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CAPÍTULO III
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.
CONTENIDO:
3.1 Matriz asociada a una transformación lineal.
3.2 Algebra de transformaciones lineales.
3.3 Composición de Transformaciones lineales.
3.4 Transformaciones lineales invertibles.
3.5 Teorema de equivalencias de una transformación lineal.
3.6 Isomorfismo inducido por una transformación lineal.
3.7 Cambio de base y semejanza de matrices.
3.8 Producto Interno. Definición. Teoremas de caracterización.
3.9 Norma de un Vector.
3.10 Ortogonalidad. Conjunto ortogonal y conjunto ortonormal.
3.11 Proceso de ortogonalidad de Gram Schmitdt.
3.12 Espacio Dual de un espacio vectorial.
3.13 Adjunta de una transformación lineal
3.2 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES.
Se entiende por álgebra de transformaciones lineales al trabajo realizado con las operaciones
que se pueden efectuar entre las transformaciones lineales 𝑇 𝑖
: 𝑉 → 𝑊 con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 de un
espacio vectorial de partida 𝑉 en un espacio vectorial de llegada 𝑊.
EL CONJUNTO DE TRANSFORMACIONES LINEALES ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES.
Al conjunto de todas las transformaciones lineales 𝑇 𝑖
: 𝑉 → 𝑊, siendo
y
espacios vectoriales, se le denotará por 𝐿
y se le definirá como el conjunto:
𝑖
𝑖
𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
En el conjunto de transformaciones lineales 𝐿(𝑉; 𝑊) se definen las siguientes operaciones:
i) La suma de transformaciones lineales:
1
2
1
2
1
2
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
1
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
ii) La multiplicación de un escalar por una transformación lineal:
1
1
1
𝑗
𝑗
𝑗
1
2
𝑚
𝑗
1
2
𝑚
𝑗
1
2
𝑚
𝑗
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑇.𝐿.
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑖
𝑖
𝑗
𝑖
1
1
2
2
1
1
2
2
Por lo tanto, la multiplicación de un escalar por una transformación lineal (𝑐𝑇) es una
transformación lineal en el conjunto 𝐿
Generalizando:
TEOREMA. (Generalizando) Sean
y
espacios vectoriales y sea 𝑇
𝑖
𝑊 una transformación lineal de 𝑉 en 𝑊 y sea 𝑐 ∈ 𝐾 un escalar; demuestre que la
multiplicación de un escalar por una transformación lineal 𝑐𝑇
𝑖
es una transformación lineal en
OBSERVACIÓN. Siendo la suma de transformaciones lineales (𝑇 1
2
) o (𝑇
𝑖
𝑗
) y la
multiplicación de un escalar por una transformación lineal (𝑐𝑇) o (𝑐𝑇 𝑖
) transformaciones
lineales, pueden aplicarse a ambas toda la teoría estudiada para las transformaciones lineales
en el espacio vectorial 𝐿
; que el conjunto 𝐿
es un espacio vectorial se probará
más adelante.
EJEMPLO. Sea el conjunto 𝐿
2
≤ 1
, determinar:
a) Cinco transformaciones lineales 𝑇: 𝑅
2
≤ 1
, numérelas desde 𝑇
1
hasta 𝑇
5
b) Halle las transformaciones lineales: 3 𝑇 1
1
4
5
c) Halle las transformaciones lineales: 𝑇 1
2
4
3
Solución.
a) Algunos elementos del conjunto 𝐿
2
≤ 1
son.
(i) 𝑇 1
2
≤ 1
tal que 𝑇
1
(ii) 𝑇 2
2
≤ 1
tal que 𝑇
2
(iii) 𝑇 3
2
≤ 1
tal que 𝑇
3
(iv) 𝑇
4
2
≤ 1
tal que 𝑇
4
(v) 𝑇 5
2
≤ 1
tal que 𝑇
5
b) Hallando las transformaciones lineales: 3 𝑇 1
1
4
5
(i) 𝑇(𝑎; 𝑏) = 3 𝑇
1
(ii) 𝑈
1
4
5
1
4
1
4
c) Hallando las transformaciones lineales: 𝑇 1
2
4
3
(i) 𝑇
1
2
1
2
(ii) 𝑈
4
3
4
3
4
3
PROPOSICIÓN. La matriz asociada a la transformación lineal suma, es la suma de las matrices
asociadas de cada transformación lineal. Es decir, si 𝑇 = 𝑇 1
2
𝑇 1
+𝑇 2
𝑇 1
𝑇 2
Prueba. Se debe cumplir que si 𝑇 = 𝑇 1
2
𝑇 1
+𝑇 2
𝑇 1
𝑇 2
¡Probar!
