a)E,
que resulta 54. Lembremos que as operaÁıes acima s„o apenas formais, e que resta provar algumas delas, como a passagem do limite para fora da integral. Aquela relaÁ„o constitui na principal utilidade da funÁ„o Delta de Dirac.
G(t)
1/ε
G(a)
t a ε
Figura 6: FunÁıes G(t) e ga(t).
Observando a Figura 4 vemos que conseguimos a soluÁ„o no instante t devido a um impulso F (0) 4 τ aplicado no instante inicial τ = 0. Esta soluÁ„o È
x(t) = F (0) 4 τ h(t). (62)
Esta È a resposta no instante t devido a uma faixa de carregamento como aquela hachuriada na Figura 4, localizada na origem.
Imagine-se agora o histÛrico de carga representado pela curva F (t) na Figura 4, substituido por uma seq¸Íncia de ret‚ngulos como aquele hachurado, cada um iniciando num instante τ , de duraÁ„o 4 τ , e altura F (τ ). Pergunta: qual a resposta no instante t devido a um impulso aplicado no instante τ? Observando a eq. (62), notamos que a soluÁ„o num dado instante t depende apenas do tempo decorrido entre o instante do impulso e o instante t. Isto porque, obviamente, o corpo n„o sofre nenhum efeito do impulso antes dele ter sido aplicado, isto È em t < τ. Mais ainda, a resposta do sistema no instante t depende apenas do lapso de tempo desde a aplicaÁ„o do impulso, isto È, do comprimento da extens„o de tempo (t − τ ). Ent„o, se o impulso foi aplicado no instante τ , a soluÁ„o em t pode ser obtida simplesmente usando a soluÁ„o (62) substituindo t por (t − τ ), isto È
4 x(t) = F (τ ) 4 τ h (t − τ ) =
F (τ ) mωd
e−ζωn(t−τ^ )^ sen ωd (t − τ ) 4 τ. (63)
Mas observe que no instante t o valor do deslocamento n„o È apenas devido a este intervalo de carregamento aplicado entre τ e τ + 4 τ. Existe tambÈm parcelas devidas aos impulsos de duraÁ„o 4 τ aplicados desde o instante 0 atÈ t que compıem a curva F (t). Ent„o a resposta total em t È
x(t) =
X
F (τ ) h (t − τ ) 4 τ .. (64)
Fazendo 4 τ → 0 o somatÛrio tende ‡ integral e temos
x(t) =
Z (^) t
τ =o
F (τ ) h (t − τ ) dτ. (65)
Esta integral aparece em diversas ·reas das ciÍncias fÌsicas e È logicamente objeto de estudo matem·tico em busca de suas propriedades. … a chamada integral de convoluÁ„o. Uma das propriedades mais ˙teis desta integral, que apresentamos sem demonstraÁ„o, È que
R (^) t τ =o F^ (τ^ )^ h^ (t^ −^ τ^ )^ dτ^ =^
R (^) t τ =o F^ (t^ −^ τ^ )^ h(τ^ )^ dτ^ (66) Substituindo a definiÁ„o de h(t) em (65) temos a soluÁ„o do sistema a um carregamento genÈrico:
x(t) = (^) mω^1 d
R (^) t o F^ (τ^ )e
−ζωn(t−τ ) (^) sen ωd(t − τ ) dτ (67)
No estudo de vibraÁıes esta È a chamada integral de Duhamel. Esta soluÁ„o È chamada soluÁ„o particular ou soluÁ„o de regime permanente. Lembremos que esta È apenas parte da soluÁ„o geral, v·lida no caso em que x(0) = x˙(0) = 0. O problema geral Ø Ø Ø Ø Ø Ø mx® + c x˙ + κx = F (t), t > 0 , x(0) = uo, x ˙(0) = vo,
tem soluÁ„o obtida sobrepondo a soluÁ„o de regime permanente (67) com a soluÁ„o de transiente (32) obtendo a soluÁ„o geral:
x(t) =
uo e−ζωnt p 1 − ζ^2
cos (ωdt − φ) + (^) ωvod e−ζωnt^ sen ωdt +
mωd
Z (^) t
0
F (τ )e−ζωn(t−τ^ )^ sen ωd(t − τ ) dτ ,
ωd = ωn
p 1 − ζ^2 , ω^2 n =
k m
, tan φ = √ζ 1 −ζ^2
5.0.1 Exemplo 1 ó Sistema Amortecido sob Carregamento Exponencial
Considere um sistema de um grau de liberdade, como na Figura 1a, amortecido submetido a um carregamento do tipo
F (t) = mω^2 de−ζωnt^ para t ≥ 0 , F (t) = 0 para t < 0.
