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A MATEM ´ATICA NA NFL:
Uma An´alise do Ponto Extra.
Autor: Prof. Rodrigo R. Goncalez rrgoncalez@yahoo.com.br RESUMO
O presente artigo objetiva estimular a aprendizagem matematica atraves da interdisciplinaridade, ali- ando o conhecimento a Fsica de um esporte que vem se tornando a cada dia mais interessante em nosso pas: o Futebol Americano. S~ao descritas algumas leis f´ısicas de importante estudo para a com- preens~ao do fen^omeno do chute para a marcac~ao do extra point, expandindo o estudo para chutes de diferentes dist^ancias. Ser~ao abordados topicos de Leis de Newton, Movimento Uniforme, Movimento Uniformemente Variado, Lancamento Parabolico, Lei da Conservac~ao de Energia e Lei da Conservac~ao da Quantidade de Movimento, Raio de Curvatura de uma Parabola, seguidos de alguns exemplos e aplicac~oes praticas. Os gra cos foram obtidos atraves de simulac~oes no software GeoGebra. Sup~oe-se necessariamente que o leitor possua a compreens~ao de Matematica e Fsica basicas.
Palavras-chave: National Football League; Extra Point; Raio de Curvatura; Equac~oes Diferenciais; Lancamento Parabolico.
INTRODUC¸ ˜AO
Figura 1: Kickers mandando ver!
Apesar do Futebol Americano ainda n~ao ser t~ao popular no Brasil, percebe-se, recentemente, que este esporte tem atrado cada vez mais admiradores por todo o nosso territorio. E um esporte extremamente estrategico e voltado para alem da utilizac~ao da forca fsica. Vence o time que utilizar a melhor estrategia de ataque conseguindo traspor a defesa adversaria e penetrar mais vezes na endzone, e a melhor estrategia de defesa, impedindo o ataque adversario de converter pontos. En m, e um esporte recheado de Matematica!
E um esporte jogado por 2 times com 11 jogadores em campo cada um. O time que tem a posse de^ bola e chamado de time de ataque (ofensivo) e a principal intenc~ao desse time e avancar pelo campo atraves de corridas ou passes ate cruzar a linha de gol e chegar a uma area chamada endzone. Para isso, deve transpor a barreira do time adversario (defensivo).
Em suma, o objetivo do jogo e somar mais pontos. A principal jogada e entrar na area ao fundo do campo adversario (endzone) com a posse da bola (touchdown), marcando 6 pontos, e o direito a um chute livre a gol por mais um ponto extra, ou mesmo dois pontos extras, se os jogadores tentarem, ao inves do chute livre ao gol, um passe ou uma corrida. Portanto, o objetivo primordial e anotar 7 ou 8 pontos em uma "descida"de ataque.
Quando o time de ataque marca os pontos almejados ou simplesmente perde a posse de bola por erros proprios ou meritos da defesa adversaria, os papeis s~ao invertidos: tal time entra para a proxima jogada com o time defensivo, e o adversario com o ofensivo, e assim por diante ate o nal dos 4 tempos de 15 minutos (n~ao corridos). 1
Figura 2: Dimens~oes de um campo de futebol americano.
(Fonte:https://blogdiarionfl.files.wordpress.com/2009/11/diarionflcampofutebolamericano.png)
O principal obejtivo deste artigo e fazer uma analise, em particular, do ponto extra!
Apos um emocionante e t~ao almejado touchdown, o time de ataque tem a oportunidade de complementar seus pontos ganhos com um extra point, totalizando 7 pontos na jogada! O extra point e um chute de 33 jardas (chuta-se da linha de 15 jardas), pelo qual a bola oval precisa necessariamente atravessar a trave, cuja altura mnima e 3,05 metros. O chute do ponto extra tambem e chamado de conversion, point after touchdown (as vezes abreviado como PAT) ou point after, de acordo com o manual de regras da National Football League (NFL) nos EUA.