Sean
[
]
1
2
𝑛
la base de 𝑉, y
[
]
1
2
𝑚
la base 𝑊.
Siendo 𝑢 = (𝑢 1
2
𝑛
Entonces las componentes del vector serán: 𝑢 [ 𝑣
]
[
1
2
𝑛
]
, de donde
[ 𝑤
]
[ 𝑤
]
[
1
2
𝑚
]
En el espacio vectorial de llegada se tendrá:
[ 𝑤
]
1
2
[ 𝑤
]
1
2
[ 𝑤
]
1
[ 𝑤
]
2
[ 𝑤
]
1
[ 𝑤
]
2
[ 𝑤
]
[
1
2
𝑚
]
[
1
2
𝑚
]
[ 𝑤
]
1
[ 𝑤
]
2
[ 𝑤
]
o
[
1
2
𝑚
]
[
1
2
𝑚
]
[
1
2
𝑚
]
Supongamos que la matriz asociada a 𝑇 = 𝑇 1
2
es:
𝑇
𝑇 1
+𝑇 2
[
11
12
21
22
1 𝑛
2 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑖𝑗
𝑚𝑛
]
𝑚×𝑛
De modo que 𝑇(𝑢) [ 𝑤
]
𝑇
[ 𝑣
]
Como muestra se prueban dos de los axiomas.
Ley Asociativa: ∀ 𝑇 𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
) ¡Probar!
[(𝑇
𝑖
𝑗
𝑘
](𝑣) =(𝑇
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
(𝑣), ∀ 𝑣 elemento de 𝑉
𝑖
𝑗
𝑘
)(𝑣) = [𝑇
𝑖
𝑗
𝑘
)](𝑣)
[(𝑇
𝑖
𝑗
𝑘
]
= [𝑇
𝑖
𝑗
𝑘
)](𝑣) , pues 𝑣 es cualquier elemento de 𝑉
𝑖
𝑗
𝑘
𝑖
𝑗
𝑘
Ley Asociativa mixta: ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝐾 𝑦 ∀ 𝑇 𝑖
𝑖
𝑖
[
𝑖
)]
𝑖
𝑖
𝑖
[(
𝑖
](
, ∀ 𝑣 elemento de 𝑉
[𝑟
𝑖
](𝑣) = [
𝑖
]
, ∀ 𝑣 elemento de 𝑉
𝑖
𝑖
NOTA: La prueba de los otros axiomas queda como ejercicio para el lector.
EJEMPLO 1. En el espacio vectorial de las transformaciones lineales 𝐿
2
2 × 2
sean las
transformaciones lineales (vectores) 𝑇 1
2
2 × 2
definida por 𝑇
1
= [
] y
2
2
2 × 2
definida por 𝑇
2
= [
]
a) Escriba cinco vectores más del espacio vectorial 𝐿
2
2 × 2
b) Hallar una base para el espacio vectorial 𝐿
2
2 × 2
. Indicar la dimensión.
c) Escriba 𝑇
3
2
2 × 2
definida por 𝑇
3
(𝑎; 𝑏) = [
] en combinación lineal de
dicha base.
d) Muestre un subespacio vectorial 𝑊 del espacio vectorial 𝐿(𝑅
2
2 × 2
Solución.
a) Escribamos cinco vectores más del espacio vectorial 𝐿
2
2 × 2
4
2
2 × 2
definida por 𝑇
4
(𝑎; 𝑏) = [
]
5
2
2 × 2
definida por 𝑇
5
(𝑎; 𝑏) = [
]
6
2
2 × 2
definida por 𝑇
6
(𝑎; 𝑏) = [
]
7
2
2 × 2
definida por 𝑇
7
= [
]
8
2
2 × 2
definida por 𝑇
8
= [
]
b) Hallar una base para el espacio vectorial 𝐿
2
2 × 2
. Indicar la dimensión.
