Baixe Estudo do Tempo de Esvazio de Recipientes Cilíndricos - Prof. Beraldo e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Física Experimental, somente na Docsity!
ANÁLISE DE UM EXPERIMENTO
1. Os valores experimentais
A Tabela 17 contém os valores resultantes de um experimento. A análise desses valores possibilitar-lhe-á tirar conclusões sobre a natureza do processo que está sendo investigado e predizer o resultado de experiências similares. A apresentação e a análise de resultados experimentais constituem um setor essencial da Física.
Tabela 17. Tempo para esvaziar (em segundos)
(^30 10 4 1) ←←←← h (cm) 1,5 73,0 43,5 26,7 13, 2 41,2^ 23,7^ 15,0^ 7, 3 18,4^ 10,5^ 6,8^ 3, 5 6,8 3,9 2,2 1, ↑↑↑↑ d (cm) O experimento em questão consistiu em investigar o tempo que leva a água para extravasar pelo buraco do fundo de uma lata. Conforme se esperava, esse tempo depende do tamanho do orifício e da quantidade de água no recipiente.
- Analisando os dados da Tabela 17, você pode estimar qual o tempo necessário para esvaziar um recipiente cujas dimensões sejam: altura h = 20 cm e diâmetro d = 4 cm? Para averiguar a dependência desse tempo com relação ao tamanho do orifício, extravasou- se, através de orifícios circulares de diferentes diâmetros, a água contida em quatro grandes recipientes cilíndricos de igual tamanho. Para verificar de quanto esse tempo depende da quantidade de água, verteu-se esse líquido para os mesmos recipientes até alturas diferentes.
Cada medição foi repetida diversas vezes, e registraram-se na tabela os valores médios dos tempos (em segundos) necessários para esvaziar cada recipiente. Devido à dificuldade de medir precisamente intervalos curtos de tempo usando um relógio, há um número menor de algarismos significativos nas medições desses tempos do que nas de longos intervalos de tempo.
Todos os valores necessários constam da Tabela 17. Porém, uma representação gráfica dos mesmos, possibilitar-nos-á inferir conclusões e facilitará enormemente o estabelecimento de uma relação matemática entre esses valores.
2. Estudo das características gerais das funções
Através dos dados registrados na Tabela 17 constata-se que o tempo, t , é função da altura, h , e do diâmetro, d. Esse tipo de dependência é representado genericamente assim:
Equação 2 t =f ( , h d )
A Equação 2 é lida da seguinte maneira: o tempo, t , é função da altura, h , e do diâmetro, d. Note-se que a Equação 2 indica uma representação geral da dependência entre as três grandezas envolvidas. É nossa tarefa obter uma equação analítica entre essas grandezas, determinando tanto a forma da expressão algébrica entre elas, bem como as constantes envolvidas em tal expressão.
Para obtermos uma indicação do tipo de expressão analítica entre as três grandezas, devemos construir gráficos que relacionem duas grandezas de cada vez. Isto significa que a terceira grandeza, em cada caso, deve ser mantida constante.
3. Análise da relação entre o tempo e a altura
Na Figura 25 apresentam-se as curvas de t (s) em função de h (cm) para cada um dos valores de d (cm). As escalas do gráfico são aritméticas. Como foi dito anteriormente, qualquer um dos valores de d pode ser usado para caracterizar o tipo de curva, que, no caso, pode ser representada pela função geral apresentada na Equação 3, onde a e m são as constantes a determinar em função do ajuste. O expoente m caracteriza a forma da curvas, sendo o mesmo para qualquer uma delas. A constante a , por outro lado, é função de cada um dos diâmetros dos orifícios. Como estamos interessados na determinação da expressão ligada à forma das curvas, precisamos encontrar um método para obter o valor de m.
