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Guias e Dicas
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A Matemática na NFL - Novo, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Artigo que explora matematicamente um field goal no Futebol Americano, um chute que compõe um lançamento oblíquo. No texto, exploro as equações do movimento da bola oval com e sem a resistência do ar.

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2016

Compartilhado em 16/12/2016

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rodrigo-rabelo-goncalez-9 🇧🇷

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A MATEM ´
ATICA NA NFL:
Uma An´alise do Ponto Extra.
Autor: Prof. Rodrigo R. Gon¸calez
<rrgoncalez@yahoo.com.br>
RESUMO
O presente artigo objetiva estimular a aprendizagem matem´atica atrav´es da interdisciplinaridade, ali-
ando o conhecimento `a ısica de um esporte que vem se tornando a cada dia mais interessante em
nosso pa´ıs: o Futebol Americano. ao descritas algumas leis ısicas de importante estudo para a com-
preens˜ao do fenˆomeno do chute para a marca¸ao do extra point, expandindo o estudo para chutes de
diferentes distˆancias. Ser˜ao abordados opicos de Leis de Newton, Movimento Uniforme, Movimento
Uniformemente Variado, Lan¸camento Parab´olico, Lei da Conserva¸ao de Energia e Lei da Conserva¸ao
da Quantidade de Movimento, Raio de Curvatura de uma Par´abola, seguidos de alguns exemplos e
aplica¸oes pr´aticas. Os gr´aficos foram obtidos atrav´es de simula¸oes no software GeoGebra. Sup˜oe-se
necessariamente que o leitor possua a compreens˜ao de Matem´atica e F´ısica asicas.
Palavras-chave: National Football League; Extra Point; Raio de Curvatura; Equa¸oes Diferenciais;
Lan¸camento Parab´olico.
INTRODUC¸ ˜
AO
Figura 1: Kickers mandando ver!
Apesar do Futebol Americano ainda ao ser ao popular no Brasil, percebe-se, recentemente, que este
esporte tem atra´ıdo cada vez mais admiradores por todo o nosso territ´orio. ´
E um esporte extremamente
estrat´egico e voltado para al´em da utiliza¸ao da for¸ca ısica. Vence o time que utilizar a melhor
estrat´egia de ataque conseguindo traspor a defesa advers´aria e penetrar mais vezes na endzone, e a
melhor estrat´egia de defesa, impedindo o ataque advers´ario de converter pontos. Enfim, ´e um esporte
recheado de Matem´atica!
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A MATEM ´ATICA NA NFL:

Uma An´alise do Ponto Extra.

Autor: Prof. Rodrigo R. Goncalez rrgoncalez@yahoo.com.br RESUMO

O presente artigo objetiva estimular a aprendizagem matematica atraves da interdisciplinaridade, ali- ando o conhecimento a Fsica de um esporte que vem se tornando a cada dia mais interessante em nosso pas: o Futebol Americano. S~ao descritas algumas leis f´ısicas de importante estudo para a com- preens~ao do fen^omeno do chute para a marcac~ao do extra point, expandindo o estudo para chutes de diferentes dist^ancias. Ser~ao abordados topicos de Leis de Newton, Movimento Uniforme, Movimento Uniformemente Variado, Lancamento Parabolico, Lei da Conservac~ao de Energia e Lei da Conservac~ao da Quantidade de Movimento, Raio de Curvatura de uma Parabola, seguidos de alguns exemplos e aplicac~oes praticas. Os gra cos foram obtidos atraves de simulac~oes no software GeoGebra. Sup~oe-se necessariamente que o leitor possua a compreens~ao de Matematica e Fsica basicas.

Palavras-chave: National Football League; Extra Point; Raio de Curvatura; Equac~oes Diferenciais; Lancamento Parabolico.

INTRODUC¸ ˜AO

Figura 1: Kickers mandando ver!