Calcule a resposta do sistema para condiÁıes iniciais nulas, isto È, x(0) = x˙(0) = 0.
F(t)
1
t
Figura 7: Carregamento exponencial do Exemplo 1 dado pela eq. (70).
SoluÁ„o: Tema-se a soluÁ„o transiente do sistema, eq. (69). Para uo = vo = 0 fica-se apenas com a integral de convoluÁ„o, que substituindo (70) fica
x(t) =
mωd
Z (^) t
τ =
F (τ ) e−ζωn(t−τ^ )^ sen ωd (t − τ ) dτ
= ωd e−ζωnt
Z (^) t
o
sen ωd (t − τ ) dτ.
Integrando e aplicando os limites temos a resposta.
x(t) = e−ζωnt^ [1 − cos ωdt] para t > 0. (71) A Figura 9 ilustra a curva de resposta ao longo do tempo. … interessante notar que o movimento da massa n„o È oscilante em torno do ponto de equilÌbrio x = 0, mas sofre um movimento oscilante onde a posiÁ„o mÌnima È x = 0. A massa atinge essa posiÁ„o periodicamente com perÌodo
1
1
t t
t
t
t
t
F
(a)
(b)
(c)
1
F
1
x(t)
x (t)
F (^2)
t (^1)
x 2 (t)
t 1
1
Figura 10: SolicitaÁıes e respostas com ìshiftî e sobreposiÁ„o.
Frequentemente È dificil conseguir realizar a integral de convoluÁ„o de uma funÁ„o de forma analÌtica, que em geral È feita numericamente. Suponha que se tenha conseguido obter a soluÁ„o para um carregamento F 1 (t) como mostrado nas Figuras 10a e b. Se transladarmos F 1 (t) em t 1 e definirmos assim a funÁ„o F 2 (t), a soluÁ„o x 2 (t) È a soluÁ„o x 1 (t) transladada, isto È, x 2 (t) = x 1 (t−t 1 ) para t > t 1 e x 2 (t) = 0 para t < t 1. A soluÁ„o devida a F = a F 1 + b F 2 È a combinaÁ„o das duas soluÁıes:
x(t) = a x 1 (t) + b x 2 (t). (75)
Esta possibilidade de combinaÁ„o È devida ‡ linearidade da equaÁ„o do movimento usada. Estas operaÁıes tambÈm necessitam que as condiÁıes iniciais uo e vo sejam combinadas da mesma forma atravÈs das mesmas consantes a e b.
6 Sistemas com mais de um Grau de Liberdade
Poucos s„o os sistemas fÌsicos na engenharia que consistem realmente de um grau de liberdade como descrito nas seÁıes acima, composto um bloco rÌgido de massa m, ligado a uma base por uma mola e um amortecedor. Estamos interessados principalmente em determinar o comportamento din‚mico dos sistemas contÌnuos, isto È, corpos e estruturas sÛlidas, tri-dimensionais, com sua forma prÛpria, sua massa e sua capacidade de amortecimento interno. Entretanto, a teoria uni-axial vista nas seÁıes acima È de fato usada como parte de v·rios mÈtodos de an·lise de corpos tri-dimensionais, como ser· visto nas seÁıes que se seguem. Considere o corpo com forma genÈrica ilustrado na Figura 11a submetido a um conjunto de forÁas variantes ao longo do tempo. Caso sua forma, apoios e carregamento sejam simples, regulares, È possÌvel uma an·lise analÌtica que resulta na soluÁ„o exata de sua resposta. Alguns problemas onde o corpo tenha forma de barra, vigas, placas circulares ou retangulares, dependendo do carregamento, podem ser tratadas desta forma. Uma sÈrie de livros cl·ssicos tratam destas soluÁıes, como por
exemplo Langhaar [15], Meirovitch [18], Clough[4] e outros. Frequentemente porÈm, os componentes e sistemas usados em engenharia s„o de forma e carregamento complexos e n„o podem ser tratados pelas fÛrmulas analÌticas simples disponÌveis. Da mesma forma que em problemas est·ticos, a maneira hoje padr„o de se tratar destes problemas consiste em abrir m„o do desejo de obter uma soluÁ„o exata e buscar uma soluÁ„o aproximada do problema.