Como la 𝐷𝑖𝑚
2
= 2 y la 𝐷𝑖𝑚
2 × 2
2
2 × 2
= 4 × 2 = 8
Una base será de la forma: 𝐵 = {𝑇 1
2
3
4
5
6
7
8
}, estará formada por
transformaciones lineales.
1
(𝑎; 𝑏) = [
] ; 𝑇
2
(𝑎; 𝑏) = [
]; … ; 𝑇
8
(𝑎; 𝑏) = [
]
𝐵 = {[
] , [
] , [
] , [
] , [
] , [
] , [
] , [
]}
Hallar otra base:
c) Escribiendo 𝑇 3
2
2 × 2
definida por 𝑇
3
[
]
en combinación lineal
de dicha base anterior.
[
]
[
]
[
]
1
[
𝑎 0
0 0
] + 𝑐
2
[
0 𝑎
0 0
] + 𝑐
3
[
0 0
𝑎 0
] + 𝑐
4
[
0 0
0 𝑎
]+𝑐
5
[
𝑏 0
0 0
] + 𝑐
6
[
0 𝑏
0 0
] + 𝑐
7
[
0 0
𝑏 0
] + 𝑐
8
[
0 0
0 𝑏
]
= 3 [
𝑎 0
0 0
] + 1 [
0 𝑎
0 0
] + 1 [
0 0
𝑎 0
] + 0 [
0 0
0 𝑎
]+ 0 [
𝑏 0
0 0
] + 1 [
0 𝑏
0 0
] − 1 [
0 0
𝑏 0
] + 2 [
0 0
0 𝑏
]
d) Un subespacio de 𝐿
2
2 × 2
Primero, recordando que:
Una base de 𝑅
2
es: 𝐵
𝑅
2
Un subespacio de 𝑅
2
es:
1
2
2
3
2
2
2
3
Una base del subespacio 𝑊 1
es: 𝐵
𝑊
1
2
3
1
Base de 𝑀 2 × 2
es 𝐵
𝑀 2 × 2
{[
]
[
]
[
]
[
]}
2 × 2
Un subespacio de 𝑀 2 × 2
es 𝑊
2
= {[
] ∈ 𝑀
2 × 2
⁄𝑏 = 𝑐, 𝑑 = 0 } = {[
] ∈ 𝑀
2 × 2
Recordar: 𝑅
3
3 × 1
≤ 2
2
2 × 1
≤ 1
son espacios isomorfos.
a) Hallando la transformación lineal suma:
1
2
[
] = 𝑇
1
[
] + 𝑇
2
[
] = [
] + [
] = [
]
[
]
[
] [
]
Entonces, La transformación lineal suma será: 𝑆 = (𝑇 1
2
) [
] = [
]
La matriz asociada a 𝑇 1
2
con respecto a las bases canónicas será dada por:
𝑇 1
+𝑇 2
= [
]
2 × 3
b) La matriz asociada de cada transformación lineal respecto a las bases canónicas de cada
espacio son:
Para 𝑇 1
[
] = [
] = [
]=[
] [
] 𝐴
𝑇
1
= [
] y
Para 𝑇 2
[
]
[
]
[
]
[
] [
]
𝑇
2
[
]
Luego, la matriz asociada de la suma de transformaciones lineales 𝑇 1
2
será la suma de
ambas matrices: 𝐴 𝑇
1
𝑇
2
= [
] + [
] = [
]
2 × 3
𝑇
1
+𝑇
2
Por lo tanto se tiene que: 𝐴 𝑇
1
+𝑇
2
𝑇
1
𝑇
2
EJEMPLO 3. En el espacio vectorial de las transformaciones lineales 𝐿
3
3
, sea la
transformación lineal 𝑇: 𝑅
3
3
tal que 𝑇 [
] = [
]
a) Hallar la transformación lineal 𝑀 =
1
2
𝑇 y su matriz asociada.
b) Muestre que la matriz asociada de la transformación lineal 𝑀 =
1
2
𝑇 (multiplicación de un
escalar por 𝑇), es el producto del escalar por la matriz asociada de la transformación lineal 𝑇.
