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ISEL
I DNSTITUTOEPARTAMENTO DE SUPERIOR DE E ENGENHARIA DENGENHARIA DE L ISBOAELECTRÓNICA E TELECOMUNICAÇÕES E DE COMPUTADORES
Análise de Circuitos II
Engenharia de Sistemas de Telecomunicações e Electrónica
Elementos de Apoio às Aulas Práticas de Simulação
Utilizando as Ferramentas PSPICE e MATLAB
Circuitos Eléctricos de 1ª ordem
Representação de Sistemas
Resposta no Domínio do Tempo
Resposta em Frequência
Identificação de Sistemas
Introdução à Realimentação e ao Projecto de Controlo
José Fernando Rocha Helena Sousa Ramos Vítor Silva Costa Setembro 2004
Índice:
EXERCÍCIO 1: CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RESPOSTA NATURAL) ................................................. 4 EXERCÍCIO 2: CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RESPOSTA TOTAL) ..................................................... 6 EXERCÍCIO 3: CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RESPOSTA TOTAL) ..................................................... 8 EXERCÍCIO 4: CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RESPOSTA TOTAL) ................................................... 10 EXERCÍCIO 5: REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO E NO DOMÍNIO S. OBTENÇÃO DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES ENTRADAS. APLICAÇÃO A UM SISTEMA MECÂNICO COM CONDIÇÕES INICIAIS ........................................................................ 12 EXERCÍCIO 6: REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO E NO DOMÍNIO S. OBTENÇÃO DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES ENTRADAS. APLICAÇÃO A CIRCUITO ELÉCTRICO COM CONDIÇÕES INICIAIS ............................................................................ 14 EXERCÍCIO 7: REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO S COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS. OBTENÇÃO DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES SINAIS DE ENTRADA. OBTENÇÃO DA RESPOSTA DE FREQUÊNCIA. APLICAÇÃO A UM CIRCUITO ELÉCTRICO .................... 16 EXERCÍCIO 8: REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO S. OBTENÇÃO DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA DIFERENTES SINAIS DE ENTRADA. OBTENÇÃO DA RESPOSTA DE FREQUÊNCIA .................................................................................................................................... 18 XERCÍCIO 9: REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO S COM CONDIÇÕES INICIAIS NULAS. OBTENÇÃO DA RESPOSTA DE FREQUÊNCIA. APLICAÇÃO A UM SISTEMA REPRESENTADO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE BLOCOS ............................................................................................... 23 EXERCÍCIO 10: IDENTIFICAÇÃO DUM SISTEMA ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE BODE E DA RESPOSTA AO ESCALÃO ..................................................................................................................................... 26 EXERCÍCIO 11: EXERCÍCIO DE DESENVOLVIMENTO SOBRE ROOT-LOCUS E INTRODUÇÃO AO PROJECTO DE CONTROLO ................................................................................................................ 29
APÊNDICE A: FAMILIARIZAÇÃO COM O MATLAB ............................................................................... 37
Índice ............................................................................................................................. A Objectivos ...................................................................................................................... A Conceitos Básicos........................................................................................................... A Obtenção de sinais periódicos ..................................................................................... A Aplicações .............................................................................................................. A Obtenção de sinais aperiódicos ................................................................................... A Aplicações .............................................................................................................. A Definição de ficheiros do tipo “.m” ............................................................................. A Definição de funções................................................................................................... A Funções de MATLAB (Sugestões para Análise de SLITs) .............................................. A Manipulação de Polinómios e Expansão em Fracções Simples.................................... A Funções Representativas de SLITs (Função de Transferência) .................................... A Funções para Caracterizar SLITs (Resposta no Domínio do Tempo e Frequência) ...... A Funções de Ligação dos Diagramas de Blocos .............................................................. A Funções para Realização do Root-Locus....................................................................... A Nota Adicional ............................................................................................................. A
EXERCÍCIO 1: Circuitos de Primeira Ordem (Resposta Natural)
Considerar o circuito representado na figura abaixo. Sabe-se que o circuito se encontra em regime estacionário para t < 0 , e que o interruptor S 0 comuta no instante t (^) 0 = 0 [ s ]e o
interruptor S 1 no instante t (^) 1 = 10 [ ms ].
i (t)
t (^1)
R 3
R 2 R 4
R 1
VS
S0 S
L v (t)
−
t (^0)
- Determinar v ( t )e i ( t ), para t ≥ 0 [ s ].