(a)
(b
(c)
F (t) 1 F (t)^ F (^) n(t)
F 2 (t)
F (t) 1
m (^) i m^ n
F (t)i
m (^1)
i+ (t) Fi-
u (t) 1 u (^) i-1(t) u (t)i u (^) i+1(t) u (t)n
m (^) i-1 mi+
k 1 ki
ci+
kn
c 1 c (^) i cn
k (^) i+
m (^) i
k (^) i u (t)i u (^) i-1(t)
c (^) i+1u (^) i+1(t) u (t)i
Fi(t) u (t)i
m
k (^) i+1 (u (^) i+1(t)-u (t)i )
c (^) i( u (t)i - u (^) i-1(t))
u (^) i
Figura 11: a) Corpo sÛlido tri-dimensional qualquer; b) modelo discretizado; c) diagrama de corpo livre da massa mi indicando forÁa externa aplicada, forÁa de inÈrcia, forÁas el·sticas de mola e forÁas de amortecimento.
Para tratar ent„o do ìproblema contÌnuoî como o do corpo tridimensional da Figura 11a, cri- aremos um modelos discretizado como o ilustrado na Figura 11b, onde o corpo È simulado por uma coleÁ„o de massas discretas unidas por molas e amortecidedores entre si. A forma de realizar este processo de discretizaÁ„o n„o È Ûbvio, e existem diversos mÈtodos, dentre os quais o prÛprio mÈtodo que estamos tratando, o de elementos finitos. No momento consideramos que, de alguma forma, temos j· realizado esta discretizaÁ„o e temos disponÌvel um modelo como o da Figura 11b, com n massas discretas. Cada uma dessas massas pode ser considerada um corpo rÌgido, de forma que podemos aplicar a ela a segunda lei de Newton. A Figura 11c representa um diagrama de corpo rÌgido de uma massa genÈrica mi. Sobre ela atuam uma forÁa externa Fi(t) e as forÁas internas devidas aos deslocamentos relativos ‡s outras massas. Estas forÁas internas s„o as forÁas el·sticas fe, relacionadas ‡ rigidez das molas Ki e Ki+1, e as forÁas de amortecimento fa relacionadas ‡s constante Ci e Ci+1 dos amortecedores. Pela segunda lei de Newton, a resultante de todas estas forÁas deve ser
7.1 PrincÌpio de DíAlembert
Julgando-se apenas pelo seu enunciado, este princÌpio È de uma simplicidade enorme. Sua utilidade entretanto È tambÈm enorme na engenharia. Considere a equaÁ„o do movimento de uma partÌcula de massa m, dada pela segunda lei de Newton:
X^ n
i=
Fi + mb = ma, (80)
isto È, a resultante de todas as n forÁas externas aplicadas Fi, incluindo a forÁa do corpo mb, deve ser igual a forÁa da inÈrcia, dada pela massa vezes a aceleraÁ„o a desenvolvida pela massa m. b È uma forÁa de corpo por unidade de massa. Quando as forÁas s„o tais que a aceleraÁ„o È nula as forÁas est„o em equilÌbrio e esta equaÁ„o È chamada equaÁ„o de equilÌbrio. Obviamente o tratamento de problemas de equilÌbrio s„o mais simples que os problemas din‚micos. DíAlembert, de certa forma, realizou uma operaÁ„o bastante ìsimplesî. Ele transferiu a forÁa de inÈrcia do lado direito de (80) e passou-a para o lado esquerdo obtendo
X^ n
i=
Fi + m(b − a) = 0. (81)
Agora a forma da equaÁ„o È exatamente a forma de uma equaÁ„o de equilÌbrio est·tico, e tudo O que se desenvolveu para os problemas est·ticos pode ser adaptado para os problemas din‚micos. O princÌpio de DíAlembert ent„o afirma que as forÁas de inÈrcia podem ser incorporadas ‡s forÁas de corpo e o problema pode ser tratado como uma equaÁ„o est·tica.
