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Cálculo de Deformações e Esforços em Estruturas: Teoria de Lamé e Condições de Fronteira, Notas de estudo de Teoria das Estruturas

Este documento aborda a teoria de lamé para o cálculo de deformações e esforços em estruturas, com foco em condições de fronteira e cargas distribuídas. São apresentadas equações para o cálculo de curvaturas e deslocamentos, bem como a condição de compatibilidade e a equação de lagrange. Além disso, são discutidas as condições de fronteira a serem verificadas em bordos livres e aplicadas em um exemplo específico.

O que você vai aprender

  • Quais são as condições de fronteira a serem verificadas em bordos livres de estruturas?
  • O que é a condição de compatibilidade e a equação de Lagrange no contexto do cálculo de estruturas?
  • Como são calculadas as curvaturas e deslocamentos em estruturas de acordo com a teoria de Lamé?

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

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ALISE DE ESTRUTURAS I
Apontamentos sobre an´alise de lajes
Grupo de An´alise de Estruturas
Departamento de Engenharia Civil
Instituto Superior ecnico, 2018
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Baixe Cálculo de Deformações e Esforços em Estruturas: Teoria de Lamé e Condições de Fronteira e outras Notas de estudo em PDF para Teoria das Estruturas, somente na Docsity!

AN ALISE DE ESTRUTURAS I´

Apontamentos sobre an´alise de lajes

Grupo de An´alise de Estruturas

Departamento de Engenharia Civil

Instituto Superior T´ecnico, 2018

ii

Conte´udo

  • 1 Introdu¸c˜ao
    • 1.1 Lajes - conceitos b´asicos
    • 1.2 Defini¸c˜ao do modelo estrutural de an´alise de lajes
    • 1.3 Classifica¸c˜ao das lajes face ao comportamento estrutural
    • 1.4 Breve resenha de m´etodos de an´alise de lajes
  • 2 Lajes de Kirchhoff - Formula¸c˜ao do problema
    • 2.1 Lajes de Kirchhoff - Hip´oteses simplificativas
    • 2.2 Defini¸c˜ao das grandezas est´aticas e cinem´aticas
      • 2.2.1 Defini¸c˜ao do campo de deslocamentos
      • 2.2.2 Defini¸c˜ao do campo de deforma¸c˜oes
      • 2.2.3 Defini¸c˜ao do campo de esfor¸cos
      • 2.2.4 Recupera¸c˜ao das grandezas tridimensionais∗
    • 2.3 Rela¸c˜oes Fundamentais
      • 2.3.1 Condi¸c˜oes de compatibilidade
      • 2.3.2 Condi¸c˜oes de equil´ıbrio
      • 2.3.3 Obten¸c˜ao das condi¸c˜oes de equil´ıbrio∗
      • 2.3.4 Rela¸c˜oes de elasticidade
      • 2.3.5 Significado f´ısico das rela¸c˜oes constitutivas
      • 2.3.6 Obten¸c˜ao das rela¸c˜oes de elasticidade∗
    • 2.4 Equa¸c˜ao de Lagrange iv
    • 2.5 Defini¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira
      • 2.5.1 Bordos encastrados
      • 2.5.2 Bordos simplesmente apoiados
      • 2.5.3 Bordos livres
    • 2.6 Identifica¸c˜ao de solu¸c˜oes exactas
    • 2.7 Distribui¸c˜oes de esfor¸cos equilibradas
    • 2.8 Campos de deslocamentos compat´ıveis
  • 3 An´alise el´astica de lajes finas
    • 3.1 Flex˜ao de vigas
