ANÁLISE COMBINATÓRIA - Páginas Pessoais, Esquemas de Combinatória

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ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Professor Gerson Henrique

Departamento Matemática Associação Pré-UFMG

Apresentação

Essa é uma apostila com conteúdo de ensino médio voltado para o vestibular – foco Vestibular

universidade Federal de Minas Gerais. Foi idealizada com o intuito de fornecer um material acessível a

todos os estudantes de ensino médio e pré-vestibulares que almejam sucesso no vestibular.

Esta apostila, contém o assunto de Introdução à análise Combinatória. É formulada numa

linguagem simples, mas sem perda do rigor matemático.

Contém os seguintes tópicos:

1 – Introdução;

2 – Quando somar e quando multiplicar em combinatória;

3 – Permutações, 3.1 – Permutações simples, 3.2 – Permutações com repetição, 3.3 – Permutações

circulares;

4 – Arranjos simples;

5 – combinações simples.

Os tópicos da matéria são apresentados, em seguida há exercícios resolvidos que auxiliam a

fixação da matéria e por último vêm os exercícios para você resolver. Não deixe de resolvê-los, pois, é de

fundamental importância para a concretização de seu aprendizado.

Espero que este material o auxilie em sua caminhada rumo a universidade.

Bons estudos!

O Autor

Dedico este trabalho a minha mãe, Madalena.

Como queremos um elemento de A ou de B, temos (m + p) maneiras de escolher um dos elementos. Esse resultado

nada mais é do que o número de elementos da união dos dois conjuntos disjuntos.

2.2 - Quando multiplicamos em análise combinatória estamos lançando mão do princípio multiplicativo

ou teorema fundamental da contagem.

Observe o exemplo:

Um motorista deseja viajar de uma A para a cidade C, mas para ir à cidade C deve-se passar necessariamente pela cidade B, veja a figura.

Como observado na figura, o motorista pode escolher entre três estradas para se deslocar de A para B e depois deve escolher uma entre as duas estradas para se deslocar de B para C.

Essa situação difere e muito da do exemplo anterior. Aqui para que o motorista vá da cidade A para a cidade C tem de passar necessariamente pela cidade B. Isto é, tem de realizar duas ações para deslocar-se de A para C. Primeiro deve escolher uma estrada de A para B e em seguida outra que liga B a C.

Vamos inserir para a resolução dessa questão o conhecido diagrama da árvore. Recebe esse nome pelas ramificações que lembram galhos de uma árvore. Veja:

Primeiro escolhemos uma estrada que sai de A e vai até B

Assim temos 3 opções para o deslocamento. Após escolhido a primeira opção deve escolher o caminho de B para

C. Assim tem-se:

I

II

III

1

2

A B (^) C

A

B

B

B

I

II

III

A

B

B

B

I

II

III

C C C C C C

1 2 1 2 1 2

É crucial que você entenda que da cidade A para a cidade B, há três opções para o motorista, no entanto ele optara

apenas por uma delas. Após a escolha surge uma nova dúvida para nosso amigo. Qual estrada usar para deslocar-se

de B para C. Assim com essas duas sucessivas escolhas, pelo diagrama da árvore, vemos que nosso motorista tem

seis opções para fazer a viagem. Esse resultado é justamente o produto do número de opções para a escolha

da primeira estrada pelo número de opções de escolha para a segunda. Portanto 3 ⋅ 2 = 6

Vamos voltar a situação de Adriana do penúltimo exemplo. Descontente com sua situação, a de ter dinheiro apenas

para uma opção de lazer, foi ao seu pai tentar arrecadar mais dinheiro. Foi atendida e agora tem dinheiro para duas

ações. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir sem realizar duas vezes a mesma

brincadeira?

Note que diante do fato nossa amiga pode realizar duas ações diferentes. Assim primeiro deve escolher uma

diversão e em seguida outra que também a agrade.

Primeira escolha: Possui 12 opções de lazer

Segunda escolha: Possui 11 opções ( não vai repetir a ação)

Veja que o diagrama da árvore ficaria imenso, se colocado todas as possibilidades, então ramificaremos apenas no

brinquedo 5

Para a primeira escolha há 12 tipos de diversão. Supomos que foi escolhido o brinquedo 5 e após essa escolha vem

a segunda ação. Não se esqueça que foi exigido que Adriana não repetisse a brincadeira. Restam agora 11 opções

de escolha.

