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Álgebra Linear

Espaço Vetorial

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello

cabm@cin.ufpe.br

Espaço Vetorial

Prof. Carlos Alexandre Mello

cabm@cin.ufpe.br

Espaços Vetoriais

Definição:

Um

espaço vetorial

real

é um conjunto

V

,

não vazio, com duas operações: soma,

V

X

V

→

V

, e

multiplicação por escalar, R X

V

→

V

, tais que, para

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cabm@cin.ufpe.br

multiplicação por escalar, R X

V

→

V

, tais que, para

quaisquer

u

, v

,

w

∈

V

e a, b

∈

R, as seguintes

propriedades sejam satisfeitas:

Espaços Vetoriais

Designamos por

vetor

um elemento do espaço

vetorial

Espaço vetorial é um termo genérico que pode serdesignado para representar diferentes tipos de conjuntos

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conjuntos

Exemplo:

V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x

V é um espaço vetorial

Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição éentendida como a adição de matrizes

Espaços Vetoriais

Exemplo:

V = M(2, 2) - Prova

Axioma 1:

(

u

v

) +

w

=

u

• (

v

w

)

(

)

(

)

(

)

w

v

u

12

11

12

12

11

11

22

21

12

11

22

21

12

11

22

21

12

11

w w v u v u

w

w

w

w

v

v

v

v

u

u

u

u Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello

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5

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) w

v

u

22

21

12

11

22

21

12

11

22

21

12

11

22

22

21

21

12

12

11

11

22

21

12

11

22

22

22

21

21

21

12

12

12

11

11

11

22

22

22

21

21

21

12

12

12

11

11

11

22

21

12

11

22

22

21

21

12

12

11

11

w

w

w

w

v

v

v

v

u

u

u

u

w

v

w

v

w v w v u u

u

u

w v u w v u w v u w v u w v u w v u

w v u w v u

w

w

w w v u v u

v

u

v

u

Espaços Vetoriais

Exemplo:

V = M(2, 2) - Prova

Axioma 3:

Existe um elemento

^0

em V, chamado um

vetor nulo

para V, tal que

u

^0

=

u

para todo

u

em V.

Então, . 0

Seja

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u

u

u

22

21

12

11

22

21

12

11

Então, . 0

Seja

u

u

u

u

u

u

u

u

V

Espaços Vetoriais

Exemplo:

V = M(2, 2) - Prova

Axioma 4:

Para todo

u

em V, há um objeto

u

em V, chamado um

oposto ou negativo ou simétrico

de

u

, tal que

u

• (-

u

) =

^0

u

Então, .

Seja

12

11

u

u

u

u

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(

)

u

u

u

22

22

21

21

12

12

11

11

22

22

21

21

12

12

11

11

22

21

12

11

22

21

12

11 22

21

u

u

u

u

u u u u u u u u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

V

u

u

Espaços Vetoriais

Exemplo:

V = M(2, 2) - Prova

Axioma 6:

( k

l^

)

u

=

k

u

l^

u

(

)

(

)

u

u

u

u u l k l k

22

21

12

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(

)

(

)

(

)

(

)

u

u

l k u l u l

u l u l u k u k

u k

u k

u l u k u l u k u l u k u l u k u l k u l k

u l k u l k

u

u

22

21

12

11

22

21

12

11

22

22

21

21

12

12

11

11

22

21

12

11

22

21

Espaços Vetoriais

Exemplo:

V = M(2, 2) - Prova

Axioma 7:

k

(

l^

u

) = (

k l

) (

u

)

(

) u

u

u

u u l k l k

22

21

12

11

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(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

u l k

u

u

u

u

l k

u l k u l k u l k u l k u l k u l k

u l k u l k u l u l

u l

u l

k

22

21

12

11

22

21

12

11

22

21

12

11

22

21

12

11

Espaços Vetoriais

Contra-Exemplo:

Um conjunto que

não

é um

espaço vetorial:

Seja

u

u1, v

) e

v

u2, v

Seja V = R

2

e adição e multiplicação definidas como:

u

v

= (

u1 + u2, v1 + v

)

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u

v

= (

u1 + u2, v1 + v

)

k.

u

= (

ku1, 0

)

Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:

1

u

=

^1

( u1, u

) = (

u1, 0

)^

≠

u

Logo V não é um espaço vetorial

Subespaços Vetoriais

Definição:

Dado um espaço vetorial V, um

subconjunto

W

, não vazio, será um

subespaço

vetorial

de

V

se:

i) Para quaisquer

u

,^

v

W

, tivermos

u

v

W

ii) Para quaisquer

a

R,

u

W

, tivermos

a

u

W

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Subespaços Vetoriais

Observações:

2) Qualquer subespaço

W

de

V

precisa necessariamente

conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) dadefinição quando a = 0)

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3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, doissubespaços (que são chamados de subespaços triviais):

O conjunto formado apenas pelo vetor nulo

O próprio espaço vetorial

Subespaços Vetoriais

Exemplo 1:

V

= R

3

e

W

⊂

V

, um plano passando pela

origem

W

Observe que, se

W

não passasse

pela origem, não seria um subespaço

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W

pela origem, não seria um subespaço Os únicos subespaços de R

3

são a

origem, as retas e planos que passampela origem e o próprio R

3

Subespaços Vetoriais

Teorema:

Interseção de subespaços

Dados

W

1

e

W

2

subespaços de um espaço vetorial

V

, a interseção

W

1

∩∩∩∩

W

2

ainda é um subespaço de

V

• Observe que

W

1

∩

W

2

nunca é vazio já que eles sempre

contêm, pelo menos, o vetor nulo

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contêm, pelo menos, o vetor nulo

Exemplo 1:

V = R

3

,

W

1

∩∩∩∩

W

2

é a reta de

interseção dos planos

W

1

e

W

2

W

1

W

2

Subespaços Vetoriais

Embora a interseção gere um subespaçovetorial, isso necessariamente não acontececom a união

Teorema:

Soma de subespaços

Sejam

W

1

e

W

2

subespaços de um espaço vetorial

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Sejam

W

1

e

W

2

subespaços de um espaço vetorial

V

. Então o conjunto •^

W

1

W

2

=

{v

∈

V

;^

v

=

w

1

+ w

2 ,^

w

1 ∈

W

1 ,^

w

2 ∈

W

2 }

é subespaço de

V

Exemplo 1:

Se

W

1

e

W

2

são duas retas,

W =

W

1

+W

2

é o plano que contém as retas