Equação 3 t^ =^ a^ h m
Uma maneira de obtermos o coeficiente m é aplicando-se logaritmos a ambos os membros da Equação 3. Explicitamente, obtém-se a expressão:
Equação 4 ln t = ln a + m ln h
que é a equação de uma reta. O que a Equação 4 nos sugere é que, num gráfico de ln t em função do ln h , obteremos uma reta. Pode-se simplificar o trabalho de análise se, ao invés de calcularmos os logaritmos do tempo e da altura, utilizarmos um gráfico com escalas logarítmicas. Na Figura 26 apresentam-se as curvas de t (s) em função de h (cm), para cada um dos valores de d (cm). Note que as duas escalas do gráfico são logarítmicas e que as curvas da Figura 25 foram linearizadas. Como pode ser visto na Figura 26, todas as retas têm o mesmo coeficiente angular, e, comparando- se com a Equação 4, esse coeficiente representa o valor da constante m. Meça, no gráfico, o coeficiente angular das quatro retas. Qual o valor que você obteve?
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
67
89
2
3
4
5
67
89
(^11 1 1 )
1
1
Figura 26. Tempo em função da altura para os diferentes diâmetros do orifício. Note que as escalas são logarítmicas.
4. Análise da relação entre o tempo e o diâmetro
Na Figura 27 apresentam-se as curvas de t (s) em função de d (cm) para cada um dos valores de h (cm). As escalas do gráfico são aritméticas. Neste caso também, qualquer um dos valores de h pode ser usado para caracterizar o tipo de curva, que, neste caso, pode ser representada pela função geral apresentada na Equação 5, onde b e n são as constantes a determinar em função do ajuste. O expoente n caracteriza a forma da curvas, sendo o mesmo para qualquer uma delas. A constante b, por outro lado, é função de cada uma das alturas. Como estamos interessados na determinação da expressão ligada à forma das curvas, precisamos encontrar um método para obter o valor de n.
Equação 5 (^) t =b dn
0,1 1 10 100
1
10
100
t^ (s)
h (cm)
d = 1,5 cm d = 2 cm d = 3 cm d = 5 cm Linear Fit of DATA5_B Linear Fit of DATA5_C Linear Fit of DATA5_D Linear Fit of DATA5_E
Aplicando-se logaritmos a cada membro da Equação 5, obtém-se a equação de uma reta:
Equação 6 ln t = ln b + n ln d
Também neste caso linearizam-se as curvas da Figura 27, construindo os gráficos com escalas logarítmicas. O resultado é mostrado na Figura 28. Note que as escalas são logarítmicas.
Figura 28. Tempo em função do diâmetro do orifício para cada uma das alturas. Note que as escalas são logarítmicas.
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
67
89
2
3
4
5
67
89
(^11 1 1 )
1
1
0,1 1 10 100
1
10
100
t^ (s)
d (cm)
h = 30 cm h = 10 cm h = 4 cm h = 1 cm Linear Fit of DATA4_B Linear Fit of DATA4_C Linear Fit of DATA4_D Linear Fit of DATA4_E
As quatro curvas da Figura 28 têm a mesma inclinação. O coeficiente angular dessas retas corresponde à constante n , que é comum a todas elas. A outra constante, b , que pode ser obtida através do ln b , têm valores diferentes para cada reta e é função da altura, h. Como estamos interessados apenas na determinação das características da família de curvas, somente nos interessa o valor da constante n. Calcule o valor desse coeficiente angular. Qual o valor que você obteve?
5. Determinação da relação geral entre as três grandezas
A forma da Equação 2 é indicativa da existência de uma relação entre as três grandezas tempo, altura e diâmetro. É quase impossível obter-se uma relação analítica analisando-se o comportamento simultâneo das três grandezas. Você pode ter tido uma idéia dessa dificuldade quando viu os dados na Tabela 17.
Em física é freqüente analisarmos relações entre diversas grandezas, como as que estamos analisando agora.
Equação 7 (^) t =f ( , h d )
O que a expressão acima nos sugere é que analisemos o comportamento de t em função de h e de t em função de d , separadamente, como foi feito nas seções 3 e 4 deste experimento.
O resultado que obtivemos foi que a relação analítica entre o tempo, a altura e o diâmetro pode ser representada através de funções potenciais , conforme pode ser visto através da Equação 3 e da Equação 5.