- Representar graficamente v ( t )e i ( t ), para t ≥ 0 [ s ], utilizando o MATLAB. Considerar
as seguintes linhas de comando, como sugestão: § L=1; § Req1= …; § t=0:.01e-3:10e-3; § taul1=L/Req1; § i1=i0exp(-t/taul1); § t1=10e-3:.01e-3:50e-3; § Req2= …; § taul2=L/Req2; § i2=i01exp(-(t1-10e-3)/taul2); § plot(t,i1,t1,i2); § figure; § v1=-i1100; § v2=-i280; § plot(t,v1,t1,v2);
- Simular o circuito para as mesmas condições utilizando o PSPICE. Obter os gráficos pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulação com os obtidos teoricamente, comentando-os. (Nota: considerar os pontos relevantes dos gráficos).
VS = 10 [ V] L = 1 [ H] R 1 = 100 [ Ω] R 2 = 50 [Ω ] R 3 = 100 [Ω ] R 4 = 400 [Ω ]
Sugestões:
Comece por correr o Schematics do PSPICE para desenhar o circuito. Para ir buscar os diversos componentes, faça get new part que se encontra no menu draw. Para ligá-los entre si existe um botão na régua situada em cima com um lápis desenhado, que permite traçar as linhas que ligam os diversos componentes. Os componentes são normalmente designados pelos nomes a que estamos habituados, a resistência é representada por um “R”, o condensador “C” e assim sucessivamente, dependendo da biblioteca que estamos a utilizar. Para a análise que vamos fazer, precisamos de ir ao menu analysis e correr o setup , lá escolhemos a análise no domínio do tempo “transient”. É necessário agora configurar este tipo de análise no tempo que desejamos. Por outro lado é necessário não esquecer de escrever os valores correctos nos parâmetros de todos os componentes utilizados, antes de realizar a simulação. Para simular, no menu analysis escolhemos o comando simulate seguido do comando run probe. Aparece então um gráfico onde através do comando add trace podemos escolher quais as variáveis que desejamos visualizar graficamente.
Nota: Em caso de dúvida questione o docente presente na aula ou consulte o help do programa PSPICE.
Solução :
[ ] [ ] t i e^ (^ )[ mA ] v e (^ )[ V ]
t i e A v e V
t i A v V
t t
t t 2 130 102 130 102
2 150 150 10 : 22. 313 ; 1. 785
− − − −^ − −^ −
− − −
= = −
- Determinar a potência fornecida pela fonte (^) V , para t ≥ 0 [ s ]. Representar graficamente
utilizando o MATLAB.
- Simular o circuito para as mesmas condições utilizando o PSPICE. Obter os gráficos pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulação com os obtidos teoricamente, comentando-os (Nota: tenha em conta os pontos relevantes dos gráficos).
Sugestões :
Quando desenhar o circuito utilizando o Schematics do PSPICE, tenha em conta que por vezes os componentes não existem em PSPICE exactamente na mesma forma como estão representados no circuito a estudar. Pelo que se torna necessário encontrar uma solução equivalente no circuito desenhado em PSPICE. Temos como exemplo os selectores. Os selectores S 0 e S 1 deste circuito poderão ter de ser representado por vários switchs aquando do desenho em PSPICE.
Solução:
t t v V v V v V v V
t t v V v V v V v V
t v V v V v V v V
t v v v V v V
NA NB NC ND
NA NB NC ND
NA NB NC ND
NA NB NC ND
1
1 = = = = =
−
−
t i e ( e )[ A ] P e [ W ]
t i A P W t t f t
f 0 : 0. 13 8 103 0. 11 8103 ; 1. 6 0. 36 8103
> = −^ × −^ + − − × − = + − ×^ −
[ ] t t v e^ (^ )^ (^ e (^ ) )[ V ]
t t v e V
t v V
tt t t
t 1 3 1 3
3
1 510 510
1 510 : 0. 999 0. 3751
− −
− − − × −− ×
− ×
= + −
EXERCÍCIO 3: Circuitos de Primeira Ordem (Resposta Total)
Considerar o circuito eléctrico representado na figura seguinte, o qual se sabe estar em regime estacionário para t < 0 s.
O selector S tem o seguinte comportamento:
- Para t < 0 segundos, encontra-se na posição P1;
- Em t = 0 segundos comuta (instantaneamente) para a posição P2;
- Para t ≥ 0 segundos comuta de posição (de P2 para P1 ou vice-versa) sempre que a tensão vA ( t )(tensão no nó A) cruzar o limiar de 0,9 V.