    • 3.2 Lajes rectangulares em flex˜ao cil´ındrica
      • 3.2.1 Lajes rectangulares em flex˜ao cil´ındrica - solu¸c˜ao geral
        • flex˜ao cil´ındrica 3.2.2 Lajes rectangulares apoiadas em todo o contorno - aproxima¸c˜ao a
    • 3.3 Flex˜ao sim´etrica de lajes circulares
    • 3.4 An´alise de lajes finas - caso geral
      • 3.4.1 Solu¸c˜ao anal´ıtica
      • 3.4.2 Solu¸c˜oes em forma de s´erie
      • 3.4.3 Solu¸c˜oes em forma de tabela
    • 3.5 Solu¸c˜oes n˜ao exactas
    • 3.6 An´alise de lajes vigadas cont´ınuas
      • 3.6.1 Resolu¸c˜ao anal´ıtica de lajes cont´ınuas
    • 3.7 Lajes apoiadas em pilares - lajes fungiformes
  • A Lajes finas em coordenadas polares
  • 1.1 Placa e laje - estruturas laminares planas. Lista de Figuras
  • 1.2 Casca/membrana - estruturas laminares n˜ao planas.
  • 1.3 Comportamento de laje.
  • 1.4 Placa traccionada.
  • 1.5 Apoios em p´orticos planos.
  • 1.6 Apoios el´asticos em p´orticos planos.
  • 1.7 Deslocamentos admiss´ıveis em p´orticos e em lajes.
  • 1.8 Representa¸c˜ao de apoios em lajes.
  • 1.9 Bordos el´asticos.
  • 1.10 Representa¸c˜ao esquem´atica das condi¸c˜oes de apoio, [6].
  • 2.1 Ilustra¸c˜ao das hip´oteses de Kirchhoff
  • 2.2 Determina¸c˜ao do campo de deslocamentos
  • 2.3 Campos de deslocamentos numa laje de Kirchhoff
  • 2.4 Deslocamento de corpo r´ıgido
  • 2.5 Campos de deslocamentos com curvaturas de flex˜ao unit´arias
  • 2.6 Campo de deslocamentos com curvatura de tor¸c˜ao unit´aria
  • 2.7 Componentes do tensor das tens˜oes aplicadas no bordo normal ao eixo x
  • 2.8 Esfor¸cos mxx,mxy e vx positivos
  • 2.9 Componentes do tensor das tens˜oes aplicadas no bordo normal ao eixo y
  • 2.10 Esfor¸cos myy ,mxy e vy positivos
  • 2.11 Campos de esfor¸cos numa laje de Kirchhoff vi
  • 2.12 Defini¸c˜ao da mudan¸ca de coordenadas
  • 2.13 Distribui¸c˜ao das tens˜oes σxx, σyy e σxy na espessura
  • 2.14 Distribui¸c˜ao das tens˜oes tangenciais σxz e σyz na espessura
  • 2.15 Grandezas a conhecer para se caracterizar o comportamento de lajes finas
  • 2.16 Diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal de laje
  • 2.17 Conjunto de vigas com eixo paralelo ao eixo x
  • 2.18 Deforma¸c˜ao por flex˜ao das vigas com eixo paralelo ao eixo x
  • 2.19 Deforma¸c˜ao da sec¸c˜ao transversal
  • 2.20 Deformada das sec¸c˜oes transversais
  • 2.21 Momento a aplicar segundo a direc¸c˜ao transversal
  • 2.22 Grandezas e equa¸c˜oes fundamentais nas lajes de Kirchhoff
  • 2.23 Tipos de apoios a considerar
  • 2.24 Laje rectangular com todos os bordos encastrados
  • 2.25 Condi¸c˜oes de fronteira a considerar ao longo do bordo I
  • 2.26 Condi¸c˜oes de fronteira a considerar na laje com todos os bordos encastrados
  • 2.27 Condi¸c˜oes de fronteira a considerar num bordo encastrado inclinado
  • 2.28 Mudan¸ca de coordenadas
  • 2.29 Condi¸c˜oes de fronteira a considerar num bordo encastrado
  • 2.30 Laje rectangular simplesmente apoiada em todo o seu contorno
  • 2.31 Condi¸c˜oes de fronteira a verificar numa laje rectangular simplesmente apoiada
