Baixe Análise de Variância Fatorial Dupla: Interação entre Fatores e outras Notas de estudo em PDF para Design, somente na Docsity!
An´
alise de Variˆ
ancia com dois ou mais factores -
planeamento factorial
Em muitas experiˆ
encias interessa estudar o efeito de mais do que um factor
sobre uma vari´
avel de interesse. Quando uma experiˆ
encia envolve dois ou mais
factores diz-se que temos uma
ANOVA m´
ultipla
. Uma ANOVA em que todas
as combina¸
c˜ oes de todos os n´
ıveis de todos os factores s˜
ao consideradas diz-se
ANOVA factorial
. Na maioria das situa¸
c˜ oes, quando estamos interessados em
estudar a influˆ
encia de dois ou mais factores numa vari´
avel, utilizamos uma
Exemplo:ANOVA factorial.
Pretende-se estudar a concentra¸
c˜ ao de c´
alcio no sangue de uma
popula¸
c˜ ao de aves parte da qual foi sujeita a um tratamento hormonal.
Os
investigadores pretendem averiguar se existem diferen¸
cas na concentra¸
c˜ ao m´
edia
de c´
alcio dependendo do tratamento hormonal e tamb´
em dependendo do sexo
das aves.
Os factores deste estudo s˜
ao o tratamento hormonal (presente ou
Bioestat´ ausente) e o sexo (feminino e masculino).
ıstica, 2007
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An´
alise de Variˆ
ancia m´
ultipla - planeamento hier´
arquico
Em geral o n´
umero de n´
ıveis de cada factor bem como o seu valor n˜
ao
depende dos restantes factores.
Quando o n´
umero de n´
ıveis ou o seu valor
varia consoante os n´
ıveis considerados nos restantes factores diz-se que temos
uma
ANOVA hier´
arquica
. Nestes casos deixamos de ter uma ANOVA factorial.
Enquanto numa ANOVA factorial os factores s˜
ao
cruzados
(dando origem a
todas as poss´
ıveis combina¸
c˜ oes dos seus n´
ıveis), numa ANOVA hier´
arquica os
factores s˜
ao
encaixados
uns nos outros (dando origem a uma estrutura tipo
Exemplo: Pretende-se fazer um estudo sobre os n´´arvore).
ıveis de uma dada substˆ
ancia
no sangue (usada como anti-epil´
eptico) e para tal v´
arias amostras de sangue
foram enviadas para 4 laborat´
orios. Cada laborat´
orio utiliza diferentes t´
ecnicas
para fazer a an´
alise e o n´
umero de t´
ecnicas dispon´
ıveis tamb´
em varia de
laborat´
orio para laborat´
orio.
Neste caso temos dois factores:
o laborat´
orio
(com 4 n´
ıveis) e a t´
ecnica de an´
alise (com um n´
umero de n´
ıveis que depende
do laborat´
orio). Este ´
ultimo factor encontra-se encaixado no primeiro.
Bioestat´
ıstica, 2007
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An´
alise de Variˆ
ancia m´
ultipla - interac¸
c˜
ao entre factores
Quando temos dois ou mais factores h´
a que ter em conta que estes podem
interagir entre si,
i.e.,
a varia¸
c˜ ao na vari´
avel resposta produzida por uma
altera¸
c˜ ao do n´
ıvel de um dos factores pode variar consoante os n´
ıveis dos
restantes factores. Assim h´
a que prestar aten¸
c˜ ao `
as poss´
ıveis interac¸
c˜ oes entre
os v´
arios factores, dois a dois, trˆ
es a trˆ
es, etc.. Quanto mais factores existirem
no estudo mais complexo se torna o modelo, porque o n´
umero de interac¸
c˜ oes
poss´
ıveis aumenta muito rapidamente. Quando n˜
ao existe interac¸
c˜ ao entre os
factores o valor esperado de cada combina¸
c˜ ao de n´
ıveis dos factores ´
e a soma
dos valores esperados de cada n´
ıvel separadamente e o modelo diz-se aditivo.