Apesar do Futebol Americano ainda n~ao ser t~ao popular no Brasil, percebe-se, recentemente, que este esporte tem atrado cada vez mais admiradores por todo o nosso territorio. E um esporte extremamente estrategico e voltado para alem da utilizac~ao da forca fsica. Vence o time que utilizar a melhor estrategia de ataque conseguindo traspor a defesa adversaria e penetrar mais vezes na endzone, e a melhor estrategia de defesa, impedindo o ataque adversario de converter pontos. En m, e um esporte recheado de Matematica!

E um esporte jogado por 2 times com 11 jogadores em campo cada um. O time que tem a posse de^  bola e chamado de time de ataque (ofensivo) e a principal intenc~ao desse time e avancar pelo campo atraves de corridas ou passes ate cruzar a linha de gol e chegar a uma area chamada endzone. Para isso, deve transpor a barreira do time adversario (defensivo).

Em suma, o objetivo do jogo e somar mais pontos. A principal jogada e entrar na area ao fundo do campo adversario (endzone) com a posse da bola (touchdown), marcando 6 pontos, e o direito a um chute livre a gol por mais um ponto extra, ou mesmo dois pontos extras, se os jogadores tentarem, ao inves do chute livre ao gol, um passe ou uma corrida. Portanto, o objetivo primordial e anotar 7 ou 8 pontos em uma "descida"de ataque.

Quando o time de ataque marca os pontos almejados ou simplesmente perde a posse de bola por erros proprios ou meritos da defesa adversaria, os papeis s~ao invertidos: tal time entra para a proxima jogada com o time defensivo, e o adversario com o ofensivo, e assim por diante ate o nal dos 4 tempos de 15 minutos (n~ao corridos). 1

Figura 2: Dimens~oes de um campo de futebol americano.

(Fonte:https://blogdiarionfl.files.wordpress.com/2009/11/diarionflcampofutebolamericano.png)

O principal obejtivo deste artigo e fazer uma analise, em particular, do ponto extra!

Apos um emocionante e t~ao almejado touchdown, o time de ataque tem a oportunidade de complementar seus pontos ganhos com um extra point, totalizando 7 pontos na jogada! O extra point e um chute de 33 jardas (chuta-se da linha de 15 jardas), pelo qual a bola oval precisa necessariamente atravessar a trave, cuja altura mnima e 3,05 metros. O chute do ponto extra tambem e chamado de conversion, point after touchdown (as vezes abreviado como PAT) ou point after, de acordo com o manual de regras da National Football League (NFL) nos EUA.

(^1) Texto extra´ıdo e modificado do s´ıtio http://diarionfl.com/regras/

A velocidade inicial do chute e calculada pelo alcance do movimento. De fato, podemos considera-la sempre positiva (na mesma direc~ao e sentido do movimento). Vamos, dessa forma, decompor o vetor velocidade inicial, tal que:

Figura 5: Decomposic~ao do vetor velocidade inicial (v 0 ).

cos θ = v (^0) x |v 0 | ⇒ v (^0) x = |v 0 |cos θ ⇒ v (^0) x = v 0 cos θ

sen θ =

v (^0) y |v 0 | ⇒ v (^0) y = |v 0 |sen θ ⇒ v (^0) y = v 0 sen θ

Em relac~ao a x, temos, portanto, um Movimento Uniforme. Logo, a velocidade de projec~ao horizontal da bola oval e constante e igual a velocidade inicial de sua componente horizontal. Em termos fsicos, a de nic~ao de tal velocidade e a varia¸c˜ao do espa¸co horizontal percorrido por um determinado intervalo de tempo. Em linguaguem matematica, escrevemos:

v (^0) x = vx = dx dt

Manipulando a equac~ao acima e integrando, obtemos:

vx = dx dt ⇒ dx = vx dt ⇒

dx =

vx dt ⇒ x(t) = vx t + C

Temos que a condic~ao inicial x(0) = x 0 implica C = x 0. Como consideramos x 0 = 0, ent~ao conclumos que,

x(t) = vx t

Da,

x(t) = (v 0 cos θ)t (1)