  • 2.32 Condi¸c˜oes de fronteira a verificar num bordo simplesmente apoiado
  • 2.33 Condi¸c˜oes de fronteira a verificar num bordo simplesmente apoiado inclinado
  • 2.34 Laje com bordos livres
  • 2.35 Condi¸c˜oes a considerar no bordo III
  • 2.36 Esfor¸cos tranversos e momentos torsores no bordo III
  • 2.37 Equivalˆencia est´atica no bordo III
  • 2.38 Aparecimento de for¸cas de canto no bordo III vii
  • 2.39 Determina¸c˜ao do valor das for¸cas de canto
  • 2.40 Equivalˆencia est´atica em toda a laje
  • 2.41 Valor das for¸cas de canto em toda a laje
  • 2.42 Equivalˆencia est´atica ao longo do bordo III com momento torsor vari´avel
  • 2.43 Varia¸c˜ao do momento torsor entre fatias adjacentes
  • 2.44 Determina¸c˜ao do valor de f z
  • 2.45 Equivalˆencia est´atica na laje
  • 2.46 Condi¸c˜oes de fronteira a verificar em bordos livres
  • 2.47 Condi¸c˜oes de fronteira na laje da figura 2.34
  • 2.48 Defini¸c˜ao da laje a analisar.
  • 2.49 Campo de deslocamentos transversais
  • 2.50 Cargas na laje simplesmente apoiada.
  • 2.51 Campo de rota¸c˜oes
  • 2.52 Campo de curvaturas de flex˜ao.
  • 2.53 Campo de curvaturas de tor¸c˜ao
  • 2.54 Campo de momentos flectores.
  • 2.55 Campo de momentos torsores.
  • 2.56 Campo de esfor¸cos transversos.
  • 2.57 Distribui¸c˜ao dos esfor¸cos transversos efectivos nos bordos da laje.
  • 2.58 Reac˜oes de canto no elemento de laje.
  • 2.59 Laje rectangular simplesmente apoiada
  • 2.60 Diagramas de momentos mxx e myy
  • 2.61 Viga para obten¸c˜ao de mxx
  • 2.62 Viga para obten¸c˜ao de myy
  • 2.63 Laje rectangular com tipos de apoios diferentes
  • 2.64 Elementos de viga para a determina¸c˜ao dos campos de momentos flectores
  • 2.65 Vigas equivalentes viii
  • 3.1 Deformada de uma viga.
  • 3.2 Deformada da sec¸c˜ao transversal de uma viga.
  • 3.3 Vigas lado a lado.
  • 3.4 Deformada de laje sob flex˜ao cil´ındrica.
  • 3.5 Laje rectangular longa.
    • bordo oposto. 3.6 Laje rectangular longa encastrada num dos bordos maiores e apoiada no
    • plementar gen´erica, ou seja, em fun¸c˜ao das constantes C 1 a C 3.7 Deformada e distribui¸c˜ao de momento mxx correspondente `a solu¸c˜ao com-
    • ticular 3.8 Deformada e distribui¸c˜ao de momento mxx correspondente `a solu¸c˜ao par-
    • plementar 3.9 Deformada e distribui¸c˜ao de momento mxx correspondente `a solu¸c˜ao com-
  • 3.10 Sobreposi¸c˜ao das solu¸c˜oes particular e complementar.
  • 3.11 Lajes a funcionar predominantemente numa direc¸c˜ao.
  • 3.12 Representa¸c˜ao da deformada de uma laje.
  • 3.13 Carga sinusoidal.
  • 3.14 Campo de deslocamentos transversais.
  • 3.15 Campo de rota¸c˜oes.
  • 3.16 Campo de curvaturas de flex˜ao.
  • 3.17 Campo de curvaturas de tor¸c˜ao.
  • 3.18 Campo de momentos flectores.
  • 3.19 Campo de momentos torsores.
  • 3.20 Campo de esfor¸cos transversos.
  • 3.21 Esfor¸cos transversos efectivos nos bordos x = 0 e y = 0, respectivamente.
  • 3.22 Laje rectangular simplesmente apoiada.
  • 3.23 Lajes cont´ınuas.

