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Capítulo
UNIDADE E Análise dimensional
E
m Mecânica, qualquer grandeza pode ser expres-
sa em função de três grandezas fundamentais:
massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a
determinados expoentes. Além dessas grandezas, te-
mos ainda a temperatura (J), a intensidade de corren-
te elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensi-
dade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser
expressa em função das grandezas fundamentais.
Por meio da análise dimensional verificam-se as possíveis relações entre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Além disso, estabelecida experimentalmente uma fórmula matemática, que traduz uma dada lei física, a análise dimensional permite-nos constatar a coerência dessa fórmula: deve existir identidade entre as equações dimensionais dos dois membros. A análise dimensional permite que se faça a previsão de fórmulas que sintetizam as relações entre grandezas que fazem parte de um fenômeno físico.
21.1 As grandezas
fundamentais da Física
Em Física, além das grandezas fundamentais da Mecânica — massa, comprimento e tempo —, temos outras grandezas fundamentais, como temperatura, intensidade de corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, podemos expressar todas as demais grandezas físicas.
21.2 Equações físicas.
Teorema de Bridgman
A grandeza física G, que depende de outras grandezas físicas independentes (A, B, C ...), pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...
Análise dimensional
Unidade E
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Objetivo
Analisar equações
dimensionais de
grandezas estudadas no
curso de Física.
Termos e conceitos
fundamentais
Seção 21.
(^1) Grandezas fundamentais da Mecânica
Em Mecânica, adotamos como grandezas fundamentais a massa, o
comprimento e o tempo, que são representados, respectivamente, por
M, L e T. Qualquer outra grandeza G da Mecânica pode ser expressa em
função de M, L e T, elevados a expoentes a, d e D convenientes. Desse
modo, obtemos a equação dimensional de G , que é indicada por [ G ] e
dada por:
[ G ] M
a
L
d
T
D
Os expoentes a , d e D são as dimensões da grandeza G em relação a
M, L e T, respectivamente.
Exemplos de equações dimensionais
v
S___ s
S t
] [ v ]
_____[S s ]
[S t ]
L__
T
] [ v ] M^0 LT^21
a
___S v
S t
] [ a ]
_____[S v ]
[S t ]
M
0
LT
21
_______
T
] [ a ] M
0
LT
22
F ma ] [ F ] [ m ] 3 [ a ] M 3 LT
22
] [ F ] MLT
22
D Fd ] [D] [ F ] 3 [ d ] MLT
22
3 L ] [D] ML
2
T
22
Pot
___D
S t
] [ Pot ]
____[D]
[S t ]
ML _______^2 T^22
T
] [ Pot ] ML^2 T^23
I F 3 S t ] [ I ] [ F ] 3 [S t ] MLT
22
3 T ] [ I ] MLT
21
Q mv ] [ Q ] [ m ] 3 [ v ] M 3
__L
T
] [ Q ] MLT^21
p
__ F
A
] [ p ]
___[ F ]
[ A ]
MLT ______^22
L
2 ]^ [ p ]^ ^ ML
21
T
22
d
__ m
v
] [ d ]
[____ m ]
[ v ]
M___
L^3
] [ d ] ML^23 T^0
As grandezas fundamentais
da Física
Unidade E
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P. 427 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Determine a equação dimensional: a) da velocidade angular; b) do momento de uma força; c) do coeficiente de condutibilidade térmica.
P. 428 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de corrente (I). Determine a equação dimensional: a) do campo de indução magnética; b) da permeabilidade magnética do meio; c) do fluxo magnético.
P. 429 Na fórmula E p(el.) kx
2
2
, temos que E p(el.) representa energia e x , um comprimento. Qual a equa-
ção dimensional de k em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
ExErcícIos propostos
R. 166 Na fórmula E hf , temos que E representa a energia e f a frequência. Qual a equação dimensional de h em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
Resposta: [ h ] ML 2 T^21
Solução:
De E hf , temos:
h ____ EW f ] [ h ]
[___ E ]
[ f ]
] [ h ] ML
2 T 22
T^21
] [ h ] ML^2 T^21
R. 165 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de corrente (I). Escreva a equação dimensional: a) do campo elétrico; b) da capacitância.