Para o movimento vertical, a bola oval sofre uma acelerac~ao constante e contraria ao movimento, vertical, para baixo, denomianda acelerac~ao gravitacional g. Portanto, a = −g e a acelerac~ao do movimento, cujo conceito e o quociente entre a varia¸c˜ao da velocidade pelo intervalo de tempo. Em linguagem matematica, podemos manipular e escrever:

a = −g = dvy dt ⇒ dvy = −gdt ⇒

dvy = −

gdt ⇒ vy(t) = −gt + C

Para t = 0, temos C = v (^0) y. Da, vy(t) = v (^0) y − gt e a equa¸c˜ao hor´aria da velocidade. Como desejamos obter a equac~ao da trajetoria, e o conceito de velocidade e o quociente da varia¸c˜ao do espa¸co pelo intervalo de tempo, escrevemos:

vy = dy dt ⇒ dy = vy dt ⇒ dy = (v (^0) y − gt)dt ⇒

dy =

v (^0) y dt −

gt dt ⇒

y(t) = v (^0) y t − gt^2 2

+ C

Para t = 0 temos C = y 0. Neste caso, consideramos que y 0 = 0. Portanto a equac~ao da trajetoria e dada por:

y(t) = v (^0) y t −

gt^2 2

y(t) = (v 0 sen θ)t − gt^2 2

Portanto, (1) e (2) s~ao as equac~oes horarias do movimento, desconsiderando a resist^encia do ar.

VELOCIDADE INICIAL M´INIMA PARA O CHUTE

Neste momento, iniciaremos conclus~oes importantes sobre o movimento da bola oval ate que ela alcance a trave adversaria. Como o tempo t e o mesmo para ambas as composic~oes do movimento, isolamos t em (1) e o substitmos em (2), tal que:

y(t) = (v 0 sen θ)

x v 0 cos θ

g 2

x^2 v 02 cos^2 θ

y(t) = x tg θ − g 2

x v 0 cos θ

Nossa intenc~ao agora e isolarmos v 0 , de forma que, manipulando a equac~ao, obtemos:

x tg θ − y = g x^2 2 v^20 cos^2 θ

v^20 (x tg θ − y) =

(g 2

) ( (^) x cos θ

v^20 =

(g 2

) (^1

x tg θ − y

(x sec θ)^2

v 0 =

(x 2

) (√^2 g x tg θ − y

sec θ (4)

Observe que a equac~ao (4) e geral, para y ≥ 3 , 05 m. Comentaremos mais sobre ela posteriormente, visto que ela pode ser utilizada para o calculo de um field goal.

almejado, fazendo com que a bola oval obtenha um impulso maior, consequentemente, atingindo o seu objetivo.

A VELOCIDADE INICIAL EM FUNC¸ ˜AO DO ALCANCE, DA ALTURA E DO TEMPO

Na decomposic~ao de movimentos, como o tempo e id^entico para ambos (vertical e horizontal), vamos isolar t na equac~ao do movimento horizontal, regido pela equac~ao x(t) = (v 0 cos θ)t. Manipulando a equac~ao, chegamos facilmente a cos θ = x v 0 t

A equac~ao do movimento vertical nos da y(t) = (v 0 sen θ) t − g t^2 2

Da identidade trigonometrica, temos que sen^2 θ + cos^2 θ = 1. Isto implica que:

sen^2 θ + x^2 v 02 t^2 = 1 ⇒ sen^2 θ = 1 − x^2 v 02 t^2

sen^2 θ = v^20 t^2 − x^2 v^20 t^2

senθ =

v 02 t^2 − x^2 v 0 t

Substituindo o resultado acima na equac~ao horaria do movimento vertical, obtemos:

y = v 0

v 02 t^2 − x^2 v 0 t

t − g t^2 2 ⇒ y =

v 02 t^2 − x^2 − g t^2 2 √ v^20 t^2 − x^2 = y + g t^2 2

Elevando ambos os membros ao quadrado:

v 02 t^2 − x^2 = y^2 + y g t^2 + g^2 t^4 4

v 02 t^2 = x^2 + y^2 + y g t^2 + g^2 t^4 4

Manipulando a equac~ao acima, chegamos a:

v 0 =

x^2 + y^2 +

g t^2 4 (4y + g t^2 ) t

A Equac~ao (8) nos da o que pretendamos, ou seja, a velocidade inicial em func~ao apenas da dist^ancia horizontal, da altura e do tempo (lembrando que g ≈ 9 , 81 m/s^2 ).