Solución.
a) Hallando la transformación lineal producto de un escalar por la T. L.
1
2
1
2
[
]
1
2
[
]
[
3
2
5
2
9
2
]
Entonces la transformación lineal producto por un escalar será:
1
2
[
3
2
5
2
9
2
]
[
3
2
5
2
9
2
]
[
]
La matriz asociada de la “multiplicación de un escalar por la transformación lineal” con
respecto a la base canónica es: 𝐴 𝑀
2
𝑇
[
3
2
5
2
9
2
]
b) La matriz asociada de la transformación lineal respecto a las bases canónicas de cada
espacio es:
Dado que: 𝑇 [
] = [
]=[
] [
] 𝐴
𝑇
= [
].
Luego, la matriz asociada del “producto por un escalar” es:
2
𝑇
1
2
𝑇
1
2
) [
] =
[
3
2
5
2
9
2
]
EJEMPLO 4. En el espacio vectorial de las transformaciones lineales 𝐿
3
≤ 2
sean las
transformaciones lineales 𝑇 1
3
≤ 2
definida por 𝑇
1
[
] = 𝑎 + 2 𝑏𝑥 + 3 𝑐𝑥
2
y 𝑇
2
3
≤ 2
definida por 𝑇 2
[
] = 𝑎 − 𝑏𝑥 − 2 𝑐𝑥
2
; considerando las bases [𝑣] = {[
] , [
] , [
]} de 𝑅
3
y
[𝑤] = { 3 + 𝑥; 𝑥 − 𝑥
2
2
} de 𝑃
≤ 2
a) Hallar la transformación lineal suma 𝑇 1
2
y su matriz asociada 𝐴
𝑇
1
+𝑇
2
b) Muestre que la matriz asociada a la transformación lineal suma, es la suma de las matrices
asociadas de cada transformación lineal.
c) Hallar la transformación lineal 𝑀 = ( 0 , 8 )𝑇 1
y una matriz asociada.
31
21
31
21
11
21
31
, son los coeficientes.
1
[
]= 1 + 3 𝑥
2
12
22
2
32
2
12
12
22
22
2
32
32
2
12
32
12
22
22
32
2
2
12
32
12
22
22
32
2
12
32
12
22
22
32
12
32
12
22
22
32
32
22
32
22
32
22
32
22
12
22
32
, son los coeficientes.
1
[
]
2
13
23
2
33
2
13
13
23
23
2
33
33
2
13
33
13
23
23
33
2
2
13
13
23
23
33
2
13
33
13
23
23
33
13
33
13
23
23
33
33
23
33
23
33
23
33
23
13
23
33
, son los coeficientes.
Por lo tanto, la matriz asociada a 𝑇 1
[
] = 𝑎 + 2 𝑏𝑥 + 3 𝑐𝑥
2
será: 𝐴
𝑇
1
= [
]
ii) Hallando la matriz asociada de 𝑇 2
[
] = 𝑎 − 𝑏𝑥 − 2 𝑐𝑥
2
𝑇
2
= [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
3 × 3
Siendo {[
] , [
] , [
]} la base de 𝑅
3
y { 3 + 𝑥; 𝑥 − 𝑥
2
2
} la base de 𝑃
≤ 2
; se escribe cada
imagen del vector de la base de partida en términos de la base del espacio de llegada, para
determinar los coeficientes elementos de la matriz asociada.
2
[
]= 1 − 𝑥 = 𝑎
11
21
2
31
2
11
11
21
21
2
31
31
2
11
31
11
21
21
31
2
11
31
11
21
21
31
2
11
31
11
21
21
31
11
31
11
21
21
31
31
21
31
21
31
21
31
21
11
21
31
, son los coeficientes.
2
[
]= 1 − 2 𝑥
2
12
22
2
3
2
12
12
22
22
2
32
32
2
12
32
12
22
22
32
2
2
12
32
12
22
22
32
2
12
32
12
22
22
32
12
32
12
22
22
32
32
22
32
22
32
22
32
22
12
22
32
, son los coeficientes.