b) De C
Q __
U
, temos:
Resposta: a) [ E ] MLT^23 I^21 ; b) [ C ] M^21 L^22 T^4 I^2
Solução:
a) Sendo F e qE , resulta:
[ C ]
___[ Q ]
[ U ]
] [ C ] __________TI
ML^2 T^23 I^21
] [ C ] M^21 L^22 T^4 I^2
E
F __e q
] [ E ]
____[ F e] [ q ]
] [ E ] MLT
22
TI
] [ E ] MLT^23 I^21
b) De S L a 3 L 0 3 SJ, temos:
Resposta: a) [ L F] M^0 L^2 T^22 ; b) [a] M^0 L^0 T^0 J^21
Solução: a) De Q m 3 L F, temos:
R. 164 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Escreva a equação dimensional do: a) calor latente de fusão; b) coeficiente de dilatação linear.
a
_______S L
L 0 3 SJ
] [a]
_________[S L ]
[ L 0 ] 3 [SJ]
] [a] _____ L L 3 J
] [a] M^0 L^0 TJ^21
L F
__ Q
m
] [ L F]
____[ Q ]
[ m ]
] [ L F] ML
2 T 22
M
] [ L F] M^0 L^2 T^22
Capítulo 21
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Objetivos
Compreender a
homogeneidade das
equações físicas.
Utilizar o teorema de
Bridgman para fazer
previsão de fórmulas.
Seção 21.
(^1) Homogeneidade das equações físicas
Considere uma equação envolvendo três grandezas físicas, A , B e C ,
dada por:
A B C
Note que a soma de B com C só é possível se B e C tiverem as mesmas
dimensões, e a soma A obtida também. Portanto, os dois membros da
equação A B C devem ter as mesmas dimensões. Trata-se da homo-
geneidade das equações físicas.
Exemplo:
Considere a equação s s 0 vt. A dimensão de s , assim como a de s 0 ,
em relação a L, é 1. Logo, a dimensão de vt, em relação a L, também deve
ser 1. De fato:
[ vt ] [ v ] 3 [ t ] LT^21 3 T ] [ vt ] L
Assim, s , s 0 e vt têm mesma dimensão em relação a L e seus valores
deverão ser expressos numa mesma unidade, como o metro.
Na tabela abaixo, apresentamos as sete unidades fundamentais do
Sistema Internacional.
Unidade Símbolo Grandeza
metro m comprimento (L)
quilograma kg massa (M)
segundo s tempo (T)
ampère A intensidade da corrente elétrica (I)
kelvin K temperatura termodinâmica (J)
mol mol quantidade de matéria (N)
candela cd intensidade luminosa (J)
Considere, por exemplo, a equação dimensional de força: [ F ] MLT
22
No Sistema Internacional, a unidade de força é kg 3 m 3 s^22 , que recebe
o nome de newton (N).
Equações físicas.
Teorema de Bridgman
Percy Williams Bridgman (1882-1961), físico norte- -americano que recebeu o prêmio Nobel em 1946 por seus estudos em Física de altas pressões.
Capítulo 21
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
R. 170 Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento har- mônico simples. O período t do MHS é dado por t C 3 m a^3 k d, em que C 2 s é uma constante adimensional. Determine os expoentes a e d e escreva a fórmula do período.
Identificando os expoentes, temos: a d 0 22 d 1
Logo: d 21 __ 2
e a 1 __ 2
A fórmula do período será: t C 3 m a^3 k d^ ] t 2 s 3 m
__^1 (^2 3) k^2
(^1) __
2 ] t 2 s 3 dlll__ m
k
Resposta: a __^1 2
; d 2 __^1 2
e t 2 s (^3) dlll __ m k
R. 167 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que o primeiro membro e o se- gundo têm as mesmas dimensões para cada equação.
a) s a t
2
2
, em que s : espaço; a: aceleração e t : tempo
b) Pot U 3 i , em que Pot : potência; U : tensão elétrica e i : intensidade da corrente elétrica
ExErcícIos rEsolvIDos
Solução: a) [ s ] M 0 LT^0
[a t^2 ] [a] 3 [ t^2 ] [a] 3 [ t ] 3 [ t ] M^0 LT^22 3 T 3 T M^0 LT^22 3 T 2 M^0 LT 0
b) [ Pot ] ML 2 T^23 [ Ui ] [ U ] 3 [ i ] ML 2 T^23 I^21 3 I ML^2 T^23
R. 168 Num movimento oscilatório, a abscissa x da partícula varia com o tempo t de acordo com a fórmula x a b 3 cos ( ct ). Quais são as unidades, no Sistema Internacional, de x , t e dos parâmetros a , b e c? Solução: A unidade de x é o metro (m). Logo, as unidades de a e b são também o metro. Observe que o cosseno é adimensional. O produto ct é também adimensional. Logo, a unidade de c é o inverso da unidade de t , que é o segundo (s). Assim, a unidade de c é o inverso do segundo: s^21.