Sabe-se ainda que iS ( t )é uma fonte escalão unitário expressa em mA, vS ( t )é uma fonte
constante de valor 1V e a fonte de corrente dependente é expressa por i (^) d ( t ) = gvL ( t ) [mA ].
Os restantes parâmetros do circuito são dados por: RS = 1,25 KΩ; L = 1 H; C = 1 μF; Rd = 3 KΩ, RC = 1 KΩ e g = (1/3) mS.
- Determinar analiticamente i (^) L ( t ) ,vC ( t ) e vA ( t ) em função de t ≥ 0 segundos e os instantes de comutação do interruptor S.
- Esboçar graficamente para todo o t as funções i (^) L ( t ) ,vC ( t ) e vA ( t ), utilizando o MATLAB.
- Simular o circuito para as mesmas condições utilizando o PSPICE. Obter os gráficos pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulação com os obtidos teoricamente, comentando-os. (Nota: considerar os pontos relevantes dos gráficos).
A
P
P
1 2
−
− i S(t)
iL (t)
i d(t) v C(t)
vL (t) v S(t)
S
RS (^) Rd
RC
L
L
EXERCÍCIO 4: Circuitos de Primeira Ordem (Resposta Total)
Considerar o circuito representado na figura abaixo, o qual se sabe estar em regime estacionário para t < 0 s.
C −
IE RE
RC
v C
i C
v D(t)
B^ S A
α i C
R (^) E = 1 , 2 ΚΩ; RC = 100 Ω; α = 0 , 5 ; C = 4 μF.
As fontes independentes presentes no circuito são dadas por: I (^) E = 3 , 75 mA e vD ( t ) = 6 cos( 2 π f t ) u ( t ) [ V], com f = 2 KHz.
Sabe-se ainda que o selector S comuta da posição A para a posição B no instante de tempo t = t 1 = 2 , 5 ms.
- Nestas condições determinar em função de (^) t a tensão e a corrente no condensador, v (^) C ( t ) e iC ( t );
- Representar graficamente v (^) C ( t ) e iC ( t ), em função de t , utilizando o MATLAB.
- Simular o circuito para as mesmas condições utilizando o PSPICE. Obter os gráficos pedidos anteriormente e comparar os resultados obtidos pela simulação com os obtidos teoricamente, comentando-os (Nota: tenha em conta os pontos relevantes dos gráficos).
Solução:
[ ]
[ ] t t v e^ (^ )^ [ V ] i e (^ )^ [ mA ]
i ft e mA
t t v ft e V
t v V i A
C tt C t^ t
C t
C t
C C
1 4 1 4
4
4
1 5.^539105.^53910
410
1 410
- 9 cos( 2 11. 25180 ) 2. 29
0 : 1. 171 cos( 2 78. 75180 ) 0. 229 ;
− −
−
−
− − × −− ×
− ×
− ×
π^ π
π π
Sugestões : Quando desenhar o circuito utilizando o Schematics do PSPICE, tenha em conta que por vezes os componentes não existem em PSPICE exactamente na mesma forma como estão representados no circuito a estudar: ♦ O selector S deste circuito poderá ter de ser representado por vários switchs aquando do desenho em PSPICE; ♦ A fonte v D( t ) deste circuito poderá ter de ser representada (aquando do desenho em PSPICE) por uma fonte sinusoidal do tipo VSIN e por um fonte constante do tipo VDC de valor zero e por vários switchs que determinam qual das fontes está ligada ao nó A representado no circuito. Notar ainda que o estudo deste circuito divide-se em três intervalos de tempo, consoante a posição do selector S e a natureza da fonte v D( t ). No entanto o SPICE não simula o intervalo de tempo correspondente a t < 0:
É possível obter resultados de simulação que correspondam ao intervalo de tempo t < 0, se se considerar uma translação no tempo, tal como se ilustra na figura abaixo. A duração do intervalo de tempo [0, t o’], representado na figura, deverá ser criteriosamente escolhido por forma a que o circuito esteja em regime estacionário em t o’.