A Equa¸c˜ao do Tempo

Temos que x^2 + y^2 + y (g t^2 ) + g^2 t^4 4 = (v 0 t)^2 e a equac~ao do nosso movimento. Para descobrirmos t,

trabalhando-a algebricamente, obtemos:

( g^2 4

t^4 + (yg − v^20 )t^2 + x^2 + y^2 = 0

Temos uma equac~ao biquadrada. Facamos T = t^2. Substituindo, podemos resolver uma equac~ao do segundo grau pelo metodo de Bh`askara:

( g^2 4

T 2 + (yg − v^20 )T + x^2 + y^2 = 0

∆ = (yg − v 0 )^2 − 4

g^2 4

(x^2 + y^2 )

∆ = 2yg(yg − v^20 ) + v^40 − g^2 x^2

T =

v^20 − yg ±

2 yg(yg − v 02 ) + v 04 − g^2 x^2 g^2 2

T = 2

v 0 g

2 y g

g^2

2 yg(yg − v 02 ) + v^40 − g^2 x^2

Fazendo t = ±

T , temos:

t =

g

v^20 − yg ±

2 yg(yg − v 02 ) + v 04 − g^2 x^2 (9)

(visto que o tempo n~ao pode ser negativo)

A equac~ao acima nos fornece o tempo do chute em func~ao da velocidade inicial, da altura y do chute em relac~ao a trave, do alcance x e da acelerac~ao da gravidade.

Equa¸c˜ao do Alcance M´aximo

Com o objetivo de encontrarmos tal equac~ao, utilizemos a Equac~ao (3), para y = 0, ou seja:

y = x tg θ − g 2

x v 0 cos θ

g 2 v o^2 cos^2 θ

x^2 − x tg θ = 0

x

[(

g 2 v 02 cos^2 θ

x − tg θ

]

v dv = −g dy ⇒

∫^ vy

v (^0) y

v dv = −g

∫^ y

y 0

dy

[

v^2

]vy

v (^0) y

= −g[y]yy 0

(v^2 y − v^20 y ) = −g(y − y 0 )

v y^2 = v^20 y − 2 g(y − y 0 ) (12)

A equac~ao acima e tambem conhecida como Equa¸c˜ao de Torricelli. Visto que y 0 = 0, conclumos de (12) que,

v y^2 = v^20 y − 2 g y

Em relac~ao a θ, reescrevemos a equac~ao acima, de forma que:

v^2 = v^20 − 2 g y(cossec^2 θ) (13)

Se desejarmos, podemos substituir y na equac~ao utilizando a Equac~ao (3), donde obtemos:

v^2 = v 02 − 2 g (secθ)(cossecθ) −

gx v 0

(sec^2 θ)(cossec^4 θ) (14)

O RAIO DE CURVATURA DA TRAJET ´ORIA DA BOLA NO INSTANTE t

Como temos observado durante o decorrer deste artigo, a trajetoria descrita pela bola oval corresponde a uma parabola, a qual possui um determinado raio de curvatura. De acordo com a Fsica, todo corpo que descreve uma trajetoria curvilnea possui uma for¸ca centr´ıpeta atuando sobre ele, direcionada sempre para o centro do movimento. Da 2 a^ Lei de Newton, compreendemos que essa forca atua sobre a massa m da bola oval e imprime sobre ela uma determinada acelerac~ao, denominada, neste caso, de acelera¸c˜ao centr´ıpeta.

A gura abaixo descreve o que esta ocorrendo com a bola oval em um determinado tempo t.

Figura 8: Posic~ao da bola oval em um determinado tempo t e a decomposic~ao vetorial da velocidade e da acelerac~ao.