Tenha sempre em mente que há varias opções, mas só uma será escolhida. Estamos contando as

possibilidades de escolha, não a escolha de Adriana, que será apenas uma. Dessa forma como Adriana optou pelo

brinquedo 5, pode, logo em seguida, optar por outra escolhida dentre onze opções distintas. Só aí temos 11 opções

de escolha ( Veja o diagrama). Se optasse pelo brinquedo 1 ao invés do 5, teria mais 11 opções para a segunda

ação. São mais 11 opções de diversão. Se escolhesse o Brinquedo 2 aí seriam mais 11 opções. Seguindo

sucessivamente notamos que a cada primeira ação temos, para a segunda, 11 opções de lazer. Assim como são 12

as maneiras distintas de escolher a primeira ação concluímos que Adriana pode se divertir de

BRINQUEDO 1

BRINQUEDO 2

BRINQUEDO 3

BRINQUEDO 4

BRINQUEDO 5

BRINQUEDO 6

BRINQUEDO 7

FILME 1

FILME 2

FILME 3

FILME 4

FILME 5

BRINQUEDO 1

BRINQUEDO 2

BRINQUEDO 3

BRINQUEDO 4

BRINQUEDO 6

BRINQUEDO 7

FILME 1

FILME 2

FILME 3

FILME 4

FILME 5

4

4

3

4

5

6

6

5

5

4

6

6

4

6

4

5

5

4

4

3

5

6

6

5

5

3

6

6

3

6

3

5

5

3

5

3

4

6

6

4

4

3

6

6

3

6

3

4

4

3

6

3

4

5

5

4

4

3

5

5

3

5

3

4

4

3

24 números distintos

1ª casa 2ª casa 3ª casa 4ª casa Número formado

Com o diagrama verificamos que podemos formar 24 números com os algarismos 3,4,5 e 6. Entretanto esse resultado pode ser obtido facilmente pelo princípio multiplicativo.

Na primeira casa temos 4 opções de escolha, na segunda 3 opções, na terceira 2 opções, na quarta e última 1 opção. observe

Finalmente, multiplicamos esses valores 4 • 3 • 2 • 1 = 24 números diferentes.

2) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com 3, 4, 5 e 7?

Resolução: Diferentemente do enunciado do exercício 1, esse enunciado não exige que utilizemos os algarismos uma única vez. Desse modo números tais como 2222, 3344 ou 1555 podem ser contabilizados em nossa contagem, o que anteriormente não era permitido. Desse modo teremos:

Isto é, podemos formar 4 x 4 x 4 x 4 = 4^4 = 256 números distintos. Se utilizássemos o diagrama da árvore (aqui não indicado pela extensão exagerada), essa árvore apresentaria 256 galhos terminais que representaria cada número formado. (Quem não visualizou que podemos formar 256 números pode tentar fazer o diagrama para notar o resultado, mas novamente, o resultado será imenso).

3) Quantos números de três algarismos formam-se com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

Resolução: o raciocínio é praticamente idêntico ao anterior, mas com uma sutil diferença. Observe:

Esse raciocínio parece perfeito, mas esconde um erro, qual? O problema é justamente o seguinte: Se considerarmos que para a primeira casa há 6 opções de escolha estaremos cometendo um erro, o de considerar um número tal como 012 como sendo um número de três algarismos. Na verdade sabemos que 012 é um número de dois algarismos. Desse modo para corrigirmos nosso raciocínio devemos para primeira casa dispor cinco opções de escolha que são os seis algarismos disponíveis menos o Zero, observe:

Finalmente teremos 5 x 6 x 6 = 5 x 6^2 = 180 números distintos.

opções

opções

opções

1,2,3,4ou 5 opções

0,1,2,3,4ou 6 opções

0,1,2,3,4ou 6 opções

Desse modo teremos 1 opção para a quarta casa (pois só o zero pode), 6 opções para a terceira casa ( pode qualquer um menos o zero), 5 opções para a segunda casa ( não pode o zero nem o utilizado na terceira cada), 4 opções para a primeira casa (só pode os não utilizados anteriormente). Assim teremos formados 1 x 6 x 5 x 4 números pares terminados em zero.

