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C AP. V – AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS
M ÍNIMOS Q UADRADOS
No capítulo anterior estudamos uma forma de lidar com funções matemáticas
definidas por tabelas de valores.
Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em dados experimentais,
contendo erros inerentes aos métodos de medição utilizado.
Como os valores não são exactos, muitas vezes não é razoável recorrer à
interpolação polinomial, ou seja, exigir que a função aproximante satisfaça
exactamente os dados disponíveis.
Assim, em vez de recorrermos a um polinómio que passe exactamente por
todos os pontos, fazemos passar uma função aproximante g(x) , o mais
próximo possível dos pontos.
Consideremos uma série de pontos (x (^) i , y (^) i ), i=1, ..., n onde cada y (^) i foi obtido
experimentalmente e aproxima o valor de uma função no ponto x (^) i , isto é,
y (^) i ≅ f(xi ).
Estes valores podem ser representados por um gráfico cartesiano formando
um diagrama de dispersão.
EXEMPLO 1:
Construir o diagrama de dispersão da seguinte tabela:
x (^) i 1.3 3.4 5.1 6.8 8.
y (^) i 2.0 5.2 3.8 6.1 5.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10
Objectivo: procurar a curva y = g(x) que melhor se ajusta, num dado
sentido, ao diagrama anterior.
TIPOS DE AJUSTAMENTOS :
Ajustamento linear simples;
Ajustamento linear múltiplo.
ESCOLHA DA MELHOR RECTA :
Consideremos a soma dos quadrados dos desvios de todos os n pontos :
=
n
i 1
2 D di
Medida do desvio total dos pontos à recta estimada
Esta medida depende da recta considerada:
Pretendemos então os valores dos coeficientes de β 0 e β 1 que minimizam
D ( β 0 ,β 1 ), ou seja, o valor mínimo de D ( β 0 ,β 1 ).
Para tal, temos de derivar D ( β 0 ,β 1 ) em relação a β 0 e β 1 e resolver as
equações normais (igualar as derivadas parciais a zero):
=
=
2.(y β β.x).x 0
Dβ, β
2.(y β β.x) 0
Dβ , β
i
n
i 1
i 0 1 i 1
0 1
n
i 1
i 0 1 i 0
0 1
= = =
n
i 1
2 i 0 1 i
n
i 1
2 i i
n
i 1
2 D β 0 ,β 1 di y y ˆ (y (β β .x ))
- Os valores de b 0 e b (^) 1, para os quais D ( β (^) 0 ,β 1 ) apresenta um valor
mínimo são obtidos pela resolução do sistema (equações normais):
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
= = =
= =
=
=
n
i 1
i
n
i 1
i
n
i 1
2 0 i 1 i
n
i 1
i
n
i 1
0 1 i
n
i 1
2 i i 0 i 1 i
n
i 1
i 0 1 i
b x b x y.x
nb b x y
2 (y.x b .x b.x ) 0
2 (y b b.x) 0
Em notação matricial,
y.x
y
b
b
x x
n x
i
n
i 1
i
n
i 1
i
1
0
n
i 1
2 i
n
i 1
i
n
i 1
i
∑
∑
∑ ∑
∑
=
=
= =
=
Resolvendo o sistema, obtemos:
n
y ( x ).b
b
n. x ( x )
n. x .y x. y
b
n
i 1
1
n
i 1
i i
0 n
i 1
2
n
i 1
i
2 i
n
i 1
n
i 1
n
i 1
i i i i
1
= =
= =
= = =
Como este método consiste em achar o mínimo de uma função quadrática, é
conhecido como o método dos mínimos quadrados.
Q Q UUAALLIIDDAADDEE DDOO AA JUJUSSTTEE ::
¾ ¾ CC OEOEFFIICCIIEENNTTEE DDEE DD ETETEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO
Para simplicar a notação, o símbolo ∑
=
n
i 1
será trocado por ∑ , sempre que
fôr conveniente.
O coeficiente de determinação é dado por:
Quanto mais próximo o coeficiente de determinação estiver de 1, melhor será
o ajuste.
¾ ¾ RR ESESÍÍDDUUOOSS
Outra maneira de verificar a adequação do modelo é comparar cada valor
observado y (^) i com o respectivo valor predito yˆ (^) i .À diferença entre estes dois
valores chama-se resíduo :
r (^) i =yi-yˆi,∀i
onde yˆ (^) i é dado pela equação y (^) i =b (^) 0+b (^) 1.x (^) i.
Quando b 0 e b 1 são estimadores dos mínimos quadrados, então os desvios d (^) i
são idênticos aos resíduos ri.
sendo 0 R 1
2
(^2222)
2
2
i i i i
i i i i
y
n
x y
n
x
x y
n
xy
R
5.2 A JUSTE LINEAR MÚLTIPLO
Uma maneira de relacionar uma variável dependente y com p variáveis
independentes é:
y = β 0 + β 1 x 1 + β2x 2 + ... + βpx (^) p
onde β 0 , β 1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.
Para n pontos, temos o sistema:
Na forma matricial:
Considerando a soma dos quadrados dos desvios de todos os n pontos
pretende-se minimizar D( β (^) 0 ,β 1 , β 2 ,..., β p).
n 0 1 1n 2 2n p pn
2 0 1 12 2 22 p p
1 0 1 11 2 21 p p
y β β .x β .x ... β .x
y β β .x β .x ... β .x
y β β .x β .x ... β .x
⇔ = β
β
β
β
Y X.