ix

3.24 Laje cont´ınua com dois tramos......................... 111

2 Grupo de An´alise de Estruturas

Figura 1.1: Placa e laje - estruturas laminares planas.

Figura 1.2: Casca/membrana - estruturas laminares n˜ao planas.

Introduc¸˜ao 3

x 10 0 −

0 0.

0.4^ 0.

0.8^1 0.2 0

0.6 0.

(^1) 0. −

0

2 x 10

Figura 1.3: Comportamento de laje.

Uma laje ´e ent˜ao uma estrutura laminar (porque a espessura ´e bastante menor que as outras duas dimens˜oes), ´e plana e est´a carregada transversalmente ao pr´oprio plano. De notar que caso n˜ao existam cargas transversais ao plano a mesma estrutura laminar plana ´e uma placa e n˜ao uma laje. Isto ´e o que sucede para a maioria dos pavimentos de edif´ıcios em que, para as ac¸c˜oes ditas verticais (peso pr´oprio ou sobrecargas correntes em edif´ıcios) o pavimento se comporta como uma laje ao passo que para as ac¸c˜oes ditas horizontais (sismo, por exemplo) o mesmo pavimento se comporta como uma placa. A maior dificuldade na an´alise deste tipo de estruturas face `as estruturas formadas por elementos unidimensionais (treli¸cas, p´orticos, grelhas) resulta precisamente do car´acter bidimensional que o seu comportamento estrutural exibe. Isto ´e particularmente assim para quem, como os alunos do 4o^ ano da Licenciatura em Engenharia Civil a quem estes Apontamentos se dirigem, teve ainda muito pouco contacto com estruturas n˜ao unidi- mensionais. Apesar de tanto placas como lajes exibirem comportamento bidimensional ´e objectiva- mente mais simples (tanto em termos te´oricos como intuitivos) compreender o funciona- mento de uma placa do que o de uma laje. De uma forma muito simplista podemos dizer que ao traccionar uma placa ela ir´a ”cres- cer”ou ”esticar”na direc¸c˜ao das trac¸c˜oes e que, por for¸ca do coeficiente de Poisson, ir´a ”encolher”na direc¸c˜ao transversal. Claro que nem sempre o comportamento das placas ´e assim t˜ao evidente como no caso de trac¸c˜ao pura numa direc¸c˜ao; bastam pequenas va- ria¸c˜oes no tipo de cargas aplicadas, na geometria ou no tipo de apoios para que a intui¸c˜ao se afaste um pouco da realidade. No caso de lajes algo de semelhante vai ocorrer: flex˜ao numa direc¸c˜ao leva, normalmente,

Introduc¸˜ao 5

Figura 1.5: Apoios em p´orticos planos.

Figura 1.6: Apoios el´asticos em p´orticos planos.

  • ponto que permite a rota¸c˜ao e uma transla¸c˜ao, ou seja, apoio simples;
  • ponto que permite apenas a rota¸c˜ao, ou seja, apoio fixo;
  • ponto que permite apenas uma transla¸c˜ao, ou seja, encastramento deslizante;
  • ponto que n˜ao permite nenhum deslocamento, ou seja, encastrado;

Para al´em destes casos ´e ainda poss´ıvel permitir apenas parcialmente qualquer um da- queles movimentos, ou seja, ´e poss´ıvel considerar a existˆencia de molas segundo qualquer das direc¸c˜oes. Para as lajes, e porque os esfor¸cos existem quase exclusivamente fora do plano m´edio, as formas de qualquer ponto da laje se deslocar s˜ao diferentes das de elementos de p´ortico plano. Ao inv´es de duas transla¸c˜oes (com existˆencia no plano) e uma rota¸c˜ao (que se define como transversal ao plano, ou seja, que causa curvatura no pr´oprio plano) temos agora apenas uma transla¸c˜ao transversal ao plano m´edio e duas rota¸c˜oes no pr´oprio plano m´edio (que causam curvaturas apenas ”vis´ıveis”fora do plano). (ver figura)

6 Grupo de An´alise de Estruturas

Figura 1.7: Deslocamentos admiss´ıveis em p´orticos e em lajes.

A defini¸c˜ao dos tipos de apoios poss´ıveis em lajes inclui os apoios que se distribuem se- gundo todo um bordo e ainda os apoios pontuais. Estes ´ultimos podem, num modelo estrutural, corresponder a existˆencia de pilares, ou seja,a existˆencia de restri¸c˜ao ao deslo- camento transversal nesses pontos designando-se, por isso, por apoio pontual (ficamo-nos pela restri¸c˜ao ao deslocamento transversal por n˜ao se achar relevante a considera¸c˜ao de restri¸c˜oes as rota¸c˜oes). Quantoas condi¸c˜oes de apoio nos bordos poderemos definir os seguintes apoios:

  • bordo (aresta da laje) n˜ao apoiado, ou seja, bordo livre;
  • bordo que permite a rota¸c˜ao paralela ao pr´oprio bordo mas n˜ao o deslocamento transversal nem a rota¸c˜ao transversal ao bordo, ou seja, bordo simplesmente apoi- ado;
  • bordo que permite apenas a transla¸c˜ao, ou seja, bordo com encastramento deslizante;
  • bordo que n˜ao permite nenhum movimento, ou seja, bordo encastrado;

Ao contr´ario do que acontece nos p´orticos planos para as transla¸c˜oes, n˜ao faz muito sentido para lajes (pelo menos numa primeira abordagem) falar-se em bordos que permitam a rota¸c˜ao transversal ao bordo mas n˜ao o deslocamento transversal a menos que se pretenda simular um bordo el´astico como se ver´a adiante. A representa¸c˜ao dos tipos de apoios pode ser vista na Figura 1. Tamb´em para as lajes ´e poss´ıvel considerar a existˆencia de molas segundo qualquer uma das direc¸c˜oes.