(^1) Texto extra´ıdo e modificado do s´ıtio http://diarionfl.com/regras/
A velocidade inicial do chute e calculada pelo alcance do movimento. De fato, podemos considera-la sempre positiva (na mesma direc~ao e sentido do movimento). Vamos, dessa forma, decompor o vetor velocidade inicial, tal que:
Figura 5: Decomposic~ao do vetor velocidade inicial (v 0 ).
cos θ = v (^0) x |v 0 | ⇒ v (^0) x = |v 0 |cos θ ⇒ v (^0) x = v 0 cos θ
sen θ =
v (^0) y |v 0 | ⇒ v (^0) y = |v 0 |sen θ ⇒ v (^0) y = v 0 sen θ
Em relac~ao a x, temos, portanto, um Movimento Uniforme. Logo, a velocidade de projec~ao horizontal da bola oval e constante e igual a velocidade inicial de sua componente horizontal. Em termos fsicos, a de nic~ao de tal velocidade e a varia¸c˜ao do espa¸co horizontal percorrido por um determinado intervalo de tempo. Em linguaguem matematica, escrevemos:
v (^0) x = vx = dx dt
Manipulando a equac~ao acima e integrando, obtemos:
vx = dx dt ⇒ dx = vx dt ⇒
dx =
vx dt ⇒ x(t) = vx t + C
Temos que a condic~ao inicial x(0) = x 0 implica C = x 0. Como consideramos x 0 = 0, ent~ao conclumos que,
x(t) = vx t
Da,
x(t) = (v 0 cos θ)t (1)
Para o movimento vertical, a bola oval sofre uma acelerac~ao constante e contraria ao movimento, vertical, para baixo, denomianda acelerac~ao gravitacional g. Portanto, a = −g e a acelerac~ao do movimento, cujo conceito e o quociente entre a varia¸c˜ao da velocidade pelo intervalo de tempo. Em linguagem matematica, podemos manipular e escrever:
a = −g = dvy dt ⇒ dvy = −gdt ⇒
dvy = −
gdt ⇒ vy(t) = −gt + C
Para t = 0, temos C = v (^0) y. Da, vy(t) = v (^0) y − gt e a equa¸c˜ao hor´aria da velocidade. Como desejamos obter a equac~ao da trajetoria, e o conceito de velocidade e o quociente da varia¸c˜ao do espa¸co pelo intervalo de tempo, escrevemos:
vy = dy dt ⇒ dy = vy dt ⇒ dy = (v (^0) y − gt)dt ⇒
dy =
v (^0) y dt −
gt dt ⇒
y(t) = v (^0) y t − gt^2 2
+ C
Para t = 0 temos C = y 0. Neste caso, consideramos que y 0 = 0. Portanto a equac~ao da trajetoria e dada por:
y(t) = v (^0) y t −
gt^2 2
y(t) = (v 0 sen θ)t − gt^2 2
Portanto, (1) e (2) s~ao as equac~oes horarias do movimento, desconsiderando a resist^encia do ar.
VELOCIDADE INICIAL M´INIMA PARA O CHUTE
Neste momento, iniciaremos conclus~oes importantes sobre o movimento da bola oval ate que ela alcance a trave adversaria. Como o tempo t e o mesmo para ambas as composic~oes do movimento, isolamos t em (1) e o substitmos em (2), tal que:
y(t) = (v 0 sen θ)
x v 0 cos θ
g 2
x^2 v 02 cos^2 θ
y(t) = x tg θ − g 2
x v 0 cos θ
Nossa intenc~ao agora e isolarmos v 0 , de forma que, manipulando a equac~ao, obtemos:
x tg θ − y = g x^2 2 v^20 cos^2 θ
v^20 (x tg θ − y) =
(g 2
) ( (^) x cos θ
v^20 =
(g 2
) (^1
x tg θ − y
(x sec θ)^2
v 0 =
(x 2
) (√^2 g x tg θ − y
sec θ (4)
Observe que a equac~ao (4) e geral, para y ≥ 3 , 05 m. Comentaremos mais sobre ela posteriormente, visto que ela pode ser utilizada para o calculo de um field goal.
almejado, fazendo com que a bola oval obtenha um impulso maior, consequentemente, atingindo o seu objetivo.