S → A v D( t ) →VSIN
S → B
v D( t ) →VSIN
S → A
v D( t ) →VDC t 1 ’ t'
0 t'
SPICE não simula Simulação SPICE
0 t 0 ’
t 0 ’ t 1 ’
S → A
v D( t ) →VSIN
S → B
v D( t ) →VSIN
S → A
v D( t ) →VDC 0 t 1^ t
0 t 1^ t
SPICE não simula Simulação SPICE
- Para o mesmo intervalo de tempo simule o sistema em MATLAB e visualize o gráfico de x ( t ), para as seguintes Forças de entrada: - F ( t ) = 10 ⋅ u ( t ) [ N]. - F ( t ) = 10 ⋅ δ ( t ) [ N]. - F ( t ) = 10 ⋅ r ( t ) [ N]. Sugestões :
Existem várias funções (ou comandos), para a análise de sistemas lineares e invariantes no tempo, contidos na Toolbox de Sistemas e Controlo do MATLAB. De entre estas existem algumas que permitem:
♦ calcular as raízes e os resíduos dos polinómios a estudar;
♦ descrever um sistema linear invariante no tempo na forma desejada (criação de objectos representativos);
♦caracterizar os sistemas lineares e invariantes no tempo, quer obtendo a sua resposta no domínio do tempo, quer a resposta no domínio da frequência. Deverá consultar o Apêndice de introdução ao MATLAB, para tomar conhecimento de algumas das funções disponíveis.
Nota: Em caso de dúvida questione o docente presente na aula ou consulte o help do programa MATLAB.
Solução:
( ) ( ) (^) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( ) ( )^ ( ) [ ]
x ( ) t dxdt ( ) t^ x ( ) t tut ut e t ut [ m ]
x t dxdtt x t e t m
x t ut e t ut m
s s F s s dt xt Ft X s s s
dxt dt
d xt
r u r^ t
u t
u t
2 () 0. 8 () 2. 0412 cos 0. 98 66. 93180 ( )
4 : 2. 0412 cos 0. (^982)
3 : 2 2. 04 cos 0. 98 168. 5180 ()
()^0.^4
1 : 5 2 5 ; 2 : ( )^0.^2
2
2
2
2 2 2
2
= ⇔ = − + ^ +
= ⇔ = ^ −
= + ^ +
−
−
−
π
π
π
δ δ
EXERCÍCIO 6: Representação de Sistemas no Domínio do Tempo e no Domínio S. Obtenção da resposta no domínio do Tempo para Diferentes Entradas. Aplicação a Circuito Eléctrico com Condições Iniciais
Considerar o circuito abaixo representado, o qual se encontra em regime estacionário para t < 0.
v ( t ) = v 1 ( t ) u ( − t ) + v 2 ( t ) u ( t ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] comC 0. 25 [ ]F , R 4 [ ] eL 0.25[H ].
1 4 V e 2 4 V = = Ω =
v t = v t =− ⋅ funct
Sugestão: Considerar o circuito como um sistema em que v ( t ) representa a entrada e
vC ( t )representa a saída.
- Representar o sistema no domínio do tempo utilizando equações diferenciais, considerando v ( t )a entrada e vC ( t )a saída do sistema.
- Obter a representação do sistema no domínio de S. Utilizar as regras para circuitos representar o circuito equivalente no domínio de S, e determinar as expressões considerando V ( S ) a entrada e VC ( S ) a saída. Comparar as expressões obtidas através da equação diferencial e as obtidas através do circuito equivalente no domínio de S.
- Determinar a tensão vC ( t ) considerando que func ( t ) = u ( t ). Identificar as componentes devidas às condições iniciais vCN ( t ) e à entrada vCF ( t ). (sugestão: utilizar a Transformada de Laplace).
−
v (t) v C(t)
L C
R i (t)
EXERCÍCIO 7: Representação de Sistemas no Domínio S com Condições Iniciais Nulas. Obtenção da Resposta no Domínio do Tempo para Diferentes Sinais de Entrada. Obtenção da Resposta de Frequência. Aplicação a Um Circuito Eléctrico
Considerar o circuito representado na figura seguinte, onde os AMPOPs podem ser considerados ideais. O circuito representa um SLIT causal, resultante de uma realimentação, com função de transferência T^ ( ) s^ =^ YR ( ( )^ ss ).
