UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
André Reinert Brüch
ANÁLISE DE LAJES EM BALANÇO EM FORMA DE L
Porto Alegre
dezembro 2009
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Comparação de Resultados entre Modelos de Placa e Barra em Análise de Estruturas, Notas de aula de Geometria
Um estudo comparativo entre modelos de placa e barra em análises de estruturas em balanço. O documento inclui tabelas e gráficos que mostram os momentos e deslocamentos obtidos em diferentes modelos, além da teoria de kirchhoff para flexão de placas e as hipóteses subjacentes. O objetivo é encontrar soluções com modelos de barra que forneçam bons resultados em comparação com modelos de placa.
O que você vai aprender
- Quais são as hipóteses subjacentes à teoria de Kirchhoff para flexão de placas?
- Quais são as vantagens e desvantagens de usar modelos de placa e barra em análises de estruturas em balanço?
- Como se compara o deslocamento máximo obtido em diferentes modelos de placa e barra?
- Quais são os momentos e deslocamentos obtidos em diferentes modelos de placa e barra?
Tipologia: Notas de aula
2022
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ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
André Reinert Brüch
ANÁLISE DE LAJES EM BALANÇO EM FORMA DE L
Porto Alegre dezembro 2009
ANDRÉ REINERT BRÜCH
ANÁLISE DE LAJES EM BALANÇO EM FORMA DE L
Trabalho de Diplomação apresentado ao Departamento de
Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obtenção do
título de Engenheiro Civil
Orientador: Inácio Benvegnu Morsch
Porto Alegre dezembro 2009
Dedico este trabalho aos meus avós, Neu Reinert e Osmar Brüch.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Prof. Inácio Benvegnu Morsch, orientador deste trabalho, pela ajuda e orientação prestadas ao longo de todo ano.
Agradeço a Profa. Carin Maria Schmitt, Coordenadora das disciplinas Trabalho de Diplomação Engenharia Civil I e II, por toda atenção dada.
Agradeço a engenheira Cláudia Mesquita da Rosa por todo material didático e apoio prestado.
Agradeço ao engenheiro Reiner Lang pela ajuda nas soluções realizadas com o software TQS.
Agradeço aos colegas e grandes amigos que fiz na longa caminhada deste curso, em especial aos engenheiros Bernardo Etges, Rafael Sacchi e Rodrigo Nascimento.
Agradeço aos meus pais, Ana Reinert e Ricardo Santalucia Brüch, por estarem sempre ao meu lado em todas as decisões tomadas.
Agradeço aos meus avós, Neu Reinert e Osmar Brüch, dois grandes exemplos na minha vida.
RESUMO
BRÜCH, A. R. Análise de lajes em balanço em forma de L. 2009. 93 f. Trabalho de Diplomação (Graduação em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia Civil. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
Nos escritórios de projeto de Engenharia, diferentes métodos são empregados para a solução de problemas estruturais. Dentre os mais utilizados nos programas de computador para análise de placas, destacam-se o Método dos Elementos Finitos e a Analogia de Grelha. O primeiro analisa a placa de forma bidimensional, dividindo-a em elementos discretos onde a sua continuidade é mantida. O segundo, representa a placa através de uma grelha composta por elementos unidirecionais de barras, os quais precisam ser calibrados para que forneçam bons resultados. Muito apreciadas pelos arquitetos e cada vez mais freqüente em edificações residenciais, as sacadas formadas por lajes em balanço em forma de L necessitam de uma análise bem realizada de seus esforços e deslocamentos, pois sua configuração não é simples como a de uma laje com um balanço unidirecional. Este trabalho tem como objetivo a análise e comparação de resultados obtidos para lajes que apresentam esta configuração quando calculadas segundo os diferentes métodos. O autor visa também a calibração dos elementos de barra utilizados na Analogia de Grelha para a obtenção de resultados satisfatórios quando comparados aos obtidos através do Método dos Elementos Finitos, testando estas calibrações obtidas em problemas com outras características para avaliar a sua validade conforme a geometria e a vinculação das placas.
