O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas s˜ao as fun¸c˜oes f : A → B? Quantas s˜ao as fun¸c˜oes injetoras f : A → B?

a) Devemos, para cada elemento de A, escolher sua imagem em B. H´a 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 7 modos de escolher a imagem do segundo elemento, etc. A resposta ´e 7 × 7 × 7 × 7 = 2.401. b) Agora, elementos diferentes devem ter imagens diferentes. H´a 7 modos de escolher a imagem do primeiro elemento de A, 6 modos de escolher a imagem do segundo elemento, etc. A resposta ´e 7 × 6 × 5 × 4 = 840.

De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C 84 modos. Escolhido o 1º grupo, sobram 4 pessoas e s´o h´a 1 modo de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C 84 × 1. Entre- tanto, contamos cada divis˜ao duas vezes. Por exemplo, {a, b, c, d}{e, f, g, h} ´e idˆentica a {e, f, g, h}{a, b, c, d} e foi contada como se fosse diferente. A resposta ´e

C 84 × 1 2

Uma urna cont´em 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos ´e poss´ıvel tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 sejam pretas?

Podemos ter: P, P, P, P, B, B, B : C 6 , 4 · C 10 , 3 = 1800 P, P, P, P, P, B, B : C 6 , 5 · C 10 , 2 = 270 P, P, P, P, P, P, B : C 6 , 6 · C 10 , 1 = 10 Ao todo, temos: 1800 + 270 + 10 = 2080 modos.

Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comiss˜oes de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no m´ınimo um diretor?

Sejam: D (diretor) e G (gerente). Podemos ter os seguintes “tipos” de comiss˜oes:

D, G, G, G, G → C 3 , 1 · C 5 , 4 = 15

D, D, G, G, G → C 3 , 2 · C 5 , 3 = 30 D, D, D, G, G → C 3 , 3 · C 5 , 2 = 10 Logo, o n´umero total de comiss˜oes poss´ıveis ´e: 15 + 30 + 10 = 55.

Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 ser´a selecionado para uma excurs˜ao. De quantas maneiras o grupo poder´a ser formado se dois dos dez s˜ao marido e mulher e s´o ir˜ao juntos?

O n´umero de grupos formados nos quais marido e mulher participam ´e:

C 8 , 2

O n´umero de grupos em que eles n˜ao participam ´e: C 8 , 4 Logo, o n´umero de maneiras de formar o grupo ´e: C 8 , 2 + C 8 , 4 = 98.

Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode sele- cionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par?

O n´umero total de formas de selecionar 2 meias ´e: C 16 , 2. H´a apenas 8 combina¸c˜oes de meias do mesmo par. Logo, o n´umero de maneiras de selecionar 2 meias sem que elas sejam do mesmo par ´e: C 16 , 2 − 8 = 112.

Em um congresso h´a 30 professores de Matem´atica e 12 de F´ısica. Quantas comiss˜oes poder´ıamos organizar compostas de 3 professores de Matem´atica e 2 de F´ısica?

Cada tripla de professores de Matem´atica dever´a se juntar a uma das 12 duplas de professores de F´ısica. Como h´a C 30 , 3 triplas de matem´aticos e C 12 , 2 duplas de f´ısicos, o n´umero total de comiss˜oes ´e:

C 30 , 3 × C 12 , 2 = 267960.

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele s´o pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajet´orias (caminhos) existem da origem ao ponto P (7, 5)?

O n´umero de trajet´orias poss´ıveis da origem (0, 0) at´e o ponto P(7, 5), movendo-se apenas para norte (N) ou leste (L), ´e dado pelo coeficiente binomial:

C 12 , 7 =

Portanto, o n´umero de trajet´orias distintas ´e 792.

De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo n˜ao fiquem juntas?

CR^33 = C 73 = 35.

Quantas s˜ao as fun¸c˜oes f : Im → In n˜ao decrescentes, onde Im = { 1 , 2 ,... , m} e In = { 1 , 2 ,... , n}?

Basta escolher m elementos, n˜ao necessariamente distintos, em In para formarem a im- agem da fun¸c˜ao, o que pode ser feito de CRmn = Cnm+m− 1 modos. Escolhidos os elementos, s´o h´a um modo de estabelecer a correspondˆencia entre os elementos do dom´ınio e os escol- hidos no contradom´ınio: como a fun¸c˜ao ´e n˜ao decrescente, o menor elemento do dom´ınio ter´a por imagem o menor elemento escolhido no contradom´ınio, o segundo menor elemento do dom´ınio ter´a por imagem o segundo menor elemento escolhido no contradom´ınio, etc. A resposta ´e Cnm+m− 1 = ((mn+−1)!n−m1)!!.

Quantas s˜ao as solu¸c˜oes inteiras n˜ao negativas de x + y + z + w = 20 nas quais x > y?

Contemos primeiramente o n´umero de solu¸c˜oes em que x = y. Se x = y, a equa¸c˜ao se transforma em 2x + z + w = 20. Se x = 0, a equa¸c˜ao se transforma em z + w = 20, que possui 21 solu¸c˜oes; se x = 1, a equa¸c˜ao se transforma em z + w = 18, que possui 19 solu¸c˜oes; se x = 2, a equa¸c˜ao se transforma em z + w = 16, que possui 17 solu¸c˜oes;...; se x = 10, a equa¸c˜ao se transforma em z + w = 0, que possui 1 solu¸c˜ao. O n´umero de solu¸c˜oes em que x = y ´e 21 + 19 + 17 + · · · + 1 = 121. O total de solu¸c˜oes de x + y + z + w = 20 ´e CR^204 = C^2023 = 1.771. Logo, h´a 1. 771 − 121 = 1.650 solu¸c˜oes nas quais x ̸= y. Em metade delas, x > y e na outra metade x < y. H´a, portanto, 825 solu¸c˜oes nas quais x > y.

Quantas s˜ao as solu¸c˜oes inteiras positivas de x + y + z = 10?

Fazendo x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c, a equa¸c˜ao se transforma em a + b + c = 7; a, b, c n˜ao negativos. A resposta ´e CR^73 = C^79 = 36.

Quantas s˜ao as solu¸c˜oes inteiras positivas de x + y + z < 10?

Fazendo x = 1 + a, y = 1 + b, z = 1 + c, a inequa¸c˜ao se transforma em a + b + c < 7; a, b, c n˜ao negativos. Introduzindo a vari´avel de folga, obtemos a + b + c + f = 6. A resposta ´e CR^64 = C 96 = 84.