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Sistemas Unitários: Análise Dimensional e Similaridades
- Magnitude e sistemas unitários O valor de qualquer magnitude física é expressa como o produto de dois fatores: o valor da unidade e o número de unidades. As propriedades físicas de um sistema estão relacionadas com uma série de leis mecânicas e físicas. Algumas magnitudes podem ser consideradas fundamentais e outras derivadas. Magnitudes fundamentais variam de um sistema para outro. Geralmente, tempo e comprimento são tidos como fundamentais. O sistema de unidades necessita uma terceira magnitude fundamental, que pode ser a massa ou força. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira magnitude fundamental são conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que tem a força como unidade fundamental são chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na engenharia que consideram comprimento, tempo, massa, e força como magnitudes fundamentais.
1.1. Sistemas de Unidade Absoluto Existem três sistemas de unidade absoluto: o C.G.S. (CGS), o Giorgi (MKS), e o inglês (FPS). De todos estes, as magnitudes fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As diferentes unidades destes três sistemas são apresentados na Tabela 1. Nestes sistemas, força é uma unidade derivada das três unidades fundamentais. As unidades de força e energia são detalhadas na Tabela 2. Quando as magnitudes de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de temperatura. Para os sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus centígrados (oC), enquanto que para o sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit (oF). Unidades de calor são definidos independentemente do sistema de unidades.
Tabela 1. Sistema de Unidade Absoluto Sistema c.g.s. Giorgi English Magnitude CGS MKS FPS Comprimento (L) 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 pé (ft) Massa (M) 1grama (g) 1 kilograma (kg) 1 libra (lb) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s)
Tabela 2. Unidades Derivadas do Sistema Absoluto Sistema c.g.s. Giorgi English Magnitude (CGS) (MKS) (FPS)
Força 1 dina 1 Newton (N) 1 poundal Energia 1 erg 1 Joule (J) 1 libras por pé
Tabela 3. Unidades Derivadas do Sistema Absoluto Sistema Magnitude Métrico Inglês Comprimento (L) 1 metro (m) 1 pé (ft) Força (F) 1 quilograma força (kg ou kgf) 1 libra força (lbf) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Temperatura (θ) 1 grau centígrado ( oC) 1 grau Fahrenheit (oC)
1.2 Sistemas de Unidades Técnicos Entre os mais usados sistemas técnicos estão o métrico e o Inglês. Em ambos, as magnitudes fundamentais são comprimento, força, e tempo. Com relação à temperatura, o unidade do sistema métrico é o grau centígrado, e no sistema Inglês é o Fahrenheit. A Tabela 3 mostra as unidades fundamentais dos sistemas métrico e Inglês.
1.3 Sistemas de Unidades de Engenharia Até agora, somente sistemas que consideram apenas três magnitudes como fundamentais foram descritos. Entretanto, em sistemas de engenharia, quatro magnitudes são consideradas básicas: comprimento, tempo, massa, e força. A Tabela 4 apresenta as diferentes unidades para os sistemas de engenharia métrico e Inglês.
Tabela 4. Unidades do Sistema usado em Engenharia Sistema Magnitude Métrico Inglês Comprimento (L) 1 metro (m) 1 pé (ft) Massa (M) 1 quilograma (kg) 1 libra (lb) Força (F) 1 quilograma força (kp ou kgf) 1 libra força (lbf) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Temperatura (θ) 1 grau centígrado ( oC) 1 grau Fahrenheit (oC)
Quando se define massa e força como fundamentais, uma incongruência pode aparecer, visto que estas magnitudes estão relacionadas com princípios de dinâmica básica. Para se evitar esta incompatibilidade, uma correção ou fator de proporcionalidade (gc) deve ser inserido. A equação deste princípio poderia ser:
gc x Força = Massa x Aceleração
nano 10 -9^ n pico 10 -12^ p femto 10 -15^ f atto 10 -18^ a
É interessante que, em muitos problemas, a concentração é expressa por unidades molares. A unidade molar freqüentemente utilizada é o mole, definida como a quantidade de substância na qual a massa em gramas é numericamente igual ao seu peso molecular.
1.5 Unidades Térmicas Calor é uma forma de energia; deste modo, a dimensão de ambos é ML^2 T-2. Entretanto, em alguns sistemas a temperatura é tida como uma dimensão. Nestes casos, a energia do calor pode ser expressa como proporcional ao produto da massa com a temperatura. A constante de proporcionalidade é o calor específico, que depende do material e varia de um para outro. A quantidade de calor é definida como uma função do material, com água como uma referência e o calor específico é a unidade.
Calor = Massa x Calor específico x Temperatura
A unidade de calor específico depende do sistema de unidades a ser adotado. Assim:
Sistema Métrico: Caloria: calor necessário para aumentar a temperatura de um grama de água de 14,5 a 15,5oC Sistema Inglês: Btu (British thermal unit): quantidade de calor necessária para se elevar a temperatura de uma libra de água um grau Fahrenheit ( de 60 para 61oF) Chu (Centigrade heat unit or pound calorie): quantidade de calor necessária para se elevar a temperatura de uma libra de água um grau centígrado Sistema Internacional Caloria: visto que calor é uma forma de energia, sua unidade é o Joule. A caloria pode ser definida como uma função do Joule: 1 caloria = 4, Joules
Visto que calor e trabalho são duas formas de energia, é necessário definir um fator que as relaciona. Por esta razão, o equivalente mecânico de calor (Q) é definido como:
Q x energia de calor = Energia Mecânica
Assim:
Q = Energia Mecânica = MLT-2L = L^2 T-2^ θ - Energia de calor Mθ
1.6 Conversão de Unidades
A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento, tempo e temperatura. A conversão de fatores são usados para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um certo sistema contido em uma unidade de magnitude correspondente em outro sistema. Os fatores de conversão mais comuns para as diferentes magnitudes são apresentados na Tabela 7. Ao se converter unidades, é necessário distinguir os casos nos quais somente os valores numéricos são convertidos daqueles em que a fórmula pode ser convertida. Quando é necessário converter valores numéricos de uma unidade para outra, as equivalências entre elas, o fator de conversão é usado diretamente.
Tabela 7. Fatores de conversão Massa: 1 lb 0,1536 kg (1/32,2) slug Comprimento: 1 polegada 2,54 cm 1 pé 0,3048 m 1 milha 1609 m Superfície: 1 polegada quadrada 645,2 mm^2 1 pé quadrado 0,09290 m^2 Volume e Capacidade: 1 pé cúbico 0,02832 m^3 1 galão (imperial) 4,546 l 1 galão (EUA) 3,786 l 1 barril 159,241 l Tempo: 1 min 60 s 1 h 3600 s 1 dia 86.400 s Diferença de temperatura: 1 oC = 1K 1,8 oF Força: 1 poundal (pdl) 0,138 N 1 lbf 4,44 N 4,44 x 10^5 dina 32,2 pdl 1 dina 10 -5^ N Pressão: 1 atmosfera técnica (at) 1kgf / cm^2 14,22 psi
1 Btu / (h.ft. oF) 1,731 W / (m.K)
Nos casos de conversão de unidades de uma fórmula, a constante que aparece na fórmula geralmente tem dimensões. Para aplicar a fórmula nas diferentes unidades daquelas que foram dadas, somente a constante das fórmulas deverão ser convertidas. Nos casos em que a constante é adimensional, a fórmula pode ser diretamente aplicada usando qualquer sistema de unidades.