A VELOCIDADE INICIAL EM FUNC¸ ˜AO DO ALCANCE, DA ALTURA E DO TEMPO
Na decomposic~ao de movimentos, como o tempo e id^entico para ambos (vertical e horizontal), vamos isolar t na equac~ao do movimento horizontal, regido pela equac~ao x(t) = (v 0 cos θ)t. Manipulando a equac~ao, chegamos facilmente a cos θ = x v 0 t
A equac~ao do movimento vertical nos da y(t) = (v 0 sen θ) t − g t^2 2
Da identidade trigonometrica, temos que sen^2 θ + cos^2 θ = 1. Isto implica que:
sen^2 θ + x^2 v 02 t^2 = 1 ⇒ sen^2 θ = 1 − x^2 v 02 t^2
sen^2 θ = v^20 t^2 − x^2 v^20 t^2
senθ =
v 02 t^2 − x^2 v 0 t
Substituindo o resultado acima na equac~ao horaria do movimento vertical, obtemos:
y = v 0
v 02 t^2 − x^2 v 0 t
t − g t^2 2 ⇒ y =
v 02 t^2 − x^2 − g t^2 2 √ v^20 t^2 − x^2 = y + g t^2 2
Elevando ambos os membros ao quadrado:
v 02 t^2 − x^2 = y^2 + y g t^2 + g^2 t^4 4
v 02 t^2 = x^2 + y^2 + y g t^2 + g^2 t^4 4
Manipulando a equac~ao acima, chegamos a:
v 0 =
x^2 + y^2 +
g t^2 4 (4y + g t^2 ) t
A Equac~ao (8) nos da o que pretendamos, ou seja, a velocidade inicial em func~ao apenas da dist^ancia horizontal, da altura e do tempo (lembrando que g ≈ 9 , 81 m/s^2 ).
A Equa¸c˜ao do Tempo
Temos que x^2 + y^2 + y (g t^2 ) + g^2 t^4 4 = (v 0 t)^2 e a equac~ao do nosso movimento. Para descobrirmos t,
trabalhando-a algebricamente, obtemos:
( g^2 4
t^4 + (yg − v^20 )t^2 + x^2 + y^2 = 0
Temos uma equac~ao biquadrada. Facamos T = t^2. Substituindo, podemos resolver uma equac~ao do segundo grau pelo metodo de Bh`askara:
( g^2 4
T 2 + (yg − v^20 )T + x^2 + y^2 = 0
∆ = (yg − v 0 )^2 − 4
g^2 4
(x^2 + y^2 )
∆ = 2yg(yg − v^20 ) + v^40 − g^2 x^2
T =
v^20 − yg ±
2 yg(yg − v 02 ) + v 04 − g^2 x^2 g^2 2
T = 2
v 0 g
2 y g
g^2
2 yg(yg − v 02 ) + v^40 − g^2 x^2
Fazendo t = ±
T , temos:
t =
g
v^20 − yg ±
2 yg(yg − v 02 ) + v 04 − g^2 x^2 (9)
(visto que o tempo n~ao pode ser negativo)
A equac~ao acima nos fornece o tempo do chute em func~ao da velocidade inicial, da altura y do chute em relac~ao a trave, do alcance x e da acelerac~ao da gravidade.
Equa¸c˜ao do Alcance M´aximo
Com o objetivo de encontrarmos tal equac~ao, utilizemos a Equac~ao (3), para y = 0, ou seja:
y = x tg θ − g 2
x v 0 cos θ
g 2 v o^2 cos^2 θ
x^2 − x tg θ = 0
x
[(
g 2 v 02 cos^2 θ
x − tg θ
]
v dv = −g dy ⇒
∫^ vy
v (^0) y
v dv = −g
∫^ y
y 0
dy
[
v^2
]vy
v (^0) y
= −g[y]yy 0
(v^2 y − v^20 y ) = −g(y − y 0 )
v y^2 = v^20 y − 2 g(y − y 0 ) (12)
A equac~ao acima e tambem conhecida como Equa¸c˜ao de Torricelli. Visto que y 0 = 0, conclumos de (12) que,
v y^2 = v^20 y − 2 g y
Em relac~ao a θ, reescrevemos a equac~ao acima, de forma que:
v^2 = v^20 − 2 g y(cossec^2 θ) (13)
Se desejarmos, podemos substituir y na equac~ao utilizando a Equac~ao (3), donde obtemos:
v^2 = v 02 − 2 g (secθ)(cossecθ) −
gx v 0
(sec^2 θ)(cossec^4 θ) (14)
O RAIO DE CURVATURA DA TRAJET ´ORIA DA BOLA NO INSTANTE t
Como temos observado durante o decorrer deste artigo, a trajetoria descrita pela bola oval corresponde a uma parabola, a qual possui um determinado raio de curvatura. De acordo com a Fsica, todo corpo que descreve uma trajetoria curvilnea possui uma for¸ca centr´ıpeta atuando sobre ele, direcionada sempre para o centro do movimento. Da 2 a^ Lei de Newton, compreendemos que essa forca atua sobre a massa m da bola oval e imprime sobre ela uma determinada acelerac~ao, denominada, neste caso, de acelera¸c˜ao centr´ıpeta.
