Cada novo movimento está relacionado com o movimento anterior da seguinte maneira: se em um movimento um jogador anda a unidades horizontalmente e b unidades verticalmente, então, em seu próximo movimento, esse jogador deve andar entre a – 1 e a + 1 unidades horizontalmente, e entre b – 1 e b + 1 unida- des verticalmente. Em outras palavras, se o segundo movimento é de c unidades horizontalmente e d unidades verticalmente, então ua 2 cu # 1 e ub 2 du # 1. (Esta é a regra da “aceleração/desaceleração”.) Note que esta regra obriga o pri- meiro movimento a ser de uma unidade verticalmente e/ou de uma unidade horizontalmente. É eliminado o jogador que colide com outro ou sai da pista. O vencedor é o pri- meiro jogador que cruza a linha de chegada. Se mais de um jogador cruzar a linha de chegada na mesma vez, aquele que ultrapassar mais a linha de chegada será o vencedor. No exemplo de jogo mostrado na figura 1.1, a vencedora foi Ana. Beto acelerou demais e teve dificuldade para fazer a curva na parte superior da pista.

Para entender a regra 3, considere o terceiro e o quarto movimentos de Ana. Em seu terceiro movimento, ela andou uma unidade horizontalmente e três unidades verticalmente. Em seu quarto movimento, as opções que ela tinha eram andar de zero a duas unidades horizontalmente e de duas a quatro unidades verticalmente. (Note que algumas dessas combinações a teriam levado para fora da pista.) Ela esco- lheu andar duas unidades em cada direção. Problema 1 Jogue alguns jogos de pista de corrida. Problema 2 Seria possível Beto vencer essa corrida escolhendo uma sequência diferente de movimentos? Problema 3 Use a notação [a, b] para denotar um movimento de a unidades ho- rizontalmente e b unidades verticalmente. (Tanto a como b podem ser negativos.)

O matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) usou conceitos de vetores em seu estudo dos números complexos e das suas generalizações, os quatérnios.

Partida Chegada A B

Figura 1. Um exemplo de jogo de pista de corrida

Capítulo 1 • Vetores 3

Se o movimento [3, 4] acabou de ser feito, desenhe no papel quadriculado todos os pontos da grade que podem ser alcançados no próximo movimento. Problema 4 Qual o efeito líquido de dois movimentos sucessivos? Em outras pa- lavras, se você andar [a, b] e depois [c, d], quanto você andará horizontalmente e verticalmente no total? Problema 5 Escreva a sequência de movimentos de Ana usando a notação [a, b]. Suponha que ela comece na origem (0, 0) dos eixos de coordenadas. Explique como você pode achar as coordenadas dos pontos da grade correspondentes a cada um dos movimentos dela, sem olhar para o papel quadriculado. Se os eixos tivessem sido tra- çados de um outro jeito, de modo que o ponto de partida de Ana fosse o ponto (2, 3), e não a origem, quais seriam as coordenadas do ponto onde ela parou?

Embora simples, esse jogo introduz várias ideias que serão úteis em nosso estudo de vetores. As três próximas seções consideram vetores dos pontos de vista geomé- trico e algébrico, começando como no jogo de pista de corrida, no plano.

A Geometria e a Álgebra de Vetores

Vetores no Plano

Começamos considerando o plano cartesiano com os conhecidos eixos x e y. Um vetor é um segmento de reta orientado que corresponde ao deslocamento de um ponto A até outro ponto B, conforme mostra a figura 1.2 a seguir. O vetor de A até B é denotado por ; dizemos que o ponto A é o ponto inicial ou origem desse vetor, e que o ponto B é o seu ponto final ou extremidade. Muitas vezes, um vetor é simplesmente denotado por uma só letra minúscula em negrito, como v. O conjunto de todos os pontos do plano corresponde ao conjunto de todos os veto- res cujos pontos iniciais coincidem com a origem O do plano cartesiano. A cada ponto A corresponde um vetor a = ; a cada vetor^ a^ com ponto inicial em^ O^ corresponde seu ponto final A. (Vetores com essa forma são às vezes chamados vetores posição.) É natural representar tais vetores usando coordenadas. Por exemplo, na figura 1.3, A = (3, 2), e escrevemos o vetor a = = [3, 2] usando colchetes. De modo análogo, os outros vetores da figura 1.3 são b 5 [ 2 1, 3] e c 5 [2, 21 ]

As coordenadas individuais (3 e 2, no caso de a ) são chamadas componentes do vetor. Às vezes nos referimos a um vetor como um par ordenado de números reais. A ordem é importante, pois, por exemplo, [3, 2] ± [2, 3]. Em geral, dois vetores são iguais se e somente se suas componentes correspondentes forem iguais. Assim, [x, y] 5 [1, 5] implica que x 5 1 e y 5 5. Muitas vezes é conveniente usar vetores coluna em vez de (ou além de) vetores linha. Outra representação de [3, 2] é. (O ponto importante é que as

y

A

B

x

Figura 1.

y

B A

C

x c

a

b

O

Figura 1.

A palavra vetor vem de um radical latino que significa “carregar”. Um vetor é formado quando um ponto é deslocado — ou “carregado” — por certa distância em certo sentido. Visto de outro modo, um vetor “carrega” duas informações: seu comprimento e seu sentido. É difícil indicar negrito quando escrevemos vetores à mão. Algu- mas pessoas preferem escrever (^) v> para representar o vetor denotado por v no texto impresso, mas na maioria dos casos é aceitável usar simplesmente a letra v minúscula. Geralmente ficará claro, pelo con- texto, se essa letra denota um vetor ou não.

A palavra componente é derivada das palavras latinas co, que signi- fica “junto”, e ponere, que significa “pôr”. Um vetor é, portanto, for- mado por suas componentes pos- tas uma junto da outra.

O plano cartesiano recebeu esse nome em homenagem ao filósofo e matemático francês René Des- cartes (1596-1650), que introduziu o conceito de coordenadas. Esse conceito permitiu que problemas geométricos fossem tratados com o uso de técnicas algébricas.

Capítulo 1 • Vetores 5

Novos Vetores a Partir de Vetores Existentes

Muitas vezes queremos colocar “um vetor depois do outro” e assim fazer um deslo- camento suceder outro, como no jogo da pista de corrida. Isso nos leva à noção de adição de vetores , a primeira das operações básicas com vetores. Se colocarmos v depois de u , poderemos visualizar o deslocamento total como um terceiro vetor, denotado por u 1 v. Na figura 1.6, u 5 [1, 2] e v 5 [2, 2], de modo que o efeito resultante de colocar v depois de u é

[1 1 2, 2 1 2] 5 [3, 4]

que representa u 1 v. Em geral, se u 5 [u 1 , u 2 ] e v 5 [v 1 , v 2 ], então sua soma u + v é o vetor

u 1 v 5 [u 1 1 v 1 , u 2 1 v 2 ]

É útil visualizar u 1 v geometricamente. A regra seguinte é a versão geométrica da discussão anterior.

x

y

A (1, 2)

B (3, 4)

[4, 2] D (6, 1)

C (2, 1)

Figura 1.

x

y

1

2

u

v

u v

3

4 u

v

Figura 1. Adição de vetores