2
[
]=−𝑥 − 2 𝑥
2
13
23
2
33
2
13
13
23
23
2
33
33
2
13
33
13
23
23
33
2
2
13
13
23
23
33
2
13
33
13
23
23
33
13
33
13
23
23
33
33
23
33
23
33
23
33
23
13
23
33
, son los coeficientes.
13
33
13
23
23
33
2
2
13
13
23
23
33
2
13
33
13
23
23
33
13
33
13
23
23
33
33
23
33
23
33
23
33
23
13
23
33
, son los coeficientes.
Por lo tanto, la matriz asociada a la transformación lineal suma será:
1
2
) [
] = 2 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
2
, será: 𝐴
𝑇
1
+𝑇
2
= [
]
iv) Comprobando que se cumple: 𝐴 𝑆
𝑇
1
+𝑇
2
𝑇
1
𝑇
2
[
] = [
] + [
]
Nota. Se puede generalizar para la suma de 𝑖 transformaciones lineales 𝑇 1
2
𝑖
que
la matriz asociada será la suma de las 𝑖 matrices asociadas de cada transformación lineal:
𝑇
1
+𝑇
2
+⋯+𝑇
𝑖
𝑇
1
𝑇
2
𝑇
𝑖
c) Hallar la transformación lineal 𝑀 = ( 0 , 8 )𝑇
1
y una matriz asociada.
Ejercicio. 𝑇 1
[
] = 𝑎 + 2 𝑏𝑥 + 3 𝑐𝑥
2
( 0 , 8 )𝑇
1
= [
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
3 × 3
Siendo: 𝑀 [
] = 0 , 8 𝑇
1
2
Siendo
{[
]
[
]
[
]}
la base de 𝑅
3
y
2
2
la base de 𝑃
≤ 2
; se escribe cada
imagen del vector de la base de partida en términos de la base del espacio de llegada, para
determinar los coeficientes elementos de la matriz asociada.
𝑀 [
] = 0 , 8 + 1 , 6 𝑥 = 𝑎
11
21
2
31
2
𝑀 [
] = 0 , 8 + 2 , 4 𝑥
2
12
22
2
32
2
𝑀 [
] = 1 , 6 𝑥 + 2 , 4 𝑥
2
13
23
2
33
2
De aquí, como se desarrolló en (a) se tiene: 𝐴 𝑇
1
= [
]
Entonces: 𝐴
( 0 , 8 )𝑇 1
= [
]
d) Muestre que la matriz asociada de la transformación lineal 𝑀 = ( 0 , 8 )𝑇 1
(multiplicación de
un escalar por 𝑇 1
), es el producto del escalar por la matriz asociada de la transformación
lineal.
La matriz para 𝑀 será: 𝑀 [
] = ( 0 , 8 )𝑇
1
[
] = ( 0 , 8 )(𝑎 + 2 𝑏𝑥 + 3 𝑐𝑥
2
𝑀 [
] = 0 , 8 𝑎 + 1 , 6 𝑏𝑥 + 2 , 4 𝑐𝑥
2
Por lo tanto, la matriz asociada a 𝑀
[
]
2
será:
( 0 , 8 )𝑇 1
𝑇 1
[
]
𝑀
( 0 , 8 )𝑇 1
[
]
EJEMPLO 5. Sea el espacio vectorial 𝐿
2
≤ 2
a) Escribir cinco elementos de 𝐿
2
≤ 2
b) Hallar bases de 𝐿
2
≤ 2
c) Hallar subespacios de 𝐿
2
≤ 2
d) Hallar nucleo de algunas T. L.
e) Hallar imagen de algunas T. L.
