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Este documento aborda a teoria de lamé para o cálculo de deformações e esforços em estruturas, com foco em condições de fronteira e cargas distribuídas. São apresentadas equações para o cálculo de curvaturas e deslocamentos, bem como a condição de compatibilidade e a equação de lagrange. Além disso, são discutidas as condições de fronteira a serem verificadas em bordos livres e aplicadas em um exemplo específico.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
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3.24 Laje cont´ınua com dois tramos......................... 111
2 Grupo de An´alise de Estruturas
Figura 1.1: Placa e laje - estruturas laminares planas.
Figura 1.2: Casca/membrana - estruturas laminares n˜ao planas.
Introduc¸˜ao 3
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2 x 10
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Figura 1.3: Comportamento de laje.
Uma laje ´e ent˜ao uma estrutura laminar (porque a espessura ´e bastante menor que as outras duas dimens˜oes), ´e plana e est´a carregada transversalmente ao pr´oprio plano. De notar que caso n˜ao existam cargas transversais ao plano a mesma estrutura laminar plana ´e uma placa e n˜ao uma laje. Isto ´e o que sucede para a maioria dos pavimentos de edif´ıcios em que, para as ac¸c˜oes ditas verticais (peso pr´oprio ou sobrecargas correntes em edif´ıcios) o pavimento se comporta como uma laje ao passo que para as ac¸c˜oes ditas horizontais (sismo, por exemplo) o mesmo pavimento se comporta como uma placa. A maior dificuldade na an´alise deste tipo de estruturas face `as estruturas formadas por elementos unidimensionais (treli¸cas, p´orticos, grelhas) resulta precisamente do car´acter bidimensional que o seu comportamento estrutural exibe. Isto ´e particularmente assim para quem, como os alunos do 4o^ ano da Licenciatura em Engenharia Civil a quem estes Apontamentos se dirigem, teve ainda muito pouco contacto com estruturas n˜ao unidi- mensionais. Apesar de tanto placas como lajes exibirem comportamento bidimensional ´e objectiva- mente mais simples (tanto em termos te´oricos como intuitivos) compreender o funciona- mento de uma placa do que o de uma laje. De uma forma muito simplista podemos dizer que ao traccionar uma placa ela ir´a ”cres- cer”ou ”esticar”na direc¸c˜ao das trac¸c˜oes e que, por for¸ca do coeficiente de Poisson, ir´a ”encolher”na direc¸c˜ao transversal. Claro que nem sempre o comportamento das placas ´e assim t˜ao evidente como no caso de trac¸c˜ao pura numa direc¸c˜ao; bastam pequenas va- ria¸c˜oes no tipo de cargas aplicadas, na geometria ou no tipo de apoios para que a intui¸c˜ao se afaste um pouco da realidade. No caso de lajes algo de semelhante vai ocorrer: flex˜ao numa direc¸c˜ao leva, normalmente,
Introduc¸˜ao 5
Figura 1.5: Apoios em p´orticos planos.
Figura 1.6: Apoios el´asticos em p´orticos planos.
Para al´em destes casos ´e ainda poss´ıvel permitir apenas parcialmente qualquer um da- queles movimentos, ou seja, ´e poss´ıvel considerar a existˆencia de molas segundo qualquer das direc¸c˜oes. Para as lajes, e porque os esfor¸cos existem quase exclusivamente fora do plano m´edio, as formas de qualquer ponto da laje se deslocar s˜ao diferentes das de elementos de p´ortico plano. Ao inv´es de duas transla¸c˜oes (com existˆencia no plano) e uma rota¸c˜ao (que se define como transversal ao plano, ou seja, que causa curvatura no pr´oprio plano) temos agora apenas uma transla¸c˜ao transversal ao plano m´edio e duas rota¸c˜oes no pr´oprio plano m´edio (que causam curvaturas apenas ”vis´ıveis”fora do plano). (ver figura)
6 Grupo de An´alise de Estruturas
Figura 1.7: Deslocamentos admiss´ıveis em p´orticos e em lajes.
