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Neste documento, encontram-se duas demonstrações do teorema de pitágoras: uma através dos quadrados de áreas e outra através da relação entre os catetos e a hipotenusa em um triângulo retângulo. O texto também apresenta aplicação do teorema em espaços vetoriais e no plano complexo.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Mestrado Profissional em Matem´atica em Rede Nacional - PROFMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado
Alguns t´opicos da Escola Pitag´orica
Euclides Araujo dos Santos Filho
Salvador - Bahia 2016
Alguns t´opicos da Escola Pitag´orica
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada `a Comiss˜ao Acadˆemica Institucional do PROFMAT-UFBA como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Orientadora: Profa. Dra. Luciana Salgado.
Salvador - Bahia 2016
A minha fam´` ılia
Em primeiro lugar, agrade¸co ao Grande Arquiteto do Universo que me deu todas as condi¸c˜oes para realizar este sonho. Aos meus pais, Euclides e Neildes, deixo um obrigado especial pelo empenho incans´avel em abrir junto comigo os caminhos por onde trilho minha vida com muita retid˜ao. Agrade¸co a Sheila por n˜ao ser apenas minha irm˜a, mas sim um porto seguro onde me sinto forte. Aos familiares por rezarem sempre pelo meu sucesso, em especial a D. Helena (minha voinha). Entre os caminhos que percorri na vida, consegui cruzar com Fabiane que comple- tou minha fam´ılia, me dando as duas j´oias mais raras que j´a recebi, Clarinha e Heleninha, vocˆes formam o motivo da minha luta di´aria em busca da vit´oria. N˜ao posso esquecer de pessoas t˜ao importantes na minha vida que me ajudaram a crescer intelectualmente, portanto fica meus agradecimentos aos meus irm˜aos da Luz da Alian¸ca Universal e do col´egio S˜ao Jos´e. Cheguei neste curso uma pessoa e saio mais fortalecido com meus companheiros (colegas e professores) do PROFMAT-Ufba que foram de extrema importˆancia nesta jor- nada, inclusive aos Doutores Hale Ayta¸c e Evandro Carlos, que dispensaram de seus preciosos tempos para acompanhar meu trabalho nesta reta final. E n˜ao posso deixar de agradecer a minha amiga, irm˜a e orientadora Luciana Sal- gado que, n˜ao somente como orientadora, mas sempre que precisei nunca recebi um n˜ao como resposta.
Este trabalho prop˜oe uma discuss˜ao sobre alguns t´opicos da Escola Pitag´orica, como N´umeros Racionais e sua aplica¸c˜ao na m´usica, a raz˜ao Aurea e o n´´ umero de ouro, o teorema de Pit´agoras com demonstra¸c˜oes e aplica¸c˜oes em diversas ´areas da Matem´atica e outras Ciˆencias finalizando com um estudo de teoremas an´alogos ao de Pit´agoras em geometrias N˜ao Euclidianas. Veremos sugest˜oes de como abordar de forma l´udica e inte- ressante conte´udos dessa escola. Durante a pesquisa, foi poss´ıvel inserir os recursos tecnol´ogicos para estreitar mais a liga¸c˜ao entre a teoria e a pr´atica da matem´atica, tornando assim a rela¸c˜ao Homem X M´ıdia mais forte e prazerosa. Palavras chave: Escola Pitag´orica, Teorema de Pit´agoras, Geometria Hiperb´olica.
This paper proposes a discussion of some topics of the Pythagorean School as Rational Numbers and its application in music, the Golden ratio and the number of gold, the Pythagorean theorem with demonstrations and applications in various areas of mathematics and other sciences ending with a study analogues to theorems of Pythagoras in Euclidean geometries not. We will see suggestions of how to approach a playful and interesting content of this school. During the research , it was possible to enter the technological resources to strengthen further the link between theory and practice of mathematics, thus making the relationship Man X Media stronger and enjoyable. Key words: Pythagorean School, Pythagora’s Theorem, Hyperbolic Geometry.
