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Álgebra Linear com Aplica (10º Edição)
Tipologia: Resumos
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Não perca as partes importantes!
Disciplina: Cálculo Numérico Professora: Luciana C. L. M. Vieira (lucianaclmv@lccv.ufal.br) Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC Curso de Engenharia Civil/Química/Ambiental/Petróleo
Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes. Nas aulas anteriores, aprendemos a resolver sistemas lineares do tipo: Álgebra linear:
Quais são as soluções?
Como calcula-se esse determinante????? Mas quem é λ ????? Definição: (A – λI)x = 0
Vamos ver um exemplo ► Quais são os autovalores de A?
Vamos ver um exemplo ... Temos um polinômio! Observe que o grau do polinômio será igual à ordem da matriz. Portanto a condição nos leva a um polinômio, cujas raízes são os λ que a satisfazem. Assim, o nosso sistema linear “especial” só terá solução não trivial para alguns valores de λ. Esses valores de λ são os chamados autovalores da matriz A |A – λI| = 0
Mais definições: Problema de autovalor: A condição leva a um polinômio, denominado de polinômio característico ou equação característica da matriz A Os λ que satisfazem a condição acima (raízes do polinômio característico) são denominados de autovalores ou valores característicos da matriz A Para cada valor de λ, que satisfaz a condição acima, pode-se encontrar uma solução não trivial (x≠0). Cada solução não trivial, associada a cada λ, denomina-se autovetor. Assim, cada autovalor possui um autovetor associado. (A – λI)x = 0 |A – λI| = 0
Reforçando os conceitos: Teorema 2: Se x é um autovetor da matriz A correspondente a um autovalor λ, então kx, com k ≠ 0, também é. Vamos voltar ao último exemplo: Vimos que o polinômio característico dessa matriz é: As raízes desse polinômio são: Então, teremos solução não trivial se λ for um dos três valores mostrados acima.
Reforçando os conceitos: Vamos encontrar uma solução não trivial!! Vamos começar usando λ = λ 1
Voltando ao problema de autovalor: Usando a matriz do nosso exemplo: Substituindo λ = 7:
Reforçando os conceitos: Voltando ao teorema 2: Teorema 2: Se x é um autovetor da matriz A correspondente a um autovalor λ, então kx, com k ≠ 0, também é. Sendo assim, para λ = 7, qualquer vetor do tipo será o autovetor correspondente ao autovalor 7. Usa-se (por conveniência) fornecer o vetor unitário, já que a informação importante é a direção. Qualquer vetor de mesma direção que o encontrado será autovetor correspondente ao autovalor usado para montar o sistema de equações.
Propriedades importantes: No caso de matrizes simétricas, seus autovalores são números reais; Uma matriz positiva definida possui todos os autovalores positivos e seus autovetores ortogonais entre si; O determinante da matriz A é igual ao produto dos seus autovalores. Assim, uma matriz com autovalor nulo não é inversível; Os autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz A são linearmente independentes. Uma matriz A (nxn) é diagonalizável se e somente se tiver n autovetores linearmente independentes (todas as raízes de seu polinômio característico são reais e distintas);
Métodos que determinam o polinômio característico: Uma vez determinado o polinômio característico de A, para calcular os autovalores devemos utilizar métodos numéricos para determinação de zeros de função. Nessa classe encontram-se, entre outros, os métodos de Leverrier e Leverrier-Faddeev.
Método de Leverrier: Teorema de Newton: Seja o polinômio: cujas raízes são x 1 , x 2 , ..., x n
Seja ainda: Então: ▼ Relação entre as raízes e os coeficientes do polinômio!
Método de Leverrier: Vamos supor que o coeficiente a 0 = 1. Ficamos então com um sistema de equações com n equações e n incógnitas!
Método de Leverrier: Teorema 3: A soma dos autovalores de A é o traço de A Mas os autovalores de A são as raízes do polinômio, então: Teorema 4: Se λ é autovalor de A então λ k é autovalor de A k . Sendo assim, ▼ Opa!!! Temos uma forma de obter as somas s k , sem conhecer as raízes do polinômio!