Dados : R = 1 KΩ; R0 = 2,94 KΩ; R1 = 10 KΩ; R2 = 90 KΩ; C1 = 25 μF; C2 = (1/90) mF.
a ) Representar o circuito no domínio da transformada de Laplace; b ) Por análise do circuito no domínio s , determinar a sua função de transferência T ( s ), representar o seu mapa de pólos – zeros, determinar o valor do seu ganho estático e caracterizar o sistema quanto a estabilidade e fase mínima; c ) Esboçar a resposta à rampa unitária do sistema representado por T ( s ), determinando os valores inicial, final e da derivada na origem dessa resposta, bem como outros valores que julgar relevantes para o esboço a efectuar. Justificar o tipo de resposta que esboçar com base na localização dos pólos e zeros de T ( s ); d ) Determinar analiticamente a resposta esboçada anteriormente, confirmando os resultados obtidos na alínea anterior; e ) Determinar analiticamente as respostas impulsiva e ao escalão unitário do sistema representado por T ( s ). Comentar face aos cálculos efectuados na alínea anterior;
R
R(s) Y(s)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
C
C
f ) Simular o circuito em PSPICE para obter a resposta ao escalão unitário, comparando os resultados da simulação com os analíticos; g ) Traçar os diagramas de Bode de T ( s ), (características assimptóticas e aproximações reais); h ) Repetir a alínea anterior por recurso a simulação em MATLAB; i ) Simular o circuito em PSPICE e obter os respectivos diagramas de Bode; j ) Comparar os resultados das duas alíneas anteriores;
Solução:
( ) (^ )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )^ ( ) ( ) ( )^ ( )
( ) ( ) ( )
( )
{ ( )} (^)
− ^ −
= =^ + −
= = +^ +
= =^ −
−
−
−
arg 2 10
20 log (^178). 8 0. 1127
: 20 log 0. 25 20 log 20 log (^110)
Se então 0. 25 0. 2738 cos( 7. 6868 155. 89180 ) ()
Se então 1. 97 21. 5828 cos( 7. 6868 84. 13180 ) ()
Se então 2. 4314 cos( 7. 6868 35. 88180 ) ()
Periododaoscilaçõesamortec.:^20. 8173
TVIaplicadoa : 1. 97
TeoremadoValorIniciall(TVI):y 0 0
TeoremadoValorFinal(TVF):y 0. 25
:Respostaàrampaunitária:
Ganhoestático: 0 ; Sistemaestável; Sistemadefasenãomínima
:^1.^978. 88 1078. 8 ; zeros: 0 10 ; pólos: 4. 44 7. 6877 ;
2
10 2 2 2
2 10 10 10
2
2
44
44
44
r
r
0
1 2 * 2
ω ω π ω ω
ω ω
ω ω ω
π
δ δ π
π
ω
π
δ
δ
T j arctg arctg
g T j
y t dydtt ut y t ddty t ut
xt rt y t e t ut
xt t y t t e t ut
xt ut y t e t ut
d e
T s
dy t dt y t
c
k
b Ts s sss s s s s j
dB
u r r
r t
t
u t
a a
r r
Z Z P P
Sistemas a analisar:
S1) H (^) 1 ( ) s = (^1) s ; S2) H (^) 2 ( ) s = (^) s +^0 ,^10 , 1 ; S3) H (^) 3 ( ) s = s^1 + 1 ;
S4) H (^) 4 ( ) s = (^) s^10 + 10 ; S5) H (^) 5 ( ) s = (^) s^100 + 100 ; S6) H (^) 6 ( ) s = s^100 + 10 ;
S7) H (^) 7 ( ) s = (^) s ( s 10 + 1 ) ; S8) H (^) 8 ( ) s = (^) ( s + 100100 )( s + 1 ) ; S9) H (^) 9 ( ) s =( s + 2 )(^2 s + 1 ) ;
S10) ( ) ( )
s
H (^) 10 s 2 10
= S11) ( ) (^ ) ( )
s
H s s (^11 )
= + S12) ( ) (^ ) ( )
s
H s s (^12 )
=^ +
S13) ( ) (^ ) ( )
s
H s s (^13 )
= −^ − S14) ( ) (^ ) ( )
s
H s s (^14 )