Solución.
a) Algunos elementos de 𝐿(𝑅
2
≤ 2
) serán transformaciones lineales de la forma: 𝑇
𝑖
2
≤ 2
2
2
≤ 2
3
2
≤ 2
2
4
2
≤ 2
5
2
≤ 2
2
6
2
≤ 2
2
7
2
≤ 2
2
La dimensión de 𝐿(𝑅
2
≤ 2
) es 3 × 2 = 6
EJERCICIO. (Del ejemplo anterior) Sean las transformaciones lineales 𝑇 1
3
≤ 2
definida
por 𝑇 1
[
]
2
y 𝑇
2
3
≤ 2
definida por 𝑇
2
[
]
2
considerando las bases canónicas de cada espacio vectorial, determinar:
a) Hallar la transformación lineal suma 𝑇
1
2
y su matriz asociada 𝐴
𝑇 1
+𝑇 2
b) Muestre que la matriz asociada a la transformación lineal suma, es la suma de las matrices
asociadas de cada transformación lineal.
c) Hallar la transformación lineal 𝑀 =
1
2
1
y una matriz asociada.
d) Muestre que la matriz asociada de la transformación lineal 𝑀 =
1
2
1
(multiplicación de un
escalar por 𝑇), es el producto del escalar por la matriz asociada de la transformación lineal.
e) Muestre una base del espacio vectorial 𝐿
3
≤ 2
f) Muestre un subespacio vectorial, un base y su dimensión.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
SOBRE ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES.
1. En el espacio vectorial de las transformaciones lineales 𝐿(𝑅
3
2
) sean las
transformaciones lineales (vectores) 𝑇
1
3
2
definida por 𝑇
1
y 𝑇
2
3
2
definida por 𝑇
2
a) ¿Podría ser 𝑈
1
2
3
4
5
6
una base para 𝐿
3
2
Muestre otra base de 𝐿(𝑅
3
2
b) Escriba 𝑇
7
3
2
definida por 𝑇
7
en
combinación lineal de dicha base.
c) El conjunto 𝑊
1
3
2
) dado por 𝑊
1
3
2
¿será un subespacio vectorial de 𝐿
3
2
Muestre otro subespacio vectorial 𝑊
2
del espacio vectorial 𝐿
3
2
Muestre una base de este subespacio 𝑊
2
2. Sean 𝑇
1
3
2
y 𝑇
2
2
3
tal que 𝑇
1
(𝑥; 𝑦) = (𝑦; 𝑥 − 𝑧; 2 𝑦) y 𝑇
2
(𝑥; 𝑧 − 𝑥; 𝑥 + 𝑦), hallar las transformaciones lineales: 𝑇 = 𝑇
1
2
y 𝑈 = 3 𝑇
1
2
3. Sean 𝑇
1
2
≤ 1
tal que 𝑇
1
𝑥; y, 𝑇
2
2
≤ 1
tal que
2
+ 3 𝑎𝑥, dos transformaciones lineales.
a) Hallar las matrices asociadas a 𝑇
1
y a 𝑇
2
, 𝐴 y 𝐵 respectivamente, respecto a las
bases canónicas de ambos espacios vectoriales.
b) Hallar 𝑇 = 𝑇
1
2
c) Hallar la matriz 𝐶 asociada a 𝑇 = 𝑇
1
2
respecto a las bases canónicas.
d) Compruebe que 𝐶 = 𝐴 − 𝐵
4. Sean dos transformaciones lineales 𝑇
1
3
2
y 𝑇
2
3
2
tal que 𝑇
1
(𝑧 − 2 𝑥; 𝑥 + 𝑦 − 𝑧) y 𝑇
2
(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 + 2 𝑥; 𝑥 − 2 𝑦 − 𝑧) y las bases [𝑣] =
de 𝑅
3
y
[
]
de 𝑅
2
a) Encuentre la matriz 𝐴 asociada a 𝑇
1
referidas ambas a las bases
[
]
y
[
]
b) Encuentre la matriz 𝐵 asociada a 𝑇
2
referidas ambas a las bases
[
]
y
[
]
c) Encuentre 𝑇
1
2
y su matriz asociada 𝐶 respecto a las bases [𝑣] y [𝑤].
d) Compruebe que 𝐶 = 𝐴 + 𝐵
e) Encuentre 𝑘𝑇
1
y su matriz asociada 𝐷 respecto a las bases
[
]
y
[
]
f) Compruebe que 𝐷 = 𝑘𝐴
5. Probar la PROPOSICIÓN. Sean
y
espacios vectoriales y sean
1
2
𝑟
transformaciones lineales de 𝑉 en 𝑊; demuestre que la suma de
transformaciones lineales dada por 𝑇
1
2
𝑟
es una transformación lineal en
