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Capítulo 2
Sistemas de Equações Lineares
2.1 Introdução
Sistemas de equações são ferramentas de grande utilidade na matemática e outras áreas da
ciência. Este capítulo, é dedicado ao estudo de sistemas de equações lineares, que constituem
uma base muito forte para o estudo da Álgebra Lienar e Geometria Analítica.
2.2 Noção de sistema de duas equações lineares a duas
incógnitas
Para estudar sistemas de duas equações e duas incógnitas é preciso saber o que é uma equação
linear. Uma equação linear com duas incógnitas x e y é uma igualdade de expressões algébricas
da forma
ax + by = c, (2.1)
onde a, b, c ∈ R. Sua solução é um par ordenado (x, y) = (x 0 , y 0 ) tal que ax 0 + by 0 = c, e nesse
caso diz-se que (x 0 , y 0 ) satisfaz a equação.
Um sistema de duas equações lineares e duas incógnitas é um conjunto de duas equações da
forma (2.1), isto é, {
a 11 x + a 12 y = b 1
a 21 x + a 22 y = b 2
A solução do sistema (2.2) é um par ordenado (x 0 , y 0 ) que satisfaz as duas equações, simulta-
neamente.
De uma forma abreviada, os sistemas do tipo (2.2) são chamados sistemas lineares 2 × 2 (dois
por dois).
Exemplo 2.1 Considere-se o sistema linear 2 × 2 dado por
x + y = 3
2 x + y = 5
esse sistema pode ser resolvido, isolando uma variável ( x ou y) na primeira ou na segunda
equação e substituir seu valor noutra equação, e desta forma, resolve-se uma equação linear
de uma só variável e substitui seu valor noutra (onde isolou-se outra variável). Aplicando esse
procedimento, tem-se: 1. Isolando y na primeira equação obtém-se:
y = 3 − x
- Substituindo o y da segunda equação por 3 − x obtém-se
2 x + (3 − x) = 5 ⇔ x + 3 = 5 ⇔ x = 2.
- Como já é conhecido o valor de x, então calcula-se o y usando a igualdade y = 3 − x e
poranto, y = 3 − 2 = 1. Desta forma, a solução do sistema é (2, 1).
2.3 Generalização de um sistema de equações lineares
Nesta secção, considera-se sistema de m equações lineares com n variáveis, tais sistemas têm a
seguinte forma padrão:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 nxn = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 nxn = b 3
am 1 x 1 + am 2 x 2 + am 3 x 3 + ... + amnxn = bm
onde os aij , bi são números reais.
O sistema (2.3) diz-se:
- homogêneo, quando todos os bi são iguais ao zero;
- quadrado, quando m = n.
O sistema de equações em estudo, está associado a três matrizes, que são:
- Matriz dos coe cientes, que denota-se por A, desta forma,
A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n
a 21 a 22 a 23... a 2 n
a 31 a 32 a 33... a 3 n
.......
am 1 am 2 am 3... amn
- Matriz dos termos independentes, que denota-se por B, desta forma,
B =
b 1
b 2
b 3
.
.
bm
Multiplicando a primeira linha por um número k não nulo, obtém-se o sistema
kx + ky = 3k
2 x + y = 5
na equação 2 x + y = 5 pode ser isolado o y e obter y = 5 − 2 x. Substituindo na primeira
equação, tem-se kx + k(5 − 2 x) = 3k ⇔ −kx = − 2 k ⇔ x = 2, e com isso, y = 1. Como se vê,
a solução do novo sistema coincide com a solução do sistema antigo.
Doutro lado, pode-se obter um novo sistema com a mesma primeira equação, e a segunda
obtida multiplicando a primeira equação do sistema antigo por − 1 e somar a segunda equação.
O sistema resultante é o seguinte sistema:
x + y = 3
x = 2
de onde vê-se que a solução é (2, 1), mesma solução obtida no sistema original.
De nição 2.1 Dois sistemas de equações lineares que possuem mesmas soluções são chamados
sistemas equivalentes.
Portanto, aplicando uma série de operações elemantares num sistema de equações, obtém-se
um sistema de equações equivalente ao sistema original.
2.4 Existência e unicidade de soluções de sistemas lineares
Dado o sistema de equações lineares (2.3), três situações podem ter lugar.
- O sistema pode não ter nenhuma solução. Nesta situação atribui-se o nome de sistema
inconsistente ou impossível ;
- O sistema pode ter uma e única solução. Nesta situação diz-se que o sistema é possível
determinado.
- O sistema pode ter uma in nidade de soluções. Nesta situação, diz-se que o sistema é
possível indeterminado.
De nição 2.2 O posto de uma matriz A, denotado por pos(A), é igual ao número de pivôs
numa forma escalonada de A.
Proposição 2.1 Considere o sistema linear AX = B, onde A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm× 1 (R),
considere também a matriz aumentada [A|B]. As seguintes a smações são válidas:
- O sistema possui alguma solução se, e somente se, pos(A) = pos([A|B]);
- A solução do sistema é única se, e somente se, pos(A) = pos([A|B]) = n;
- O sistema é impossível caso pos(A) < pos([A|B]).
Exemplo 2.3 Considere o sistema
x + 2y − z = 1
−x − y + 2z = 0
x + y + 2z = 1
As matrizes associadas são:
A =
; B =
; [A|B] =
Determinando o posto da matriz aulentada [A|B] encontra-se automaticamente o posto da
matriz A.
[A|B] =
L 2 = l 1 + l 2
L 3 = l 1 − l 3
∼ L
3 =^ l 2 −l 3 ∼
Observa-se que pos(A) = pos([A|B]) = 3. Nesta situação, o sistema é possível determinado.
Exemplo 2.
x + 2y − z = 1
−x − y + 2z = 2
2 x + 4y − 2 z = 1
[A|B] =
L 2 = l 1 + l 2
L 3 = − 2 l 1 + l 3
Nesta situação, observe que pos(A) = 2 < pos([A|B]) = 3. Por isso, o sistema é impossível.
Exemplo 2.
x + 2y − z = 1
−x − y + 2z = 0
2 x + 4y − 2 z = 2
[A|B] =
L 2 = l 1 + l 2
L 3 = − 2 l 1 + l 3
Agora observe que pos(A) = pos([A|B]) = 2 < n = 3. Portanto, o sistema é possível indeter-
minado, possui uma in nidade de soluções.
2.4.1 Exercícios
- Classi que cada um dos seguintes sistemas em possível determinado, possível indeterminado
ou impossível.
a)
x + y + z = 3
x − y + 2z = 1
x − y − z = 2
b)
x + y − z + w = 1
x − y + z − w = 0
x + 2y − z = 1
x − y − 2 z = 1
c)
x + y + z + w = 1
x − y + z = 0
y + 2z = 1
2 x + y + 4z = 2
d)
x + y + 2z + w = 1
y + 3z + 3w = 2
−x + z + 2w = 1
2 x + y + z − w = 0
e)
2 x + y + 3z − w = 1
4 x − y + 7z − 7 w = − 5
x + 2y + z + 2w = 3