Pit´agoras nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na regi˜ao da Gr´ecia. Provavelmente viveu por volta de 70 anos e dedicou sua vida a filosofia. Apesar de n˜ao existirem registros escritos de suas obras, com certeza tornou-se um dos matem´aticos mais importantes e citados em toda humanidade. Fundou uma escola filos´ofica conhecida como Escola Pitag´orica. Uma institui¸c˜ao inici´atica em que seus membros buscavam o aperfei¸coamento das obras matem´aticas sem preocupa¸c˜oes em ganhar a notoriedade das descobertas. Hoje, se questiona muito sobre a autoria das obras, por´em era uma pr´atica dos iniciados da escola pitag´orica n˜ao assin´a-las em detrimento do engrandecimento da institui¸c˜ao. Este trabalho busca apresentar de forma l´udica algumas das obras dos pitag´oricos. No primeiro cap´ıtulo mostraremos seu ponto de vista sobre a rela¸c˜ao entre n´umeros racionais e a m´usica. O segundo cap´ıtulo ser´a dedicado ao bem conhecido Teorema de Pit´agoras, atrav´es do qual podemos calcular o lado de um triˆangulo retˆangulo a partir dos seus outros dois lados. S˜ao feitas duas demosntra¸c˜oes, inclusive com o uso do aplicativo GEOGEBRA, para trazer um car´ater mais l´udico e concreto para os alunos. Mostramos v´arias aplica¸c˜oes deste teorema na matem´atica, como na Geometria Plana e Espacial, na Trigonometria, na Geometria Anal´ıtica, nos N´umeros Complexos e em outras ciˆencias tais como na Mecˆanica e na Dinˆamica. Apresentamos tamb´em a no¸c˜ao de propor¸c˜ao dos pitag´oricos culminando na pro- por¸c˜ao ´aurea e no n´umero de ouro, buscando sempre a ilustra¸c˜ao com elementos da natureza. Neste cap´ıtulo ainda direcionamos o estudo do teorema de pit´agoras na geometria hiperb´olica. O ´ultimo cap´ıtulo ´e destinado a atividades a serem desenvolvidas em sala de aula para pˆor em pr´atica os conte´udos aqui abordados.
harpa. Esta, por sua vez vibra e empurra as mol´eculas de as ao seu redor que segue provocando esta perturba¸c˜ao nas mol´eculas adjacentes e assim sucessivamente. Outra diferen¸ca importante de se compreender ´e entre a frˆequencia sonora(altura) e a sua intensidade (volume). Enquanto a freqˆencia sonora est´a ligada a quantidade de os- cila¸c˜oes que a onda faz em determinado intervalo de tempo, o volume fica relacionado com a amplitude que estas ondas atingem, portanto podemos ter ondas de mesma frequˆencia com amplitudes diferentes e vice versa. No que segue, apresentamos o desenvolvimento musical desde a escala pitag´orica `a escala temperada, numa proposta de trabalhar conceitos matem´aticos como inteiros, racionais, irracionais, progress˜oes e logar´ıtmos.
1.2 M´usica na Escola Pitag´orica
Pode-se dizer que a confluˆencia entre a M´usica e a Matem´atica se deu a partir da necessi- dade de buscar embasamentos cient´ıficos para a harmonia entre sons e resolver problemas entre consonˆancia e dissonˆancia musical. A Pit´agoras ´e atribu´ıdo o primeiro estudo cient´ıfico da m´usica e seus intervalos de frequˆencias. A hist´oria conta que ele, ao passar pela frente de uma oficina, ouviu os sons das bati- das de martelo em diferentes materiais de diferentes tamanhos. Isto o fez despertar para uma poss´ıvel harmonia entre os sons produzidos. Ele ent˜ao teria iniciado uma pesquisa cient´ıfica para assim fazer uma associa¸c˜ao entre os diferentes sons e os n´umeros, pois para a escola Pitag´orica tudo na natureza estava ligado aos n´umeros inteiros. O primeiro projeto feito por Pit´agoras para entender melhor esta consonˆancia entre as batidas, foi o Metalofone, instrumento feito de metal com duas baquetas que simula as batidas dos martelos nas chapas.
Figura 1.1: Metalofone Fonte:
Depois de alguns estudos e an´alise entre as consonˆancias e dissonˆancias dos dife- rentes sons, ele pode verificar que essa harmonia acontecia quando as chapas tinham uma rela¸c˜ao de 1 para 2, ou seja, se uma nota D´o fosse entonada de uma chapa do metalofone, encontrava-se uma nova nota D´o quando a batida fosse feita numa chapa que tivesse a metade do tamanho da anterior, contudo com um tom mais agudo. Isto ocorre pois o n´umero de vibra¸c˜oes obtida na nova chapa ´e o dobro em rela¸c˜ao `a original, fazendo soar assim a mesma nota com uma frequˆencia maior, gerando este som mais agudo. Para entender melhor o que acontece levamos em considera¸c˜ao a nota L´a que por conven¸c˜ao possui uma frequˆencia de 440 Hz, se reduzirmos a chapa que produz essa nota a metade, ela passa a vibrar o dobro de vezes no mesmo intervalo de tempo 880 Hz, gerando uma nova nota L´a, s´o que mais aguda. Pit´agoras continuou sua investiga¸c˜ao sobre as rela¸c˜oes dos sons agrad´aveis aos ouvidos e os n´umeros inteiros. O instumento usado que ajudou essa pesquisa foi o chamado Monoc´ordio (Mono = uma e C´ordio = corda). Uma ´unica corda esticada e presa por dois cavaletes fixos nas extremidades e com um cavalete m´ovel que o possibilitava alterar os comprimentos desta corda, fazendo vibr´a-la em frequˆencias distintas.