7.2 PrincÌpio dos Trabalhos Virtuais em Barras
Lembre que nos v·rios capÌtulos anteriores, o P.T.V. foi desenvolvido e aplicado aos diversos tipos de componentes para o comportamento est·tico. Com o uso do princÌpio de DíAlembert as mesmas expressıes do P.T.V. podem ser expandidas ao problema din‚mico de forma bastante simples. Tomemos por exemplo o P.T.V. para o problema est·tico de barras:
AE
Z L
o
du dx
duà dx
dx − A
Z L
o
bàu dx − A f uà(L) = 0 ∀uà ∈ V ar. (82)
x dx
A
Figura 12: Elemento diferencial de volume de barra.
Considere um elemento diferencial de volume numa barra como ilustrado na Figura 12. A massa deste elemento È dm = ρAdx onde ρ È a densidade do material, em kg/m^3 por exemplo. Observe na Figura 13 o comportamento din‚mico de uma barra sob carga axial. O elemento diferencial inicialmente encontra-se a uma dist‚ncia x da origem. Num outro instante t a posiÁ„o
x u ( x,t )
X ( x,t )
F (0)
F (t)
Figura 13: PosiÁ„o inicial P e posiÁ„o final p num dado instante t e deslocamento u(x, t) de um elemento diferencial numa barra sob solicitaÁ„o din‚mica.
daquela porÁ„o de material encontra-se a uma posiÁ„o X da origem. Sem d˙vida que esta posiÁ„o atual ser· funÁ„o da posiÁ„o inicial e estar· variando instante a instante. Ent„o podemos escrever que
X = X(x, t) e X(x, t) = x + u(x, t), (83)
isto È, a posiÁ„o atual X do ponto È igual ‡ posiÁ„o inicial x mais o valor u(x, t) do deslocamento sofrido. Como a posiÁ„o inicial n„o se altera, diferenciando (83) temos a velocidade e a aceleraÁ„o:
X^ ˙(x, t) = ∂u ∂t
(x, t) = u˙(x, t),
X^ ®(x, t) = ∂
(^2) u ∂t^2
(x, t) = ®u(x, t).
Isto significa que a taxa de variaÁ„o da posiÁ„o È a mesma do deslocamento. O elemento diferencial de massa sofre uma aceleraÁ„o ®u(x, t) e sua forÁa de inÈrcia È
ρA u®(x, t) dx, (85)
que pode ser colocado na forma AbinÈrciadx, onde binÈrcia = ρ uv® (x, t) È uma psudo-forÁa de corpo assiciada ‡ inÈrcia. Desta forma a forÁa de inÈrcia pode ser incluÌda no P.T.V. da equaÁ„o (82) substituindo a forÁa de corpo est·tica b(x) por (b(x, t) − binÈrcia), isto È, por (b(x, t) − ρuv® (x, t)), resultando
AE
Z L
o
∂u(x, t) ∂x
dàu(x) dx
dx − A
Z L
o
(b(x, t) − ρu®(x, t)) àu(x) dx − Af(t) àu(L) = 0, ∀uà ∈ V ar. (86)
7.3 Matrizes de Elementos Finitos de Barras
Como no caso est·tico, consideramos o problema de uma barra sujeita a uma forÁa f na extremidade e forÁas de corpo b distribuÌdas ao longo de sua extens„o, como ilustrado na figura ??, mas agora as forÁas podem ser funÁ„o do tempo. A soluÁ„o do problema consiste na funÁ„o u(x, t) que satisfaz ‡ express„o do P.T.V., eq.(86). A cada instante Øt a aceleraÁ„o possui um valor, u®(x, Øt) e os carrega- mentos tem valores definidos b(x, tØ) e f(Øt). Tem-se ent„o o P.T.V. est·tico neste instante, onde se deve buscar a soluÁ„o tambÈm est·tica, u(x, Øt). O tratamento por elementos finitos consiste ainda em discretizar o corpo em elementos e aproximar as funÁıes por funÁıes de interpolaÁ„o. Considere pois um elemento finito linear de dois nÛs, e suas funÁıes de interpolaÁ„o implicitas,