Palavras-chave: placa; elementos finitos; analogia de grelha; calibração; balanço em L.
LISTA DE FIGURAS
Quadro 32: deslocamentos na placa retangular para o caso c........................................... 75 Quadro 33: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra ao longo das bordas 5 e 6......................................................................................... 76 Quadro 34: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra nos pontos 4 e 5......................................................................................................... 76 Quadro 35: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra para o deslocamento no ponto 1..................................................................................... 76 Quadro 36: comparação dos resultados obtidos entre a analogia do balanço unidirecional e modelo de placa.......................................................................... 77 Quadro 37: comparação dos resultados obtidos para a solução através do desmembramento da placa ao longo das bordas 5 e 6........................................ 77 Quadro 38: comparação dos resultados obtidos para a solução através do desmembramento da placa nos pontos 5 e 6....................................................... 77 Quadro 39: comparação dos resultados obtidos para a solução através do desmembramento da placa no ponto 1................................................................ 78 Quadro 40: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra ao longo da borda 2 da placa 1................................................................................. 78 Quadro 41: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra no ponto 2 da placa 1............................................................................................... 78 Quadro 42: comparação dos resultados obtidos para o deslocamento da placa 1............. 78 Quadro 43: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra ao longo das bordas 5 e 6 da placa 2........................................................................ 79 Quadro 44: comparação dos resultados obtidos entre modelos de placa e barra nos pontos 5 e 6 da placa 2........................................................................................ 79 Quadro 45: comparação dos resultados obtidos para o deslocamento da placa 2............. 79 Quadro 46: comparação dos resultados obtidos ao longo das bordas 5 e 6 no modelo do TQS com barras de 50 cm.............................................................................. 80 Quadro 47: comparação dos resultados obtidos nos pontos 5 e 6 no modelo do TQS com barras de 50 cm........................................................................................... 80 Quadro 48: comparação dos resultados obtidos ao longo das bordas 5 e 6 no modelo do TQS com barras de 25 cm.............................................................................. 80 Quadro 49: comparação dos resultados obtidos nos pontos 5 e 6 no modelo do TQS com barras de 25 cm........................................................................................... 80
- Figura 1: representação esquemática do delineamento da pesquisa..................................
- Figura 2: raio R da maior circunferência que pode ser inscrita no plano da placa...........
- Figura 3: placa delgada retangular e sua deflexão devido à ação de forças transversais..
- Figura 4: diminuição do valor do giro na direção positiva dos eixos x e y.......................
- Figura 5: a geometria do giro de torção............................................................................
- placa.................................................................................................................... Figura 6: deslocamento de um ponto A situado a uma distância z do plano médio da
- Figura 7: momentos e esforços cortantes na placa plana..................................................
- Figura 8: configuração das charneiras plásticas................................................................
- Figura 9: diagrama real e diagrama rígido-plástico...........................................................
- Figura 10: malha de elementos finitos interligados em seus nós......................................
- Figura 11: elemento SHELL 63........................................................................................
- Figura 12: dados de saída do elemento SHELL 63...........................................................
- Figura 13: barras representando faixas de uma placa em uma direção.............................
- torção................................................................................................................... Figura 14: seção retangular e seus pontos de tensão máxima devido a um esforço de
- Figura 15: elemento de barra BEAM 4.............................................................................
- Figura 16: ilustração de um prédio com sacadas em balanço em L..................................
- Figura 17: problema proposto no trabalho........................................................................
- Figura 18: círculos inscritos no plano da placa.................................................................
- Figura 19: desmembramento da laje em L........................................................................
- Figura 20: laje com duas bordas adjacentes engastadas e as outras duas livres................
- Figura 21: identificação de elementos da placa.................................................................
- Figura 22: modelo com elementos de 50x50 cm e de 6,25x6,25 cm................................