A gura abaixo descreve o que esta ocorrendo com a bola oval em um determinado tempo t.
Figura 8: Posic~ao da bola oval em um determinado tempo t e a decomposic~ao vetorial da velocidade e da acelerac~ao.
Observe que a acelerac~ao centrpeta e direcionada para o centro da trajetoria curvilnea, e a acelerac~ao gravitacional vertical para baixo - sempre. Entre elas ha um ^angulo α, mesmo ^angulo entre a velocidade e sua componente horizontal. Para estabelecermos o raio de curvatura, devemos primeiro compreender alguns conceitos:
- O modulo da acelerac~ao centrpeta e dado por acp = v^2 R , onde v e a velocidade no instante t e R o
raio de curvatura. Portanto, podemos escrever,
R =
v^2 acp
- Como o movimento na direc~ao horizontal e uniforme, sua velocidade e constante, o que nos leva a concluir que v (^0) x = vx para qualquer tempo t. Essa observac~ao e muito importante, pois conclumos que:
vx = v (^0) x = v 0 cos θ
- O movimento vertical, como sabemos, e uniformemente desacelerado, de maneira que vy obedece a equac~ao horaria,
vy = v (^0) y − gt = v 0 sen θ − gt
- Diante dessas importantes constatac~oes, veri camos que a velocidade v no instante t e a soma vetorial de vx e vy, de forma que
v^2 = v^2 x + v^2 y
- Substituindo vx e vy na equac~ao acima, obtemos:
v^2 = (v 0 cos θ)^2 + (v 0 sen θ − gt)^2
v 02 sen^2 θ 2 g = (v 0 sen θ)t −
gt^2 2
Multiplicando ambos os lados da equac~ao por 2g, obtemos:
v^20 sen^2 θ − (2gv 0 sen θ)t + g^2 t^2 = 0
Como sen^2 θ = 1 − cos^2 θ,
v^20 (1 − cos^2 θ) − (2gv 0 sen θ)t + g^2 t^2 = 0
v 02 cos^2 θ = v 02 − (2g v 0 sen θ)t + g^2 t^2 (18)
Observe atentamente que o lado direito da equac~ao e exatamente o numerador da Equac~ao (16). Portanto, iremos substitu-lo por v 02 cos^2 θ, de maneira que:
Rhmax =
(v^20 cos^2 θ)^3 g v 0 cos θ
Rhmax = (v 02 cos^2 θ)
v 02 cos^2 θ g v 0 cos θ
Rhmax = v 02 g cos^2 θ (19)
Existe uma outra forma de chegarmos exatamente a mesma conclus~ao anterior, considerando que na altura maxima a unica forca que atua sobre a bola oval e o seu proprio peso, portanto, igual a forca centrpeta. Logo, escrevendo matematicamente,
FRes = P = Fcp ⇒ m g = m acp ⇒ g = acp
g = v^2 R
⇒ R =
v^2 g
Rhmax = v 02 g cos^2 θ
QUANTIDADE DE MOVIMENTO DO CHUTE
Neste topico trataremos basicamente de colis˜ao e impulso sofridos pela bola oval durante o chute. Temos que ter em mente que a bola oval deixa seu momento inercial inicial mediante a aplicac~ao de uma forca de curtssima durac~ao. Veremos que o modulo de tal forca e elevadssimo, para que a bola possa deixar o ch~ao e adquirir velocidade su ciente para atravessar as traves adversarias.