É possível, agora, associarmos as duas equações numa única equação, utilizando uma propriedade das proporções. Dentro do contexto de nosso problema, podemos associar as duas relações assim:
se t é proporcional a h m , e se t é proporcional a d n , então t é proporcional ao produto h m^ d n. Analiticamente, representam-se todas as relações desta forma:
Equação 8 t α h m^ ⋅ d n
A primeira letra do alfabeto grego, α , é indicativa da relação de proporcionalidade entre os dois membros da Equação 8. Sempre que temos uma proporção entre dois membros de uma
Você pode notar que os valores de k são praticamente constantes. A rigor, espera-se que k seja constante. A pequena flutuação entre esses valores deve-se aos erros experimentais que certamente ocorreram quando o experimento foi realizado, como pode ser visto através das flutuações dos pontos experimentais em torno das curvas que foram ajustadas nos gráficos anteriores.
Vamos construir um histograma (Figura 29) dos valores obtidos para k , a fim de visualizarmos sua distribuição.
Figura 29. Histograma, e Gaussiana, representando a distribuição dos valores de k.
Nota-se que um dos resultados ( k = 37,5) é altamente improvável de acontecer. Analisando- se a curva de Gauss, ajustada aos 16 eventos, vê-se que é reduzidíssima a probabilidade de que ocorra algum evento acima de k = 37. Se olharmos na Tabela 18 os valores que o originaram, percebe-se imediatamente o porquê dessa elevada discrepância. Os valores de h , e i , que originaram esse valor de k , são valores com poucos algarismos significativos (baixa precisão). Portanto a incerteza propagou-se de tal forma que originou tal valor improvável de acontecer sob condições normais.
De acordo com o critério de Chauvenet (p.49), a gaussiana da Figura 29 indica que acima de k = 36 a probabilidade de ocorrência de algum evento é menor do que 0,5. Portanto, qualquer valor fora desse limite poderá ser descartado.
(^024 26 28 30 32 34 36 )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de ocorrências
k (s.cm1,5)
Essa probabilidade pode ser calculada. Vamos antes calcular os indicadores estatísticos básicos, o valor vais provável e o desvio padrão experimental de k :
Equação 11
k s k
Calculemos, agora, a distância em desvios padrão (parâmetro z na Tabela 27, à página 130), entre o valor k = 37,5 e o valor mais provável de k :
Equação 12 z = 37,5 2,17^ −30,69^ =3,
De acordo com a Tabela 29 (página 131), a probabilidade de ocorrer um evento,
acima de z = 3,14, é da ordem de (^16 ×^ 0,0019 2 )=^ 0, 015^ =^ 1,5%. Como foram efetuadas 16
medições, então o número esperado de medições com z ≥ 3,14será:
(número esperado de medições)
= (número total de medições) x (Probabilidade acima de z = 3,14)
= 16 x 0,015 = 0,24.
Isto é, num conjunto de 16 medições, espera-se que somente um quarto de uma medição esteja acima de 37,5. Se considerarmos que um quarto de uma medição é extremamente improvável (ou temos uma medição completa, ou não temos) então conclui-se que o valor 37,5 não corresponde a uma medição legítima, podendo, portanto, ser rejeitado.
Se você olhar a gaussiana da Figura 29, notará que a probabilidade de 0,015 é coerente com a forma da curva nas proximidades de k = 37,5.
7. Resultado final do experimento
Chegou a hora de apresentar o resultado final do experimento efetuado. A Equação 14 pode ser completada, agora que já conhecemos o valor da última constante, k. Esta é então a expressão final entre as três grandezas t , h e d para o experimento em questão:
Equação 15 t = 30,24⋅ h 0,5^ ⋅ d −^2
ou
Equação 16 t = 30, 24 ⋅ dh 2
Através da Equação 15 ou Equação 16 você pode responder a quaisquer perguntas que sejam feitas relativas ao experimento efetuado. Por exemplo:
- Qual o tempo necessário para esvaziar um recipiente cujas dimensões sejam: altura h = 20 cm e diâmetro d = 4 cm?
8. Responda, agora
Compare o valor que você acaba de calcular com aquele que você estimou na seção 1, logo depois da Tabela 17. Qual das respostas merece maior confiança? Por que?