- Figura 23: estimativa de erro na malha menos e mais refinada........................................
- Figura 24: variação dos momentos no ponto 4 com o tamanho dos elementos................
- Figura 25: deslocamentos obtidos na malha mais refinada...............................................
- Figura 26: momentos Mx e My da placa com elementos de 25 cm...................................
- Figura 27: momentos Mxy da placa com elementos de 25 cm..........................................
- Figura 28: modelo com barras de 50 cm de largura..........................................................
- Figura 29: distribuição de momentos fletores no modelo com barras de 50 cm...............
- Figura 30: deslocamentos obtidos no modelo com barras de 25 cm.................................
- Figura 31: curva dos deslocamentos obtidos para diversas calibrações das barras...........
- Figura 32: linha de ruptura r..............................................................................................
- Figura 33: geometria do triângulo e momento distribuído ao longo da linha de ruptura..
- Figura 34: variação dos momentos M 1 com o tamanho dos elementos............................
- Figura 35: momentos M 1 obtidos para a malha de 25x25 cm...........................................
- Figura 36: identificação de elementos da placa na solução por desmembramento...........
- Figura 37: deslocamentos obtidos na malha mais refinada para a placa 1........................
- Figura 38: momentos Mx e Mxy para placa 1 com elementos de 25 cm............................
- Figura 39: deslocamentos obtidos na malha mais refinada para a placa 2........................
- Figura 40: momentos Mx para a placa 2 com elementos de 25 cm...................................
- Figura 41: momentos My para a placa 2 com elementos de 25 cm...................................
- Figura 42: momentos fletores no modelo com barras de 25 cm da placa 1......................
- Figura 43: deslocamentos obtidos para a placa 1 com barras de 25 cm............................
- placa 1................................................................................................................. Figura 44: curva dos deslocamentos obtidos para diversas calibrações das barras da
- Figura 45: momentos fletores no modelo com barras de 25 cm da placa 2......................
- Figura 46: deslocamentos obtidos para placa 2 com barras de 25 cm..............................
- placa 2................................................................................................................. Figura 47: curva dos deslocamentos obtidos para diversas calibrações das barras da
- Figura 48: momentos fletores obtidos no TQS no modelo com barras de 25 cm.............
- Quadro 1: momentos e tensões obtidos no ponto 4 da placa............................................ LISTA DE QUADROS
- ponto 4................................................................................................................. Quadro 2: média, desvio padrão e coeficiente de variação dos momentos obtidos no
- Quadro 3: deslocamentos no ponto 1................................................................................
- Quadro 4: momentos fletores ao longo das bordas 5 e 6 (modelo de placa).....................
- Quadro 5: momentos fletores nos pontos 5 e 6 (modelo de placa)...................................
- Quadro 6: resumo dos resultados obtidos para a malha mais refinada.............................
- Quadro 7: momentos fletores ao longo das bordas 5 e 6 (modelo de barras)...................
- Quadro 8: momentos fletores nos pontos 5 e 6 (modelo de barras)..................................
- Quadro 9: deslocamentos obtidos para diferentes calibrações das barras.........................
- Quadro 10: momentos M 1 obtidos nos modelos de placa.................................................
- Quadro 11: média, desvio padrão e coeficiente de variação para os momentos M
- Quadro 12: deslocamentos no ponto 1 da placa 1.............................................................
- placa)................................................................................................................... Quadro 13: momentos fletores ao longo da borda 2 e do ponto 2 da placa 1 (modelo de
- Quadro 14: resumo dos resultados obtidos para a malha mais refinada da placa 1..........
- Quadro 15: deslocamentos no ponto 3 da placa 2.............................................................
- Quadro 16: momentos fletores ao longo das bordas 5 e 6 da placa 2 (modelo de placa).
- Quadro 17: momentos fletores nos pontos 5 e 6 da placa 2 (modelo de placa)................
- Quadro 18: resumo dos resultados obtidos para a malha mais refinada da placa 2..........