Momento Linear O momento linear de uma partcula de massa m e uma grandeza vetorial diretamente proporcional a velocidade adquirida por ela. O conceito fsico mais preciso diz que a taxa de varia¸c˜ao com o tempo do momento de uma part´ıcula ´e igual a for¸ca resultante que atua sobre ela e tem a mesma orienta¸c˜ao que essa for¸ca.
Em linguagem matematica, escrevemos:
ρ = m v
onde ρ e o momento linear, m e a massa da partcula e v a velocidade vetorial. Portanto, o momento linear em unidades S.I. e dado por (kg.m/s).
Do conceito de momento linear, escrevemos:
FR =
dp dt
⇒ FR =
d dt (m v) ⇒ FR = m a
que s~ao express~oes equivalente referentes a 2a^ Lei de Newton.
Colis˜oes Simples
Qual a import^ancia de entendermos sobre momento linear? A resposta se da quando estudamos colis~oes. Como disse anteriormete, a bola oval se encontra parada no momento anterior ao chute. E preciso que uma forca F seja aplicada para que essa bola deixe sua inercia a m de que possa viajar ate as traves adversarias. Observe que no momento inicial, antes do chute, o momento da bola oval e p = m v = m 0 = 0. Mas, no momento que o kicker chuta a bola, temos a ac~ao de uma forca externa que altera drasticamente o momento inicial.
A variac~ao desse momento e calculado pelo que denominanos impulso, ou seja, o quanto a forca do chute durante um intervalo de tempo curtssimo dt alterou o momento inicial da bola oval.
Em linguagem matematica, escrevemos que a variac~ao do momento (ou impulso) e dado por:
FR =
dp dt ⇒ dp = F (t) dt ⇒
∫^ f
i
dp =
∫^ f
i
F (t) dt = I
Os ndices i e f indicam os momentos inicial e nal respectivamente de aplicac~ao dessa forca F. Como o impulso e a variac~ao do momento de uma partcula, podemos escrev^e-lo tambem de forma que:
I = ∆ρ = ρf − ρi = mvf − mvi ⇒ I = m(vf − vi) = m ∆v
Na pratica, como sempre a bola oval encontra-se em repouso inicialmente, temos que o impulso sera calculado sempre baseando-se em v 0 , visto que ∆v = vf − vi = v 0 − 0 = v 0. Portanto, para nos importa que ρ = m v 0 e I = m v 0.
Da Equac~ao (11), podemos concluir que:
v 0 =
g x sen(2θ) sen(2θ)
e ptm vx = C
vx(t) = C e−^ ptm
Para a condic~ao inicial vx(0) = v (^0) x ⇒ C = v (^0) x. Logo:
vx(t) = v (^0) x e−^
ptm (22)
e,
v(t)cos θ = v 0 cos θ e−^
ptm
v(t) = v 0 e−^
ptm (23)
a equac~ao horaria da velocidade para o movimento horizontal com resist^encia do ar.
Com o objetivo de obtermos a equac~ao horaria do espaco, basta integrarmos a Equac~ao (22), de forma que:
dx dt
= v (^0) x e−^ ptm
dx = (v (^0) x e−^
ptm )dt
∫ dx = v (^0) x
e−^ ptm dt
x(t) = − m v (^0) x p
e−^ ptm
Dada a condic~ao inicial x(0) = x 0 = 0, temos:
C =
m v (^0) x p
Substituindo C na equac~ao, temos:
x(t) = − m v (^0) x p e−^ ptm
m v (^0) x p
x(t) = m v (^0) x p (1 − e−^ ptm ) (24)
e,
x(t) = m v 0 (cos θ) p (1 − e−^ ptm ) (25)
a equac~ao horaria do espaco para o movimento horizontal com resist^encia do ar.
