Análise de Sensibilidade em Programação Linear: Intervalos Ótimos de Coeficientes, Notas de estudo de Programação Linear

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Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

AnáAn

álise de

lise de

Sensibilidade

Sensibilidade

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Consiste em pesquisar a estabilidade da solução emvista de possíveis variações dos parâmetros a

ij

, b

i

e c

j

utilizados na Programação Linear, uma vez que, osparâmetros tecnólogicos (a

ij

), os termos independentes

(b

i

) e os coeficientes de lucro/custo (c

j

) são

geralmente, muito suscetíveis as variações domercado, da produção, ...Retomando o problema da fabricação de 2 produtosem 3 máquinas, tinhamos:

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

4

Colocando na forma Normal

280

u u 0 u 0 x 2 x 4

120

u 0 u u 0 x 2 x

160

u 0 u 0 u x 2 x 2 u 0 u 0 u 0 x 5. 1 x z

3

2

3

2

1

3

2

2

2

1

3

2

1

2

1

3

2

1

2

1

=

=

=

= − − − − −

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

A tabela Simplex inicial é:

0 0 0 0 5. 1 1

280

1

0

0

2

4

120

0

1

0

2

1

160

0

0

1

2

2

b u u u x x

3

2

1

2

1

−

−

A tabela Simplex ótima é:

100

0 2 1 4 1 0 0

40

1

2

3

0

0

40

0 1 2 1 1 0

40

0

1

1

0

1

b u u u x x

3

2

1

2

1

−

−

−

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Intervalo Ótimo dos Coeficientes de Lucro (Custo)

O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo devariação dos coeficientes da função objetivo sem que asolução ótima seja mudada.

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Supondo que a função-objetivo seja mudada de:

2

1

2

1

x 5. 1 x 3. 1

paraZ

x

x

Z

A solução continuará sendox

=40 e x

2

=40, porém Z=

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Determinação dos Intervalos Ótimos Qual o intervalo ótimo para c

2

?

2

2 2

2

1

p

5 .

1

Fazendoc

5 .

1

c

x 5. 1 x Z

= =

=

(

)

(

)

x

p

x

Z

x

p

x

Z

2

2

1

2

2

1

fica:

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

11

A tabela Simplex, fica:

0 0 0 0 p 5. 1 1

b u u u x x

2

3

2

1

2

1

Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:

2

2

3

2

1

2

1

p

0 p 2 1 2 p 4 1 0 0

b u u u x x

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

B

N

V

continuam

u

e

u

p

to

tan

por

base

é

não

u

p

p

base

é

não

u

p

p

p

p

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

Uma vez que c

2

=1.5, o intervalo ótimo é:

1

1 2

5 .

1

2

1 2

5 .

1

=

−

=

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

ótimo

ervalo

int

2

c

1

to

tan

por

2

⇒

≤

≤

Os valores de p

2

podem ser obtidos diretamente da tabela

Simplex ótima.

(

)

( )

(

)

b u u u x x

3

2

1

2

1

A unidade na 2

o

coluna encontra-se na 2

o

linha. Os coeficientes

de u

1

e u

2

nesta linha são –1/2 e 1, respectivamente.

p

p

2 2

Z

p

e

2

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Outro Exemplo

b u u x x x

2

1

3

2

1

Inicial − ótima

b u u x x x

2

1

3

2

1

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

V.B.

x

2

,x

V.N.B. x

1

, u

, u

Qual o intervalo ótimo para c

2

(coef. de x

2

)?

( ) ( ) ( )

4

3

4 3

0

4 c 1 p 0 p

1 2

1 2

3

4 3

c

5 3

p

0

p

3 2

5 2

2

0 c 3 p 0 p

1 2

3 2

1

2

2

2

2

2

2

2 2 2 < < < = ⇒ ≤ ⇒ ≥ −

= ⇒ − ≥ ⇒ ≥ +

= ⇒ − ≥ ⇒ ≥ +

ótimo

ervalo

int

c

to

tan

por

2

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

Intervalo Ótimo dos Termos Independentes(Valores dos Recursos)

O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo devariação dos valores dos recursos. Os gráficos abaixo ilustramo efeito de mudar b

3

= 280 para b

3

= 240.

Fernando Nogueira

Análise de Sensibilidade

A tabela Simplex, fica:

p

b u u u x x

2 3 2 1 2 1

Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:

p

p

p

p

b u u u x x

(^22)

2 2

3

2

1

2

1