- barra)................................................................................................................... Quadro 19: momentos fletores ao longo da borda 2 e do ponto 2 da placa 1 (modelo de
- Quadro 20: deslocamentos da placa 1 obtidos para diferentes calibrações das barras......
- Quadro 21: momentos fletores ao longo das bordas 5 e 6 da placa 2 (modelo de barras)
- Quadro 22: momentos fletores nos pontos 5 e 6 da placa 2 (modelo de barras)...............
- Quadro 23: deslocamentos da placa 2 obtidos para diferentes calibrações das barras......
- Quadro 24: momentos fletores ao longo das bordas 5 e 6 (TQS).....................................
- Quadro 25: momentos fletores nos pontos 5 e 6 (TQS)....................................................
- Quadro 26: deslocamentos obtidos no TQS......................................................................
- Quadro 27: deslocamentos na placa em L para o caso a...................................................
- Quadro 28: deslocamentos na placa em L para o caso b...................................................
- Quadro 29: deslocamentos na placa em L para o caso c...................................................
- Quadro 30: deslocamentos na placa retangular para o caso a...........................................
- Quadro 31: deslocamentos na placa retangular para o caso b...........................................
- 1 INTRODUÇÃO..............................................................................................................
- 2 MÉTODO DE PESQUISA............................................................................................
- 2.1 QUESTÃO DE PESQUISA..........................................................................................
- 2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO....................................................................................
- 2.2.1 Objetivo principal....................................................................................................
- 2.2.2 Objetivos secundários..............................................................................................
- 2.3 PRESSUPOSTOS.........................................................................................................
- 2.4 DELIMITAÇÕES.........................................................................................................
- 2.5 LIMITAÇÕES...............................................................................................................
- 2.6 DELINEAMENTO.......................................................................................................
- 3 PLACAS..........................................................................................................................
- 3.1 CLASSIFICAÇÃO........................................................................................................
- 3.2 TEORIAS DE CÁLCULO............................................................................................
- 3.3 TEORIA DE KIRCHOFF.............................................................................................
- 3.4 TEORIA DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS..............................................................
- 4 SOLUÇÕES DE PLACAS.............................................................................................
- 4.1 SOLUÇÃO ANALÍTICA.............................................................................................
- 4.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS....................................................................
- 4.2.1 Descrição do método................................................................................................
- 4.2.2 Elemento SHELL 63................................................................................................
- 4.3 ANALOGIA DE GRELHA..........................................................................................
- 4.3.1 Descrição do método................................................................................................
- 4.3.2 Elemento BEAM 4....................................................................................................
- 5 ANÁLISE DO PROBLEMA PROPOSTO..................................................................
- 5.1 DESCRIÇÃO DO CASO ESTUDADO.......................................................................
- 5.2 SOLUÇÃO ANALÍTICA.............................................................................................
- 5.3 SOLUÇÃO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.....................................
- 5.4 SOLUÇÃO PELA ANALOGIA DE GRELHA...........................................................
- 5.5 SOLUÇÃO CONSIDERANDO UM BALANÇO UNIDIRECIONAL.......................
- 5.6 SOLUÇÕES COM DESMEMBRAMENTO DA PLACA...........................................
- 5.6.1 Elementos Finitos.....................................................................................................
- 5.6.2 Analogia de Grelha...................................................................................................
- 5.7 SOLUÇÃO COM TQS.................................................................................................
- 5.8 ESTUDOS COMPLEMENTARES.............................................................................
- 5.9 COMPARAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS....................................................
- 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................
- REFERÊNCIAS..................................................................................................................
- APÊNDICE A.....................................................................................................................
Análise de lajes em balanço em forma de L
Grelha. Neste último caso, sendo necessário encontrar um coeficiente de calibração que permita uma análise confiável deste tipo de problema.
