Projeto algebra linear parte 3
Richard Elias Soares Viana
Junho 2024
1 Algoritmo para calcular o determinantes de
matrizes matendo apenas uma matriz e um
valor auxiliar na memoria na mem´oria
Vamos fazer isso por meio da elimina˜ao gaussiana. Seja Aa uma matriz
quadrada. Sabemos que, se BeCs˜ao matrizes quadradas tais que B C =D,
ent˜ao
Det(AB) = Det(A)Det(B).
Agora, vamos calcular o determinante de A. Por meio de opera¸c˜oes elementares,
podemos fazer elimina¸c˜ao gaussiana sobre A. A cada opera¸c˜ao que fizermos,
vamos guardar o valor do determinante da inversa da matriz elementar, que
´e a multiplica¸c˜ao dos temos de suas diagonais, e o multiplicaremos pelo nosso
ponteito, que ser´a nosso valor auxiliar, que come¸car´a com o valor 1. Desssa
forma, manteremos apenas dois valores constantemente na mem´oria. Faremos
opera¸c˜oes elementares na matriz Aat´e atingirmos uma matriz triangular inferior
U, da´ı calcularemos o determinante de U, que ser´a a multiplica¸c˜ao das entradas
de sua diagonal. O algoritmo funciona da seguinte forma
En...E2E1A=U⇔A=E−1
1E−1
2...E−1
nU⇔
⇔Det(A) = Det(E−1
1)Det(E−1
2)...Det(E−1
n)Det(U)
Observe que podemos fazer o nosso programa de maneira ainda mais simples.
Se operarmos fazendo apenas opera¸c˜oes
ln←lk+αln, n, k ∈[n] e α∈R,
nosso os valores das matrizes elementares resultar˜ao sempre em 1. Logo, basta
fazermos a elimina¸c˜ao gaussiana sobre a matriz A, e ir multiplicando nosso
ponteiro por -1 a cada permuta¸c˜ao que fizermos e obter a matriz U. Dessa
forma, o determinante da matriz Aser´a a multiplica¸c˜ao das entradas da matriz
Utriangular superior.
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