Seguidamente apresenta-se um conjunto de gr´
aficos que pretende ilustrar difer-
entes comportamentos de ANOVA’s com 2 factores (
A
e
B
), tendo cada um
deles apenas 2 n´
ıveis (
A 1 e A 2 , B 1 e B 2
Quando as linhas s˜
ao paralelas
temos modelos sem interac¸
c˜ ao entre os factores (modelo aditivo). Este tipo de
gr´
aficos permite ao investigador ter uma ideia se a interac¸
c˜ ao est´
a presente ou
n˜ ao.
Bioestat´
ıstica, 2007
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Bioestat´
ıstica, 2007
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An´
alise de Variˆ
ancia dupla
Uma ANOVA com dois factores diz-se
ANOVA dupla
Em seguida iremos
Iremos designar os factores porpletamente aleatorizado).considerar o modelo geral de uma ANOVA factorial dupla (planeamento com-
A
e
B
sendo que
A
tem
a
n´ ıveis e
B
tem
b
n´ ıveis.
Existem portanto
ab
combina¸
c˜ oes poss´
ıveis dos n´
ıveis dos factores.
Tal como
ou seja, para cada combina¸foi feito para a ANOVA simples iremos considerar o planeamento equilibrado,
c˜ ao de n´
ıveis dos factores existem
n
observa¸
c˜ oes
(r´
eplicas) independentes. No total s˜
ao necess´
arias
N
abn
observa¸
c˜ oes.
As observa¸
c˜ oes da vari´
avel de interesse
Y
s˜ ao indexadas por 3 ´
ındices,
Y
ijk
i representa o n´
ıvel do factor
A
j
representa o n´
ıvel do factor
B
, e
k
representa
a posi¸
c˜ ao dentro do grupo
ij
.
Bioestat´
ıstica, 2007
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Modelo de ANOVA factorial dupla
Y
ijk
μ
(^) τ i + β j + γ
ij
ǫ ijk
i = 1
,... , a,
j
= 1
,... , b,
k
= 1
,... , n,
onde
μ
representa a m´
edia global,
τ i representa o efeito do n´
ıvel
i
do factor
A
β j
representa o efeito do n´
ıvel
j
do factor
B
γ ij
representa o efeito da interac¸
c˜ ao dos factores
A
e
B
,
ǫ ijk
representa um erro aleat´
orio de cada observa¸
c˜ ao sendo estes erros
independentes entre si e todos com distribui¸
c˜ ao Normal de m´
edia 0 e
variˆ
ancia
σ 2 .
Bioestat´
ıstica, 2007
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Parti¸
c˜
ao da soma de quadrados
Seja
y i ··
=
b
j ∑
n
k ∑
y ijk
¯y i ··
=
y i ··
bn
y · j · =
a
i ∑
n
k ∑
y ijk
¯y ·j · =
y · j ·
an
y ij
·
n
k ∑
y ijk
¯y ij · =
y ij
·
n
y ···
a
i ∑
b
j ∑
n
k ∑
y ijk
¯y ···
y ···
abn
Bioestat´
ıstica, 2007
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a
i ∑
b
j ∑
n
k ∑
y ijk
¯y ···
) 2
SS
total
bn
a
i ∑
y i ··
−
¯y ···
) 2
SS
A
(^) an
b
j ∑
y · j · −
¯y ···
) 2
SS
B
(^) n
a
i ∑
b
j ∑
y ij
· −
¯y i ··
−
¯y · j ·
y ···
) 2
SS
AB
a
i ∑
b
j ∑
n
k ∑
y ijk
¯y ij
· ) 2
SS
E
Bioestat´
ıstica, 2007
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Tabela de ANOVA
Fonte de Varia¸
c˜ ao
Soma
de
quadrados
g.l.