= −^ − S15) ( ) ( )
s
H s s (^15 )
S16) ( ) (^ ) ( )
s
H s s (^16 )
=^ −
S17 a S25) ( ) (^22)
2 (^2) n n j n s s
H s ξω ω
ω
= , para os seguintes casos:
ξ 0,1; 0,5; 0,707^ 0,5^ 0,1; 0,5; 0, ωn 10 1; 10; 100^ 100; 20; 10√ 2
S26 a S34) ( ) (^2) ( ) 2
2 2 001 10
, s
H s s s n
i n n ω
ξ ω ω para os seguintes casos:
ξ 0,1; 0,5; 0,707^ 0,5^ 0,1; 0,5; 0, ωn 10 1; 10; 100 100; 20; 10√ 2 Solução: Optou-se por apresentar a solução dos sistemas H 5 (s), H 9 (s) e H 16 (s), bem como dos sistemas H 17 (s) a H 25 (s) e dos sistemas H 26 (s) a H 34 (s).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) t dydt ( ) t^ u ( ) t y ( ) t ddty ( ) t^ u ( ) t y ( ) t dydt ( ) t^ u ( ) t y ( ) t y ( ) d u ( ) t
xt rt y t t e ut
xt t y t e ut
xt ut y t e ut
H s s k s
t u r r u r u
r t
t
u t
P
∫
−
−
−
(^20)
2
100
100
100
5 0 1
Se então 0. 01 0. 01 ()
Se então 100 ()
Se então 1 1 ()
(^100100) ; Ganhoestático: 1 ; Zeros:nãotem;Pólos: -
α α
δ
δ δ
δ
Solução (cont): ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (^) { ( )} ⇔ { ( )} =−
=− +
=
+∞ = =
= +
20 log 1 100 ; fase arg 100
Respostaemfrequência:
TVIaplicadoa : 100
TeoremadoValorFinal(TVF): 1 ; TeoremadoValorIniciall(TVI): 0 0 ;
Parâmetrosdarespostaaoescalão:
(^100100) ;
5 5
2 5 10
5
H jω ω H jω H jω arctg^ ω
dy t dt y t
y y
H s s
dB
r u
u u &
( ) (^) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (^) ( )
( ) ( )^ ( ) ( ) ( )^ ( ) ( ) ( )^ ( ) ( ) { ( ) } ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ω ) ω ( ω ) { ( ω )} ω ( ω )
α α
δ
δ δ
δ
H j H j arctg arctg
dy t dt y t
y y
y t dydtt ut y t ddty t ut y t dydtt ut y t y d ut
xt rt y t t e e ut
xt t y t e e ut
xt ut y t e e ut
H s s s k s s
dB
r u
u u
t u r r u r u
r t t
t t u t t
P P
− + =− ^ −
=− +
=
+∞ = =
= =
=
=
= = − + + −
= = −
= = − +
= + + = = =
− −
− −
− −
∫
20 log 1 2 20 log 1 ; arg 2
Respostaemfrequência:
TVIaplicadoa : 0
TeoremadoValorFinal(TVF): 1 ; TeoremadoValorIniciall(TVI): 0 0 ;
Parâmetrosdarespostaaoescalão:
; ; ;
Se então 1. 5 2 0. 5 ()
Se então 2 2 ()
Se então 1 2 ()
22 1 ;Ganhoestático:^1 ; Zeros:nãotem;Pólos: -1; -2;
10 2 9
2 9 10
(^20)
2
2
2
2
9 0 1 2
&
( ) (^) ( (^ )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )^ ( ) ( ) ( )^ ( ) ( ) ( )^ ( ) ( ) { ( ) } ( )
( ) ( ) TVIaplicadoa ( ) : ( ) 50
TeoremadoValorFinal(TVF): 1 ;TeoremadoValorIniciall(TVI): 0 0 ;
Parâmetrosdarespostaaoescalão:
; ; ;
Se então 0. 7 0. 7 6 ()
Se então 50 600 ()
Se então 1 60 ()
(^50102) ;Ganhoestático: 1 ; Zeros: -2;Pólos: -10;
(^20)
2
10 10
10 10
10 10
16 2 0 1 2
=
+∞ =− =
=
=
=
=
= = − − −
= = −
= = − + +
= +^ − =− = = =
− −
− −
− −
∫
dy t dt y t
y y
y t dydtt ut y t ddty t ut y t dydtt ut y t y d ut
xt rt y t t e te ut
xt t y t e te ut
xt ut y t e te ut
H s s s k s s s
r u
u u
t u r r u r u
r t t
t t u t t
Z P P
&
α α
δ
δ δ
δ
( )
{ ( )} { ( )} (^) −
⇔ = −
− +
=+ +
fase arg 2 2 10
20 log 1 2 40 log 1 10 ;
Respostaemfrequência :
16 16
2 10
2 16 10
ω ω π ω^ ω
ω ω ω
H j H j arctg arctg
H j dB