A defini¸c˜ao dos tipos de apoios poss´ıveis em lajes inclui os apoios que se distribuem se- gundo todo um bordo e ainda os apoios pontuais. Estes ´ultimos podem, num modelo estrutural, corresponder a existˆencia de pilares, ou seja,
a existˆencia de restri¸c˜ao ao deslo- camento transversal nesses pontos designando-se, por isso, por apoio pontual (ficamo-nos pela restri¸c˜ao ao deslocamento transversal por n˜ao se achar relevante a considera¸c˜ao de restri¸c˜oes as rota¸c˜oes). Quanto
as condi¸c˜oes de apoio nos bordos poderemos definir os seguintes apoios:
Ao contr´ario do que acontece nos p´orticos planos para as transla¸c˜oes, n˜ao faz muito sentido para lajes (pelo menos numa primeira abordagem) falar-se em bordos que permitam a rota¸c˜ao transversal ao bordo mas n˜ao o deslocamento transversal a menos que se pretenda simular um bordo el´astico como se ver´a adiante. A representa¸c˜ao dos tipos de apoios pode ser vista na Figura 1. Tamb´em para as lajes ´e poss´ıvel considerar a existˆencia de molas segundo qualquer uma das direc¸c˜oes.
8 Grupo de An´alise de Estruturas
Figura 1.10: Representa¸c˜ao esquem´atica das condi¸c˜oes de apoio, [6].
E procedimento habitual na an´´ alise estrutural de pavimentos de edif´ıcios (em particular os pavimentos em laje vigada) efectuar a sua decomposi¸c˜ao em pain´eis de laje independentes. Desta forma a an´alise ´e simplificada uma vez que quer a geometria quer, sobretudo, as condi¸c˜oes de apoio s˜ao mais simples de simular. Claro que esta simplifica¸c˜ao pode conduzir a diferen¸cas apreci´aveis entre os resultados obtidos para cada painel isolado em rela¸c˜ao aos obtidos para os pain´eis adjacentes. Na realidade, para os bordos de continuidade (como os da Figura 1.10) ser´a necess´ario garantir que os esfor¸cos preponderantes (tipicamente o momento associado ao modo de flex˜ao dominante na vizinhan¸ca do bordo) tomem valores idˆenticos de ambos lados do bordo de continuidade. Isso requer um tratamento posterior dos resultados obtidos para cada painel isolado. Este procedimento ser´a visto em pormenor mais adiante.
As lajes podem classificar-se sob diversos pontos de vista, nomeadamente quanto ao tipo de apoio, `a constitui¸c˜ao, ao processo de fabrico, ao modo de flex˜ao dominante, ao com- portamento estrutural; ver [6] para mais detalhes.
Introduc¸˜ao 9
No que diz respeito `a An´alise de Estruturas interessa sobretudo o seu comportamento estrutural o qual ´e, em grande medida, ditado pelos seguintes factores:
O ´ultimo destes factores, a rela¸c˜ao da espessura com o menor v˜ao (no caso de lajes vigadas ou com o maior dos v˜aos no caso de lajes fungiformes), ´e da maior importˆancia pois condiciona o tipo de modelo de an´alise de lajes que se pode utilizar. Nestes apontamentos ser´a considerada em mais pormenor a teoria el´astica linear de lajes finas apesar de ser tamb´em feita referˆencia a an´alise de lajes espessas. A teoria el´astica linear de lajes finas, tendo em conta os pressupostos considerados na sua dedu¸c˜ao como se ver´a a seguir , deve apenas ser aplicada a lajes que verifiquem, segundo Bareˇs [1], uma rela¸c˜ao espessura/menor v˜ao inferior a aproximadamente 1/5 1 e ainda que os deslocamentos transversais m´aximos sejam inferiores a aproximadamente 1/5 da espessura. Esta ´ultima restri¸c˜ao pode, ainda mais do que a da rela¸c˜ao da espessura com o v˜ao, ser condicionante. Em qualquer dos casos deve ser salientado que s˜ao raras as lajes de estruturas correntes (ou mesmo especiais) que n˜ao verificam estas condi¸c˜oes podendo pois a sua an´alise ser feita com base na teoria de lajes finas. Como veremos adiante n˜ao h´a, por´em, nenhum impedimento
a utiliza¸c˜ao da teoria de lajes espessas para a an´alise de lajes finas.
Quando a geometria e as condi¸c˜oes de fronteira da laje s˜ao simples, ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas normalmente sob a forma de s´eries infinitas. Muitas dessas solu¸c˜oes est˜ao tabeladas, em particular para os casos correntes de lajes, [1]. Este ´e, sem d´uvida, o processo mais utilizado pelos projectistas no dimensionamento de pain´eis de laje que n˜ao apresentem dificuldades de maior. Nos casos mais gerais (nos quais se incluem quase todos os casos em que se pretende analisar dois ou mais pain´eis de laje simultaneamente) n˜ao ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas (nem mesmo na forma de s´erie) e tem que se recorrer a t´ecnicas num´ericas. (^1) Outros autores s˜ao um pouco mais conservadores e recomendam rela¸c˜oes espessura/menor v˜ao infe- riores a aproximadamente 1/10.