8 Grupo de An´alise de Estruturas

Figura 1.10: Representa¸c˜ao esquem´atica das condi¸c˜oes de apoio, [6].

E procedimento habitual na an´´ alise estrutural de pavimentos de edif´ıcios (em particular os pavimentos em laje vigada) efectuar a sua decomposi¸c˜ao em pain´eis de laje independentes. Desta forma a an´alise ´e simplificada uma vez que quer a geometria quer, sobretudo, as condi¸c˜oes de apoio s˜ao mais simples de simular. Claro que esta simplifica¸c˜ao pode conduzir a diferen¸cas apreci´aveis entre os resultados obtidos para cada painel isolado em rela¸c˜ao aos obtidos para os pain´eis adjacentes. Na realidade, para os bordos de continuidade (como os da Figura 1.10) ser´a necess´ario garantir que os esfor¸cos preponderantes (tipicamente o momento associado ao modo de flex˜ao dominante na vizinhan¸ca do bordo) tomem valores idˆenticos de ambos lados do bordo de continuidade. Isso requer um tratamento posterior dos resultados obtidos para cada painel isolado. Este procedimento ser´a visto em pormenor mais adiante.

1.3 Classifica¸c˜ao das lajes face ao comportamento es-

trutural

As lajes podem classificar-se sob diversos pontos de vista, nomeadamente quanto ao tipo de apoio, `a constitui¸c˜ao, ao processo de fabrico, ao modo de flex˜ao dominante, ao com- portamento estrutural; ver [6] para mais detalhes.

Introduc¸˜ao 9

No que diz respeito `a An´alise de Estruturas interessa sobretudo o seu comportamento estrutural o qual ´e, em grande medida, ditado pelos seguintes factores:

  • pelos tipos de apoios e de cargas, ou seja, pelas condi¸c˜oes de fronteira;
  • pela rela¸c˜ao entre os v˜aos, a qual condiciona a direc¸c˜ao de flex˜ao dominante;
  • o comportamento mecˆanico do material de que a laje ´e constitu´ıda;
  • a rela¸c˜ao da espessura com o menor dos v˜aos.

O ´ultimo destes factores, a rela¸c˜ao da espessura com o menor v˜ao (no caso de lajes vigadas ou com o maior dos v˜aos no caso de lajes fungiformes), ´e da maior importˆancia pois condiciona o tipo de modelo de an´alise de lajes que se pode utilizar. Nestes apontamentos ser´a considerada em mais pormenor a teoria el´astica linear de lajes finas apesar de ser tamb´em feita referˆencia a an´alise de lajes espessas. A teoria el´astica linear de lajes finas, tendo em conta os pressupostos considerados na sua dedu¸c˜ao como se ver´a a seguir , deve apenas ser aplicada a lajes que verifiquem, segundo Bareˇs [1], uma rela¸c˜ao espessura/menor v˜ao inferior a aproximadamente 1/5 1 e ainda que os deslocamentos transversais m´aximos sejam inferiores a aproximadamente 1/5 da espessura. Esta ´ultima restri¸c˜ao pode, ainda mais do que a da rela¸c˜ao da espessura com o v˜ao, ser condicionante. Em qualquer dos casos deve ser salientado que s˜ao raras as lajes de estruturas correntes (ou mesmo especiais) que n˜ao verificam estas condi¸c˜oes podendo pois a sua an´alise ser feita com base na teoria de lajes finas. Como veremos adiante n˜ao h´a, por´em, nenhum impedimentoa utiliza¸c˜ao da teoria de lajes espessas para a an´alise de lajes finas.

1.4 Breve resenha de m´etodos de an´alise de lajes

Quando a geometria e as condi¸c˜oes de fronteira da laje s˜ao simples, ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas normalmente sob a forma de s´eries infinitas. Muitas dessas solu¸c˜oes est˜ao tabeladas, em particular para os casos correntes de lajes, [1]. Este ´e, sem d´uvida, o processo mais utilizado pelos projectistas no dimensionamento de pain´eis de laje que n˜ao apresentem dificuldades de maior. Nos casos mais gerais (nos quais se incluem quase todos os casos em que se pretende analisar dois ou mais pain´eis de laje simultaneamente) n˜ao ´e poss´ıvel encontrar solu¸c˜oes anal´ıticas (nem mesmo na forma de s´erie) e tem que se recorrer a t´ecnicas num´ericas. (^1) Outros autores s˜ao um pouco mais conservadores e recomendam rela¸c˜oes espessura/menor v˜ao infe- riores a aproximadamente 1/10.