O trabalho é dividido em seis capítulos. Cabe a este primeiro, introduzir o tema do trabalho, e ao segundo capítulo, apresentar seu método de pesquisa, tratando de questão de pesquisa, objetivos primários e secundários, pressupostos, delimitações, limitações e delineamento.
O terceiro capítulo é sobre as placas. Descreve sua classificação e as diferentes teorias de análise, das quais a Teoria de Kirchoff, para placas finas no domínio elástico, e a Teoria das Charneiras Plásticas, no domínio plástico, serão abordadas. O quarto capítulo trata de soluções de placas. Comenta sobre soluções analíticas de placas através de séries de Fourier, do Método dos Elementos Finitos e da Analogia de Grelha. São apresentados também neste capítulo, os elementos utilizados nos modelos de placa e de barra realizados neste trabalho.
O quinto capítulo apresenta o problema proposto e algumas formas de tratá-lo: a idéia da solução analítica através do desmembramento do problema, a solução do balanço unidirecional, as soluções através do Método dos Elementos Finitos e da Analogia de Grelha, solução com o software do mercado TQS, além de estudos complementares sobre os coeficientes de calibração obtidos para os deslocamentos da placa, comparações e análise dos resultados obtidos.
O sexto capítulo, considerações finais, expõe as conclusões que englobam todas as análises realizadas no trabalho, assim como dos resultados obtidos a partir dos distintos métodos utilizados e as calibrações encontradas para o modelo de grelha.
André Reinert Brüch. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
2 MÉTODO DE PESQUISA
2.1 QUESTÃO DE PESQUISA
A questão de pesquisa deste trabalho é: pode-se encontrar soluções com modelos de barra que forneçam bons resultados na análise de lajes em balanço em forma de L quando comparados com resultados obtidos com modelos de placa?
2.2 OBJETIVOS DO TRABALHO
Os objetivos do trabalho estão classificados em principal e secundários e são apresentados nos próximos itens.
2.2.1 Objetivo principal
O objetivo principal deste trabalho é o encontro da calibração de modelos de grelha que forneça uma boa aproximação do comportamento de estruturas de lajes em balanço em forma de L quando comparado com resultados obtidos com modelos de placa.
2.2.2 Objetivos secundários
Os objetivos secundários deste trabalho são:
a) análise de placas através de soluções analíticas; b) solução de problemas de placas através da analogia de grelha; c) solução de problemas de placas através do método dos elementos finitos.
André Reinert Brüch. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2009
Uma representação esquemática do delineamento em diagrama que relaciona as etapas do trabalho é apresentado na figura 1.
Figura 1: representação esquemática do delineamento da pesquisa
Análise de lajes em balanço em forma de L
3 PLACAS
Placas são elementos tridimensionais sendo que uma de suas dimensões, a espessura, é pequena em relação às outras duas e as cargas são todas perpendiculares ao seu plano médio (AZEVEDO, 2003). No caso de carregamentos constituídos por momentos fletores, o vetor representativo do momento aplicado estará contido no plano médio da placa (GROEHS, 2002). As placas podem ter diversas formas: retangulares, circulares, elípticas, triangulares. São muito utilizadas na prática da Engenharia Civil como pavimentos de edifícios e paredes de reservatórios (OLIVEIRA NETO, 1998).
As placas podem diferenciar-se pela sua geometria, pelo tipo de apoio (pontual ou linear), pela sua vinculação (engaste, apoio simples, borda livre), e podem estar submetidas a diferentes tipos de carregamentos (carga pontual, uniformemente distribuída, hidrostática).
3.1 CLASSIFICAÇÃO
Pode-se classificar uma placa em dois diferentes tipos: finas e espessas. Esta classificação pode ser feita a partir da relação entre a sua espessura e suas demais dimensões. Segundo Groehs (2002), esta classificação é dada através do raio R da maior circunferência que pode ser inscrita no plano da placa e a sua espessura t, conforme é apresentado na figura 2.
Figura 2: raio R da maior circunferência que pode ser inscrita no plano da placa (GROEHS, 2002)