2º caso: Sem o zero na última casa

Assim na última casa há 3 opções de escolha (todos algarismos pares menos o zero). Agora vamos para a segunda casa problemática – a primeira – nela não se pode inserir nem o algarismo utilizado na última casa nem o zero. Assim teremos 5 opções. Terminando: na segunda 5 opções (nem o utilizado na última nem primeira casa. Zero, nessa casa pode), na terceira 4 opções (qualquer algarismo menos os utilizados anteriormente). Desse modo fica 3 x 5 x 5 x 4 números pares que não terminam em zero.

Finalmente para sabermos quantos números pares podemos formar basta somarmos os resultados do 1º e 2º caso. Teremos:

1 x 6 x 5 x 4 + 3 x 5 x 5 x 4 = 120 + 300 = 420 números pares de quatro algarismos distintos.

6) (FJP) Leia atentamente este quadro:

Só pode o zero

não pode o zero

Caros colegas,

Por outro lado,

Assim mesmo

Não podemos esquecer que Do mesmo modo,

A prática mostra que

Nunca é demais insistir, uma vez que A experiência mostra que É fundamental ressaltar que O incentivo ao avanço tecnológico, assim como

a execução deste projeto

a complexidade dos estudos efetuados a expansão de nossa atividade a atual estrutura da organização o novo modelo estrutural aqui preconizado o desenvolvimento de formas distintas de atuação a constante divulgação das informações a consolidação das estruturas a análise dos diversos resultados o início do programa de formação de atitudes

nos obriga à análise

cumpre um papel essencial na formulação exige a precisão e a definição auxilia a preparação e a estruturação contribui para a correta determinação assume importantes posições na definição

facilita a definição

prejudica a percepção da importância oferece uma boa oportu- nidade de verificação acarreta um processo de reformulação

das nossas opções de desenvolvimento no futuro. das nossas metas finan- ceiras e administrativas. dos conceitos de participação geral. das atitudes e das atribuições da diretoria. das novas proposições.

das opções básicas para o sucesso do programa.

do nosso sistema de formação dos quadros. das condições apropria- das para os negócios. dos índices pretendidos.

das formas de ação.

FONTOURA, Walter: Citado por Gaspari, Elio, Estado de Minas, Belo Horizonte, 28 junho 1998

Esse quadro contém o “Guia de discurso para tecnocratas principiantes”. Segundo o autor, basta combinar qualquer expressão da primeira coluna com expressões das outras colunas, observando sempre a ordem 1 , 2 , 3 e 4 para se falar durante um certo tempo, embora sem se dizer absolutamente nada.

Suponha que sejam necessários 12 segundos, em média, para se proferir cada combinação possível dessas expressões.

Nesse caso, um tecnocrata “enganador” poderá fazer um discurso “vazio” durante

a) 4 horas. b) 10 horas. c) menos de 30 horas. d) mais de 30 horas.

Resolução:

Para resolvermos essa questão basta lançarmos mão de principio multiplicativo, já que devemos primeiro escolher a primeira frase disponível dentre as dez do tipo 1 e depois a segunda do tipo 2 e depois a terceira do tipo 3 e finalmente a quarta do tipo 4. Desse modo, encontraremos o produto:

10 x 10 x 10 x 10 = 104 = 10000

Isto é, combinando as frases pode-se obter 10000 discursos diferentes.

Num segundo momento a questão relata que são necessários 12 segundo para proferir cada discurso. Como podemos formar 10000 diferentes, qual será o tempo necessário para externar todos eles. Para achar esse tempo basta multiplicar o número de discursos pelo tempo de cada um, assim:

10000 x 12 = 120 000 segundos

120 000 segundos equivale a (120 000 / 60) minutos, isto é, 2000 minutos. Por sua vez 2000 minutos equivale a (2000 / 60) horas que é igual a 33,333... horas. Portanto são necessários mais que 30 horas.

Esse tempo encontrado equivale a resposta de letra D.