Resposta: x , a e b : metro (m); t : segundo (s); c : inverso do segundo (s^21 )
Solução: De t C 3 m a^3 k d, temos: [ t ] [ m ]a^3 [ k ]d^3 M^0 L^0 T Ma^3 (MT^22 )d^ ] M^0 L^0 T Ma^ ^ dL^0 T^22 d
R. 169 A velocidade v de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v d a^3 p d, em que d é uma densidade e p uma pressão. Determine os expoentes a e d.
Identificando os expoentes, temos:
a d 0 23 a 2 d 1 22 d 21
Resolvendo o sistema, obtemos: d 1 __ 2
e a 2 __^1 2
Resposta: a 21 __ 2
e d 1 __ 2
Solução: De v d a^3 p d, temos: [ v ] [ d ]a^3 [ p ]d^ ] M^0 LT^21 (ML^23 )a^3 (ML^21 T^22 )d^ ] M^0 LT^21 Ma d^ L^23 a^2 d^ T^22 d
Unidade E
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P. 437 (Inatel-MG) Leia com atenção o seguinte trecho extraído do livro Pensando a Física , do prof. Mário Schenberg: “Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck descobriu a constante h , percebeu que, com a constante h , com a constante gravitacional ( G ) e com a velocidade da luz ( c ), podia-se formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente pequeno, na ordem de 10^233 cm. Hoje se compreende que esse comprimento deve ser importante para a compreensão da origem do universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais fundamental na Física.” Responda agora à seguinte questão: Qual é a possível combinação das constantes h , G e c que forma o comprimento de Planck, de acordo com o texto acima? São dados os seguintes valores no Sistema Internacional (SI):
h 6,63 3 10234 J 3 s G 6,67 3 10211 N _______ 3 m^2 kg^2
c 3 3 10 8 m/s
P. 434 (EEM-SP) As equações dimensionais das grandezas em Mecânica são do tipo: [ G ] [M]a^3 [L]d^3 [T]D onde G é uma grandeza qualquer e M, L e T são as grandezas fundamentais. a) Quais são as grandezas M, L e T, e quais são suas unidades no SI? b) Como se chamam os expoentes a, d e D, e que valores têm quando G é uma potência me- cânica?
P. 435 (Vunesp) Num determinado processo físico, a quantidade de calor Q transferida por convecção é dada por: Q h 3 A 3 S T 3 S t onde h é uma constante, Q é expresso em joules (J), A em metros quadrados (m^2 ), S T em kelvins (K) e S t em segundos (s), que são unidades do Sistema Internacional (SI). a) Expresse a unidade da grandeza h em termos das unidades do SI que aparecem no enunciado. b) Expresse a unidade de h usando apenas as unidades kg, s e K, que pertencem ao conjunto das unidades de base do SI.
P. 436 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade v de propagação de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específica do meio j, de acordo com a fórmula v px^ 3 j y. Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
ExErcícIos propostos DE rEcApItUlAção
P. 430 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que as dimensões do primeiro membro são iguais às do segundo em cada equação. a) v^2 2 aS s , em que v : velocidade; a: aceleração e S s : variação de espaço b) U Ed , em que U : tensão elétrica; E : campo elétrico e d : distância
P. 431 Considere a equação x a bt ct^2 dt^3 , em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Expresse os parâmetros a , b , c e d em função de M, L e T.
P. 432 A aceleração a de um móvel é dada por a v a^3 h d, em que v é a velocidade linear e h a velocidade angular. Determine os expoentes a e d.
P. 433 A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v g a^3 R d, em que g é a aceleração da gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de a e d, e escreva a fórmula da velocidade v do satélite.
ExErcícIos propostos