M´
edia
de
quadrados
F
obs
p
factor A
SS
A
a
−
M S
A
SS
A
a − 1
M S
A
M S
E
factor B
SS
B
b −
M S
B
SS
B
b − 1
M S
B
M S
E
Interac¸
c˜ ao
SS
AB
a
−
(^) 1)(
b (^) −
M S
AB
SS
AB
( a − 1)(
b −
M S
AB
M S
E
Erros
SS
E
ab
n
−
(^) 1)
M S
E
Total
SS
total
abn
Bioestat´
ıstica, 2007
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Atrav´
es desta tabela podemos testar as hip´
oteses referidas anteriormente atrav´
es
dos
p-values
da ´
ultima coluna. Neste caso:
a estat´
ıstica de teste para as hip´
oteses 1 (efeito principal do factor
A
e
F
M S
A
M S
E ∼ F a − 1
,ab
( n −
, sob
H
0 ;
a estat´
ıstica de teste para as hip´
oteses 2 (efeito principal do factor
B
e
F
M S
B
M S
E ∼ F b − 1
,ab
( n −
, sob
H
0 ;
a
estat´
ıstica
de
teste
para
as
hip´
oteses
(interac¸
c˜ ao) ´
e
F
M S
AB
M S
E
F
( a − 1)(
b −
,ab
( n −
, sob
H
0 ;
Bioestat´
ıstica, 2007
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Ora,
μ
(^) τ i + β j + γ
ij
representa o valor m´
edio da combina¸
c˜ ao dos n´
ıveis
A
i e
B
j , que podemos representar por
μ ij
. Este valor m´
edio pode ser estimado pela
m´
edia das observa¸
c˜ oes deste grupo,
Y¯
ij ·
. Assim, os erros podem ser estimados
por
ˆǫ ijk
Y
ijk
Y¯
ij · .
Estas diferen¸
cas chamam-se
res´
ıduos
e costumam-se representar por
e ijk
Uma an´
alise de res´
ıduos consiste em estudar o conjunto de todos os res´
ıduos
(^) e
ijk
i
= 1
,... , a
j
= 1
,... , b
k
= 1
,... , n
, no sentido de averiguar se podemos
considerar que
essa amostra ´
e
aleat´
oria e
proveniente
de
uma popula¸
c˜ ao
Normal.
Para averiguar a Normalidade, constroem-se QQ-plots e fazem-se
No SPSS, podemos guardar os res´testes de ajustamento.
ıduos, para seguidamente os analisar, atrav´
es
do bot˜
ao
Save
do menu da ANOVA,
Analyze / General Linear Model /
Univariate
Bioestat´
ıstica, 2007
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An´
alise de Variˆ
ancia com blocos aleatorizados
Em certas experiˆ
encias podem existir factores (externos) que introduzem vari-
abilidade nos dados e que interessa controlar.
Por exemplo, se estivermos
interessados em comparar 3 variedades de trigo atrav´
es do peso m´
edio dos
gr˜
aos, pode ter influˆ
encia o tipo de solo em que as plantas v˜
ao crescer. Em vez
de seleccionarmos ao acaso um certo n´
umero de campos para semear as v´
arias
caracter´sementes, podemos seleccionar um conjunto de campos (possivelmente com
ısticas de solo diferentes) e dividir cada campo em trˆ
es parte de modo a
semear as trˆ
es variedades de trigo em cada campo. Neste tipo de planeamento
designa-se cada campo por
bloco
. Os blocos constituem o factor externo cuja
variabilidade induzida vai ser poss´
ıvel controlar do ponto de vista estat´
ıstico.
que possuiAssim, num planeamento com blocos aleatorizados temos um factor de interesse
g
n´ ıveis (tratamentos) e temos
b
blocos prefazendo um total de
N
gb
observa¸
c˜ oes.
Os tratamentos s˜
ao distribu´
ıdos aleatoriamente pelos
g
Bioestat´^ elementos de cada bloco.
ıstica, 2007
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ANOVA com blocos aleatorizados - pressupostos
- O modelo descrito anteriormente ´ Pressupostos exigidos:
e v´
alido.
- Os erros s˜
ao aleat´
orios e independentes entre si, com distribui¸
c˜ ao Normal,
ǫ ij
⌢ N
, σ
- O factor em estudo e o factor bloco n˜
ao tˆ
em interac¸
c˜ ao (resulta do pressu-
posto 1.).
Bioestat´
ıstica, 2007
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Hip´
oteses a testar
No caso de o factor em estudo ser de feitos fixos temos
H 0 : μ 1 = μ 2 =
μ g
=
μ
vs
H 1 : μ i 6
μ
pelo menos para um
i
ou equivalentemente
H 0 : τ 1 = τ 2 =
τ g
= 0
vs
H 1 : τ i 6
pelo menos para um
i
No caso de o factor em estudo ser de efeitos aleat´
orios temos
H
0
:
σ τ 2
= 0
vs
H
1
: σ τ 2
onde
σ τ 2
representa a variˆ
ancia associada ao factor de interesse.
Bioestat´
ıstica, 2007
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