Para você resolver

1) Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:

a) Quantos números naturais de cinco algarismos podem-se formar? b) Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem-se formar? c) Quantos números naturais de 6 algarismos podem-se formar começando com 1,2 e 3 em qualquer ordem? d) Quantos números naturais podem-se formar, com no máximo cinco algarismos distintos? e) Qual o número máximo de linhas telefônicas uma companhia da área pode fornecer aos moradores de uma cidade cujo código inicial da cidade é 3523 seguidos de 4 dígitos? f) Nessa mesma cidade quantos telefones têm os quatro últimos dígitos iguais? E diferentes entre si? g) Quantos números de quatro dígitos distintos, exceto os das extremidades que devem ser iguais, podemos formar?. Ex: 3463, 1231, 4764, etc. h) Quantos números naturais podem ser formados em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos? Palíndromo é uma seqüência formada de modo que os elementos eqüidistantes dos extremos sejam iguais.Exemplo as palavras Ana; anilina; mussum; arara, mirim, mutum, radar, rotor, reter, rever,

número de possibilidades para a primeira frase

número de possibilidades para a segunda frase

número de possibilidades para a quarta frase

número de possibilidades para a terceira frase

12) (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de 3, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

13) (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16

14) De quantos modos possíveis pode-se formar um produto de dois números naturais maiores que 1 que resulte em:

a)16 b) 14 c) 64 d) 128

15) (FCMMG) Observe a figura. Nessa figura está representada uma bandeira que deve ser pintada com duas cores diferentes, de modo que a faixa do meio tenha cor diferente das outras duas faixas. O número de maneiras distintas de pintar a bandeira desse modo, utilizando as cores azul, preta, vermelha, amarela, verde e branca é:

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60

16) (FCMMG) Observe a figura. Nela está representada a planta de um cômodo contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e 4 na terceira. Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é A) B) C) D)

17) (PUC-Campinas) Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repetição, quantos números pares de três algarismos distintos e maiores que 234 pode-se formar?

A) 110 B) 119 C) 125 D) 129 E) 132

18) (UFMG) O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é: a) 576 b) 648 c) 728 d) 738

19) (UFMG) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é:

a) 250 b) 321 c) 504 d) 576

20) (PUC) O quantidade de números de três algarismos maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3,5,6,7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 64 e) 100

21) (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones têm sete algarismos, sendo que os três primeiros constituem o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 são reservados para farmácias e os que os dois últimos algarismos são iguais, para médicos e hospitais. A quantidade dos demais números de telefones disponíveis na cidade A é: a) 1650 b) 2100 c) 4800 d) 8900 e) 9000

22) (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1,3,5,7 e 9 .O número 75391 ocupa, nessa posição, o lugar: A) 21° B) 64° C) 88° D) 92º E) 120°

3 - Permutações

3.1 - Permutações simples

Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades formação de

uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.

Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição)

podemos formar?

Formar números, em primeira análise, nada mais é do que ordenar algarismos em fila. Desse modo, a resposta,

como vimos no princípio multiplicativo é 3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não houve repetição de algarismos. Caso a

repetição fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 = 27 números, pois números como 222 anteriormente não

permitidos foram, nesse ultimo caso, liberados em aparecer na contagem.

Outro exemplo de contagem no qual lançamos mão da ferramenta permutação simples é a contagem do número de

anagramas que podem ser formados com alguma palavra.

Anagrama é um processo de troca de ordem das letras de uma palavra com o intuito de formar uma nova palavra

(esta palavra formada pode ter sentido ou não). Por exemplo, da palavra roma vem o anagrama amor. A palavra

TRAPO pode formar os anagramas:

Esses são apenas alguns dos anagramas que podemos formar. Repare que alguns fazem sentido outros não.

Imagine agora que você tem a missão de contar todos os anagramas da palavra Trapo.

Uma das maneiras de realizar essa tarefa é listar, como vinha sendo feito anteriormente, todos os anagramas da

palavra trapo e em seguida contar a dedo todos eles. Mas com certeza esse processo não é uma boa técnica, já que o

número de anagramas vai ser relativamente alto. Como não podemos repetir as letras da palavra e todas as letras

devem ser utilizadas uma boa técnica de contagem é o uso das permutações simples. Observe:

PRATO

RAPTO

PARTO

PORTA

TROPA

TRPAO

POTRA

...

...

...

Resolução:

Da mesma Forma: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1 307 674 268 000 filas.

4. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra MAGNÉTICO? O acento sempre acompanhará o E.

Resolução:

Resposta: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362 880 anagramas.