Observe que a acelerac~ao centrpeta e direcionada para o centro da trajetoria curvilnea, e a acelerac~ao gravitacional vertical para baixo - sempre. Entre elas ha um ^angulo α, mesmo ^angulo entre a velocidade e sua componente horizontal. Para estabelecermos o raio de curvatura, devemos primeiro compreender alguns conceitos:

  1. O modulo da acelerac~ao centrpeta e dado por acp = v^2 R , onde v e a velocidade no instante t e R o

raio de curvatura. Portanto, podemos escrever,

R =

v^2 acp

  1. Como o movimento na direc~ao horizontal e uniforme, sua velocidade e constante, o que nos leva a concluir que v (^0) x = vx para qualquer tempo t. Essa observac~ao e muito importante, pois conclumos que:

vx = v (^0) x = v 0 cos θ

  1. O movimento vertical, como sabemos, e uniformemente desacelerado, de maneira que vy obedece a equac~ao horaria,

vy = v (^0) y − gt = v 0 sen θ − gt

  1. Diante dessas importantes constatac~oes, veri camos que a velocidade v no instante t e a soma vetorial de vx e vy, de forma que

v^2 = v^2 x + v^2 y

  1. Substituindo vx e vy na equac~ao acima, obtemos:

v^2 = (v 0 cos θ)^2 + (v 0 sen θ − gt)^2

v 02 sen^2 θ 2 g = (v 0 sen θ)t −

gt^2 2

Multiplicando ambos os lados da equac~ao por 2g, obtemos:

v^20 sen^2 θ − (2gv 0 sen θ)t + g^2 t^2 = 0

Como sen^2 θ = 1 − cos^2 θ,

v^20 (1 − cos^2 θ) − (2gv 0 sen θ)t + g^2 t^2 = 0

v 02 cos^2 θ = v 02 − (2g v 0 sen θ)t + g^2 t^2 (18)

Observe atentamente que o lado direito da equac~ao e exatamente o numerador da Equac~ao (16). Portanto, iremos substitu-lo por v 02 cos^2 θ, de maneira que:

Rhmax =

(v^20 cos^2 θ)^3 g v 0 cos θ

Rhmax = (v 02 cos^2 θ)

v 02 cos^2 θ g v 0 cos θ

Rhmax = v 02 g cos^2 θ (19)

Existe uma outra forma de chegarmos exatamente a mesma conclus~ao anterior, considerando que na altura maxima a unica forca que atua sobre a bola oval e o seu proprio peso, portanto, igual a forca centrpeta. Logo, escrevendo matematicamente,

FRes = P = Fcp ⇒ m g = m acp ⇒ g = acp

g = v^2 R

⇒ R =

v^2 g

Rhmax = v 02 g cos^2 θ

QUANTIDADE DE MOVIMENTO DO CHUTE

Neste topico trataremos basicamente de colis˜ao e impulso sofridos pela bola oval durante o chute. Temos que ter em mente que a bola oval deixa seu momento inercial inicial mediante a aplicac~ao de uma forca de curtssima durac~ao. Veremos que o modulo de tal forca e elevadssimo, para que a bola possa deixar o ch~ao e adquirir velocidade su ciente para atravessar as traves adversarias.

Momento Linear O momento linear de uma partcula de massa m e uma grandeza vetorial diretamente proporcional a velocidade adquirida por ela. O conceito fsico mais preciso diz que a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento de uma part´ıcula ´e igual a for¸ca resultante que atua sobre ela e tem a mesma orienta¸c˜ao que essa for¸ca.

Em linguagem matematica, escrevemos:

ρ = m v

onde ρ e o momento linear, m e a massa da partcula e v a velocidade vetorial. Portanto, o momento linear em unidades S.I. e dado por (kg.m/s).

Do conceito de momento linear, escrevemos:

FR =

dp dt

⇒ FR =

d dt (m v) ⇒ FR = m a

que s~ao express~oes equivalente referentes a 2a^ Lei de Newton.