Figura 1.2: Modelo de monoc´ordio. Fonte: [12]
Figura 1.3: Pit´agoras e seu monoc´ordio. Fonte: [13]
Como resultado desta investiga¸c˜ao, Pit´agoras percebeu que a corda reduzida a (^23) do seu tamanho original, produzia tamb´em um som harmonioso que hoje chamamos de Quinta Justa, e que reduzida a 34 produz outra chamada atualmente de Quarta Justa. Podemos listar alguns princ´ıpios criados por Pit´agoras ap´os as suas investiga¸c˜oes. 1 o^ - Equivalˆencia: divis˜ao da corda na raz˜ao de 12 (Oitava). 2 o^ - Limite: deve estar sempre entre a corda toda e sua metade. 3 o^ - Unidade de divis˜ao: progressiva na raz˜ao de 23 do seu tamanho. Assim foi criada a escala Diatˆonica com sete notas (cinco com intervalos de tons e duas com intervalos de semitons) D´o, R´e, Mi, F´a, Sol, L´a, Si, D´o, ficando a repeti¸c˜ao como sendo a primeira s´o que mais aguda, chamada de Oitava, por ser a oitava nota da sequˆencia.
valor inteiro para m e n tal que f(n) = g (m). Ap´os v´arias tentativas, verificou-se que o valor mais pr´oximo para esta igualdade acontecia quando n = 7 e m = 12, gerando f(7) = 128 e g(12) = 129,74. Apesar dos valores encontrados serem muito pr´oximos, pouco mais de 1% de diferen¸ca, isto comprometia a execu¸c˜ao musical. Esta diferen¸ca ficou cconhecida como Coma Pitag´orica. Outro problema na escala Pitag´orica ´e a rela¸c˜ao entre as frequˆencias de seus tons e semitons. A tabela a seguir ajuda-nos a entender melhor essa rela¸c˜ao.
Figura 1.5: Raz˜ao entre as frequˆecias dos tons Fonte: Pr´opria
Assim ´e poss´ıvel verificar que a soma entre dois semitons n˜ao coincide com a frequˆencia de um tom. Uma maneira de atenuar esse problema foi, ao inv´es de dividir a escala em sete notas como na escala diatˆonica, criou-se a escala Crom´atica, que consiste em divid´ı-la em doze semitons,
D´o, D´o#, R´e, R´e#, Mi, F´a, F´a#, Sol, Sol#, L´a, L´a#, Si, D´o. Ainda que n˜ao conhecessem a “equa¸c˜ao de ondas”do c´alculo diferencial, os pi- tag´oricos observavam os sons consonantes nas rela¸c˜oes entre as frequˆencias na raz˜ao de 32 , quando se tomava a corda em dois ter¸cos da inicial, chamando de Ciclo das Quintas. Desta maneira, podemos garantir que a quinta do D´o ´e o Sol e por sua vez a quinta so Sol ´e o R´e, e assim por diante, encontrando a sequˆencia,
D´o, Sol, R´e, L´a, Mi, Si, F´a#, D´o#, Sol#, R´e#, L´a#, F´a, D´o.
1.3 Escalas Temperada
O modelo criado por Pit´agoras era o mais aceito pela comunidade musical, contudo existiam erros. Muitos m´usicos e matem´aticos tentaram corrigir as “falhas”do modelo
grego. A escala crom´atica trazia um problema quando se precisava executar uma m´usica em diferentes oitavas, tendo que reafinar o instrumento em cada mudan¸ca de oitava, pois n˜ao havia o encaixe perfeito como citado anteriormente. Com o intuito de encontrar uma solu¸c˜ao, o matem´atico e f´ısico Simon Stevin(1548-
f 12 = 2 f = 12
2 (Irracional) f ∼= 1, 059463.
Comparando a escala Temperada com a Pitag´orica encontramos,
Figura 1.6: Comparativo entre as escalas Fonte: Pr´opria
A tabela abaixo faz um comparativo das diferen¸cas entre as escalas, podendo assim perceber uma leve diferen¸ca entre as frequˆencias das notas na escala Pitag´orica e na escala Temperada.
1.4 Caso particular: os trastes do viol˜ao
Como j´a sabemos, as frequˆencias crescem exponencialmente, enquanto o compri- mento das cordas que as produzem s˜ao inversamente proporcionais. Para determinar a melhor posi¸c˜ao entre os trastes de um viol˜ao com respeito `a pestana e ao cavalete e (lem- brando que a raz˜ao entre as notas na escala temperada valem 12
2 = 2 121 ) podemos utilizar o modelo matem´atico,
dn = d 0
2 121
)n
onde, n : ordem do traste. dn: distˆancia entre o traste de ordem n e o cavalete. d 0 : comprimento da corda solta (distˆancia entre a pestana e o cavalete). Com isso, podemos garantir, por exemplo, que o traste de ordem 12 ficar´a locali- zado exatamente na metade da corda solta e assim sucessivamente. A figura e a tabela a seguir nos ajudam a visualizar melhor estas posi¸c˜oes num viol˜ao de seis cordas.
Figura 1.9: Viol˜ao Fonte: adaptada
Estes conceitos podem ser aplicados em outros instrumentos de trastes como viola, bandolim, guitarra, cavaquinho bastando apenas conhecer o comprimento das cordas.
Figura 1.10: Posi¸c˜ao dos trastes. Fonte: Pr´opria