Podemos notar nos quatro exemplos acima que sempre multiplicamos um número natural pelos seus

antecessores até o 1. Isto é, pegamos um número e sempre o multiplicamos pelo que tem uma unidade a menos do

que ele, em seguida por outro que tem duas unidades a menos do que ele e assim sucessivamente até chegarmos no

1. Por exemplo

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, pode ser rescrito assim:

9 x (9 -1) x (9-2) x (9-3) x (9-4) x (9-5) x (9-6) x (9-7) x (9-8)

Esse processo utilizado em permutações simples, o de multiplicar um número pelos seus antecessores até o 1 é

chamado fatorial e tem um símbolo para representar que o produto é do tipo fatorial. O produto

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é um fatorial e pode ser reescrito como 9!, o sinal (! ) indica esse produto.

Da mesma forma o produto 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é igual a 15!. Com essa

linguagem resumimos o produto, pois, basta indicar onde esse produto começa (15) e que é fatorial (! ).

Identicamente 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! e 3 x 2 x 1 = 3!.

É uma boa nomenclatura, muito pratica. Imagine a seguinte situação combinatória. Você está encarregado de dispor

em fila cinco mil pessoas. De quantos modos pode realizar essa tarefa. A resposta como vimos nos exemplos acima

sobre filas é igual a

5000 x 4999 x 4998 x 4997 x 4996 x ... x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, segue esse produto de antecessores do 5000 até que se chegue no 1. Desse modo podemos resumir esse resultado

com a linguagem fatorial. Assim, fica simplesmente 5000! (cinco mil fatorial).

Para generalizar se devemos dispor n objetos em fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de dispormos

esses n objetos, Simbolizaremos assim: Pn =n!

Para terminar quanto vale 1! e 0!?

1! = 1 Podemos pensar combinatoriamente e nos indagarmos sobre a quantidade de maneiras de dispormos (1)

objeto em fila. Existe uma única maneira. Dessa forma 1! = 1

0! = 1 Podemos pensar, utilizando combinatória, de quantos modos podemos colocar 0 (zero) objetos em fila. Esta

resposta é polêmica, mas é bem aceitável. Como não há objetos podemos realizar esse ato de uma maneira - não

construindo a fila. Quem pensou que 0! = 0 não cometeu um erro, pois provavelmente imaginou que não há

nenhuma fila a ser construída. Dessa forma, devemos ter em mente que 0! = 1 é uma convenção. Daqui em diante

consideraremos 0! = 1 e não igual a zero, pois considerando a primeira alternativa evitamos problemas posteriores.

Novamente, a ferramenta permutações simples deve ser utilizada para contar as possibilidades de

formação de uma fila (ou seqüência) quando não houver elementos repetidos e forem utilizados todos os

Prof. Gerson Henrique 17

elementos em questão. Se quiséssemos, por exemplo, contar os anagramas da palavra AMIZADE não

poderíamos utilizar tal ferramenta, pois a letra A aparece repetida duas vezes. Portanto elemento repetido.

Outro exemplo em que o uso de permutações simples é indevido seria, por exemplo, formar números de três

algarismos distintos utilizando 3, 4, 5, 6. Uma vez que só utilizaríamos três algarismos e dispomos de quatro.

Dessa forma não utilizaríamos todos os elementos fornecidos.

Exercícios resolvidos – Questões de vestibulares

A partir da palavra NÚMEROS (o acento sempre acompanhará a letra u), responda:

a) Quantos anagramas são possíveis de serem formados? b) Quantos anagramas têm como primeira letra uma vogal? c) Quantos anagramas começam e terminam em vogal? d) Quantos anagramas começam com n? e) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n e u juntas e nessa ordem? f) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras u e n juntas? g) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n, u e m juntas e nessa ordem? h) Quantos anagramas são possíveis de serem formados com as letras n, u e m juntas?

Resolução:

a) Quantos anagramas são possíveis de serem formados?

Resolução:

A palavra NÚMEROS tem 7 letras, desse modo devemos formar uma seqüência com essas 7 letras, pode realizar

esse processo de P 7 maneiras distintas, que é igual a P 7 = 7 !anagramas distintos.

b) Quantos anagramas têm como primeira letra uma vogal?

Resolução:

Nesse item devemos preencher sete posições com sete letras e garantir que qualquer anagrama formado tenha uma

vogal como primeira letra. Assim devemos começar pela primeira casa, onde há a restrição, observe:

Desse modo nossa resposta será: 3 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3 ⋅ 6 != 3 ⋅P 6 anagramas distintos

c) Quantos anagramas começam e terminam em vogal?