Colis˜oes Simples

Qual a import^ancia de entendermos sobre momento linear? A resposta se da quando estudamos colis~oes. Como disse anteriormete, a bola oval se encontra parada no momento anterior ao chute. E preciso que uma forca F seja aplicada para que essa bola deixe sua inercia a m de que possa viajar ate as traves adversarias. Observe que no momento inicial, antes do chute, o momento da bola oval e p = m v = m 0 = 0. Mas, no momento que o kicker chuta a bola, temos a ac~ao de uma forca externa que altera drasticamente o momento inicial.

A variac~ao desse momento e calculado pelo que denominanos impulso, ou seja, o quanto a forca do chute durante um intervalo de tempo curtssimo dt alterou o momento inicial da bola oval.

Em linguagem matematica, escrevemos que a variac~ao do momento (ou impulso) e dado por:

FR =

dp dt ⇒ dp = F (t) dt ⇒

∫^ f

i

dp =

∫^ f

i

F (t) dt = I

Os ndices i e f indicam os momentos inicial e nal respectivamente de aplicac~ao dessa forca F. Como o impulso e a variac~ao do momento de uma partcula, podemos escrev^e-lo tambem de forma que:

I = ∆ρ = ρf − ρi = mvf − mvi ⇒ I = m(vf − vi) = m ∆v

Na pratica, como sempre a bola oval encontra-se em repouso inicialmente, temos que o impulso sera calculado sempre baseando-se em v 0 , visto que ∆v = vf − vi = v 0 − 0 = v 0. Portanto, para nos importa que ρ = m v 0 e I = m v 0.

Da Equac~ao (11), podemos concluir que:

v 0 =

g x sen(2θ) sen(2θ)

e ptm vx = C

vx(t) = C e−^ ptm

Para a condic~ao inicial vx(0) = v (^0) x ⇒ C = v (^0) x. Logo:

vx(t) = v (^0) x e−^

ptm (22)

e,

v(t)cos θ = v 0 cos θ e−^

ptm

v(t) = v 0 e−^

ptm (23)

a equac~ao horaria da velocidade para o movimento horizontal com resist^encia do ar.

Com o objetivo de obtermos a equac~ao horaria do espaco, basta integrarmos a Equac~ao (22), de forma que:

dx dt

= v (^0) x e−^ ptm

dx = (v (^0) x e−^

ptm )dt

∫ dx = v (^0) x

e−^ ptm dt

x(t) = − m v (^0) x p

e−^ ptm

  • C

Dada a condic~ao inicial x(0) = x 0 = 0, temos:

C =

m v (^0) x p

Substituindo C na equac~ao, temos:

x(t) = − m v (^0) x p e−^ ptm

m v (^0) x p

x(t) = m v (^0) x p (1 − e−^ ptm ) (24)

e,

x(t) = m v 0 (cos θ) p (1 − e−^ ptm ) (25)

a equac~ao horaria do espaco para o movimento horizontal com resist^encia do ar.

Movimento Vertical De acordo com a 2 a^ Lei de Newton, no movimento vertical, temos que a forca resultante sobre a bola e a soma da forca de resist^encia do ar e o peso da bola. Matematicamente, equacionamos:

FR = FRar + P ⇒ m a = −p v − m g

Como a = dy dt , temos que a equac~ao da altura da bola oval inicia-se em:

m dvy dt = −p vy − m g ⇒ dvy dt

p m vy = −g

Temos uma equac~ao diferencial ordinaria linear resolvvel por fator integrante. O fator integrante e uma func~ao tal que μ(t) = e

∫ (^) p(t)dt

. Para resolvermos a equac~ao temos que:

μ(t) = e

∫ (^) p m dt^ = eptm

Multiplicando toda a equac~ao por μ(t), temos:

e

ptm dvy dt

  • e

ptm p m vy = −g e

ptm

d dt (e

ptm vy) = −g e

ptm

e ptm vy(t) = −g

e ptm dt

e ptm vy(t) = − mg p

e ptm

  • C

vy(t) = − mg p

  • Ce−^ ptm (26)

Como condic~ao inicial, temos que v(0) = v 0. Portanto,

v (^0) y = − mg p

  • C ⇒ C = v (^0) y + mg p

Substituindo C:

vy(t) =

v (^0) y + mg p

e−^

ptm − mg p

v(t) =

v 0 (sen θ) + mg p

(cossec θ)e−^

ptm − mg p

Este termo e muito importante!