1 x x x
1 x x x
1 x x x
y
y
y
p
1
0
1 n 2 n pn
12 22 p 2
11 21 p 1
n
2
1
∑ ∑^ (^ ˆ^ )^ ∑ β β β β ,
= = =
n
i 1
2 i 0 1 1i 2 2i p pi
n
i 1
2 i i
n
i 1
2 D di y y (y ( .x .x ... .x ))
¾ CC OEOEFFIICCIIEENNTTEE DDEE DD ETETEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO
¾ RR ESESÍÍDDUUOOSS
Para se calcular os resíduos no ajuste linear múltiplo utiliza-se a equação dos
resíduos para o ajuste linear simples. Contudo, é dado pela equação
anterior.
i 0 1 1i 2 2i p pi
(^22)
2 2
onde yˆ b b.x b .x ... b .x
i i
i i
y n
y
y y R
yˆ i
EXEMPLO 2 :
Ajustar os pontos da tabela à equação y = b 0 + b 1 x 1 + b (^) 2x 2 e determinar o
coeficiente de determinação:
x (^) 1i -1 0 1 2 4 5 5 6
x (^) 2i -2 -1 0 1 1 2 3 4
y (^) i 13 11 9 4 11 9 1 -
Tabela auxiliar:
x (^) 1i x (^) 2i x (^) 1i
2 x (^) 2i
2 x (^) 1i x (^) 2i y (^) i y (^) i x (^) 1i y (^) i x (^) 2i y (^) i
2 ri ri
2
y ˆ i
EXEMPLO 3 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = b 0 + b (^) 1x + b (^) 2x
2
x (^) i -2 -1.5 0 1 2.2 3.
y (^) i -30.5^ -20.2^ -3.3^ 8.9^ 16.8^ 21.
Tabela auxiliar:
x (^) i x (^) i
2 x (^) i
3 x (^) i
4 y (^) i x (^) i y (^) i x (^) i
2 y (^) i y ˆ^ i ri
2 y (^) i
2
5.2.2. TRANSFORMAÇÕES
Alguns modelos não lineares nos parâmetros podem ser transformados em
modelos lineares por substituição dos valores de uma ou mais variáveis por
funções destas variáveis.
EXEMPLO DE T RANSFORMAÇÕES :
y a bx
bx
y = ae ⎯⎯→ ln = ln +
y a ( b)x
x
y = ab ⎯⎯→ ln = ln + ln
x^ y a b( x)
b
y = a ⎯⎯→ ln = ln + ln
a bx y a bx
1 2 y e ln cx
cx = ⎯⎯→ = + +
d 3
c 2
b
y = a .x 1 x x ⎯⎯→ ln y= ln a+b ln x + clnx +d ln x
1 2
a bx cx y
a bx cx
y ⎯⎯→ = + +
(^) a bx c.x -1) a bx 1 cx 2 y
y 1 2
ln e
EXEMPLO 1 ( CONTINUAÇÃO ):
Determinar a recta dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados da
tabela.
x (^) i 1.3^ 3.4^ 5.1^ 6.8^ 8.
y (^) i 2.0 5.2 3.8 6.1 5.
Tabela auxiliar:
x (^) i y (^) i x (^) i
2 x (^) i y (^) i y (^) i
2 ŷi ri
Determinação dos coeficientes:
b (^1 )
b 0 =
Então a melhor recta que passa pelos pontos tabelados é y=2.0097+0.52241x.
Cálculo do coeficiente de determinação:
R
2 2
2
2
O ajuste efectuado pelos método dos mínimos quadrados não explica bem a
variação de y como função de x.
EXEMPLO 2 :
Ajustar os pontos da tabela à equação y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 e determinar o
coeficiente de determinação:
x (^) 1i -1 0 1 2 4 5 5 6
x (^) 2i -2^ -1^0 1 1 2 3
y (^) i 13 11 9 4 11 9 1 -
Tabela auxiliar:
x (^) 1i x (^) 2i X1i
2 x (^) 2i
2 x (^) 1i x (^) 2i y (^) i x (^) 1i y (^) i x (^) 2i y (^) i y (^) i
2 ŷi ri ri
2
O sistema é
2
1
0
b
b
b
, a solução é
2
1
0
b
b
b
Então a melhor recta que se ajusta aos pontos é y = 4.239 +3.400x 1 -6.464x 2.
Cálculo do coeficiente de determinação:
2
2 R. O ajuste efectuado é muito bom.
EXEMPLO 4 :
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação y = ae
bx
x (^) i 0.1^ 1.5^ 3.3^ 4.5^ 5.
y (^) i 5.9 8.8 12.0 19.8 21.
y = a.e
bx
→ ln y = ln a +b.x
Tabela auxiliar:
x (^) i y (^) i y' (^) i = ln (y (^) i) x (^) i y
' i x^ i
2 y
' i
2
Determinação dos coeficientes:
b (^1 )
b 0_._
Então a melhor curva que se ajusta aos pontos tabelados é
ln y =1.734 +0.2646x ⇔ y = e
.e
0.2646x ⇔ y = 5.6633.e
0.2646x
Cálculo do coeficiente de determinação:
R
2 2
2 . . .
O ajuste efectuado é muito bom.