Resolução:

O raciocínio para resolver esse item é idêntico ao anterior, mas nesse temos que garantir que a primeira e última

casa contenham vogais, assim primeiro preencheremos a primeira e última casa, em seguida as demais, observe:

1ª casa: temos que optar entre ú;e;o.

Nas demais casas podemos inserir vogais ou consoante, menos a vogal utilizada na primeira casa. Por isso começamos com 6 opções.

1ª casa: temos que optar entre três vogais.

Nas demais casas podemos inserir vogais ou consoante, menos as vogais utilizadas na primeira e última casa respectivamente. Por isso começamos com 5 opções.

última casa: temos que optar entre duas vogais. Já utilizamos uma na 1ª casa

2. De quantas maneiras podemos dispor 12 moças e 12 rapazes em uma escada com 12 degraus de modo que se forme um casal em cada degrau? Resolução: Primeiro vamos desenhar uma figura ilustrativa

Devemos, em seguida, dispor as doze moças, uma em cada degrau. Podemos fazer isso de 12! maneiras, observe

Agora devemos acomodar os rapazes, podemos acomodá-los de 12! maneiras. Acompanhe:

Para terminar devemos observar que tanto a moça ou rapaz que se encontram em cada degrau podem ocupar o lado direito da escada. Isto é, numa situação a moça pode estar do lado direito da escada o rapaz do lado esquerdo, ou vice e versa. Desse modo podemos ordenar cada casal de 2 maneiras em cada degrau, como temos 5 casais,a resposta final fica assim: 12! x 12! x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Podemos resumir essa resposta assim: 12! ⋅ 12 !⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 212 ⋅( 12 !)^2 modos diferentes de

dispor 12 casais em 12 degraus de uma escada.

Para você resolver

23) Considere a palavra VESTIBULAR A) Quantas Permutacões podemos formar? B) Quantos anagramas começam por VES? C) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas e nesta ordem? D) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas? E) Quantos anagramas começam e terminam por vogal? F) Quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal? G) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? H) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?

24) De quantas maneiras podemos formar uma fila com: a) 5 pessoas? b) 10 pessoas?

escada

escada

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 moças

escada

moças rapazes

número de maneiras de dispor as moças na escada

número de maneiras de dispor os rapazes na escada

número de maneiras de dispor cada casal em um degrau

c) 15 pessoas com um casal sempre juntos?

d) 15 pessoas com um casal sempre juntos e a esposa antes do marido?

e)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos?

f)10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos e as esposas na frente dos maridos?

g) 70 bonecos diferentes?

h) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre na frente dos bonecos vestidos as demais cores?

i) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho sempre juntos?

25) Num varal de roupas linear com um só fio, deseja-se dispor 25 peças de roupas diferentes para secar. Dessa

forma responda:

a) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição?

b) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que as 10 calças fiquem sempre juntas?

c) De quantas maneiras é possível realizar essa disposição, de modo que nenhuma das 5 camisas fiquem nas

extremidades do varal?

26) (U.F. STA. CATARINA) O número de anagramas da palavra ALUNO, em que as consoantes ficam na ordem

LN e as vogais na ordem AUO ê:

a)20 b)120 c)10 d)60 e)

27) (FEl) Obter o número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se

mantém nas respectivas posições.

28) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:

a) 24 b) 48 c) 96 d)120 e)

29) (UNIV. FED. BAHIA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro

de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que,

toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis

dos 4 jogadores, durante toda a viagem, é:

A) 4 B) 8 C) 12 D) 24 E) 162

30) (S.J. CAMPOS) De quantos modos diferentes podemos dispor as letras da palavra VESTIBULAR, de modo

que as vogais e as consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem?

31) (VIÇOSA) Seis pessoas em fila gastam 10 segundos para mudarem de ordem. O tempo necessário para todas as

mudanças possíveis é:

A) 4h B) 2h C) 3h D) 5h E) 6h

32) Um garçon anotou as encomendas de 4 frequeses. Cada um pediu uma sopa, um prato principal, uma bebida e

uma sobremesa. O garçon não anotou quais clientes pediram quais encomendas, lembrando-se apenas que cada um

pediu uma sopa diferente, um prato principal diferente, uma bebida diferente e uma sobremesa diferente. De

quantas maneiras diferentes ele poderá distribuir os pedidos entre os 4 clientes?

a) ( 4! )^4 b) 4 x 4! c) 4! x 4! d) 4^16 e)