Seguindo o raciocnio, conclumos que:

pt m = ln

pvy + mg pv (^0) y + mg

t = −

m p

ln

pvy + mg pv (^0) y + mg

t =

m p

ln

pv (^0) y + mg pvy + mg

Podemos substituir esse tempo na equac~ao (30) obtida mais acima, a m de obtermos mais uma bela equac~ao, e manipula-la, ou seja:

y(t) =

v (^0) y + mg p

m p

pv 0 y + mg pvy + mg

mg p

m p

ln

pv 0 y + mg pvy + mg

y(t) =

v (^0) y + mg p

m p

p(v (^0) y − vy) pv (^0) y + mg

m^2 g p^2

ln

pv (^0) y + mg pvy + mg

y(t) =

v (^0) y + mg p

m

v (^0) y − vy pv (^0) y + mg

m^2 g p^2

ln

pvy + mg pv (^0) y + mg

y(t) = m

pv (^0) y + mg p

v (^0) y − vy pv (^0) y + mg

m^2 g p^2

ln

pvy + mg pv (^0) y + mg

y(t) =

m p

v (^0) y − vy

m^2 g p^2

ln

pvy + mg pv (^0) y + mg

Tempo e Altura M´axima Com Resistˆencia do Ar

Seja th o tempo que a bola leva para alcancar a altura maxima. Nesse instante, temos que v(th) = 0. Portanto, para obtermos th, utilizamos a equac~ao (27):

( v (^0) y + mg p

e−^

ptm − mg p

p v (^0) y + mg p

e−^ ptm = mg p

e−^

ptm

mg p v (^0) y + mg

ln e−^

ptm = ln

mg p v (^0) y + mg

pt m = ln

mg p v (^0) y + mg

th = − m p

ln

mg p v (^0) y + mg

th =

m p ln

p v 0 (sen θ) + mg mg

Se desejassemos, bastava substituir vy = 0 na equac~ao (33) e chegaramos exatamente a mesma conclus~ao. Para que determinemos a altura maxima, basta utlizarmos vy = 0 e substituirmos na equac~ao (34), ou seja:

yh = mv (^0) y p

m^2 g p^2

ln

mg pv (^0) y + mg

yh = m p

v (^0) y +

mg p

ln

mg pv (^0) y + mg

REFERˆENCIAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. FUNDAMENTOS DA F´ISICA: MEC ANICAˆ. Vol. 1, 8a^ ed., Rio de Janeiro, LTC, 2009.

[2] LEITHOLD, Louis. O C ALCULO COM GEOMETRIA ANAL´ ´ITICA. Vol. 1, 3a^ ed., S~ao Paulo, Harbra, 1994.

[3] SANTOS, Reginaldo J. INTRODUC¸ AO˜ AS EQUAC` ¸ OES DIFERENCIAIS ORDIN ˜ ARIAS´. De- partamento de Matematica - ICEX, Universidade Federal de Minas Gerais, 2011. Disponvel em: http://www.mat.ufmg.br/∼regi/eqdif/iedo.pdf. Acesso em: 22 de agosto de 2015.

[4] STEWART, James. C ALCULO´. Vol. 2, S~ao Paulo, Cengage Learning, 2010.

[5] TRIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. F´ISICA. Para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 5a^ ed., Rio de Janeiro, LTC, 2006. 2015 NFL Rule Book. Disponvel em: <http://operations.n .com/the-rules/2015-n -rulebook/>. Acesso em: 02 de setembro de 2015. Regras da NFL 2015. Disponvel em: <http://diarion .com/regras/>. Acesso em: 18 de outubro de 2015.