Movimento Vertical De acordo com a 2 a^ Lei de Newton, no movimento vertical, temos que a forca resultante sobre a bola e a soma da forca de resist^encia do ar e o peso da bola. Matematicamente, equacionamos:
FR = FRar + P ⇒ m a = −p v − m g
Como a = dy dt , temos que a equac~ao da altura da bola oval inicia-se em:
m dvy dt = −p vy − m g ⇒ dvy dt
p m vy = −g
Temos uma equac~ao diferencial ordinaria linear resolvvel por fator integrante. O fator integrante e uma func~ao tal que μ(t) = e
∫ (^) p(t)dt
. Para resolvermos a equac~ao temos que:
μ(t) = e
∫ (^) p m dt^ = eptm
Multiplicando toda a equac~ao por μ(t), temos:
e
ptm dvy dt
ptm p m vy = −g e
ptm
d dt (e
ptm vy) = −g e
ptm
e ptm vy(t) = −g
e ptm dt
e ptm vy(t) = − mg p
e ptm
vy(t) = − mg p
Como condic~ao inicial, temos que v(0) = v 0. Portanto,
v (^0) y = − mg p
Substituindo C:
vy(t) =
v (^0) y + mg p
e−^
ptm − mg p
v(t) =
v 0 (sen θ) + mg p
(cossec θ)e−^
ptm − mg p
Este termo e muito importante!
Seguindo o raciocnio, conclumos que:
pt m = ln
pvy + mg pv (^0) y + mg
t = −
m p
ln
pvy + mg pv (^0) y + mg
t =
m p
ln
pv (^0) y + mg pvy + mg
Podemos substituir esse tempo na equac~ao (30) obtida mais acima, a m de obtermos mais uma bela equac~ao, e manipula-la, ou seja:
y(t) =
v (^0) y + mg p
m p
pv 0 y + mg pvy + mg
mg p
m p
ln
pv 0 y + mg pvy + mg
y(t) =
v (^0) y + mg p
m p
p(v (^0) y − vy) pv (^0) y + mg
m^2 g p^2
ln
pv (^0) y + mg pvy + mg
y(t) =
v (^0) y + mg p
m
v (^0) y − vy pv (^0) y + mg
m^2 g p^2
ln
pvy + mg pv (^0) y + mg
y(t) = m
pv (^0) y + mg p
v (^0) y − vy pv (^0) y + mg
m^2 g p^2
ln
pvy + mg pv (^0) y + mg
y(t) =
m p
v (^0) y − vy
m^2 g p^2
ln
pvy + mg pv (^0) y + mg
Tempo e Altura M´axima Com Resistˆencia do Ar
Seja th o tempo que a bola leva para alcancar a altura maxima. Nesse instante, temos que v(th) = 0. Portanto, para obtermos th, utilizamos a equac~ao (27):
( v (^0) y + mg p
e−^
ptm − mg p
p v (^0) y + mg p
e−^ ptm = mg p
e−^
ptm
mg p v (^0) y + mg
ln e−^
ptm = ln
mg p v (^0) y + mg
pt m = ln
mg p v (^0) y + mg
th = − m p
ln
mg p v (^0) y + mg
th =
m p ln
p v 0 (sen θ) + mg mg
Se desejassemos, bastava substituir vy = 0 na equac~ao (33) e chegaramos exatamente a mesma conclus~ao. Para que determinemos a altura maxima, basta utlizarmos vy = 0 e substituirmos na equac~ao (34), ou seja:
yh = mv (^0) y p
m^2 g p^2
ln
mg pv (^0) y + mg
yh = m p
v (^0) y +
mg p
ln
mg pv (^0) y + mg
REFERˆENCIAS
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. FUNDAMENTOS DA F´ISICA: MEC ANICAˆ. Vol. 1, 8a^ ed., Rio de Janeiro, LTC, 2009.
[2] LEITHOLD, Louis. O C ALCULO COM GEOMETRIA ANAL´ ´ITICA. Vol. 1, 3a^ ed., S~ao Paulo, Harbra, 1994.
[3] SANTOS, Reginaldo J. INTRODUC¸ AO˜ AS EQUAC` ¸ OES DIFERENCIAIS ORDIN ˜ ARIAS´. De- partamento de Matematica - ICEX, Universidade Federal de Minas Gerais, 2011. Disponvel em: http://www.mat.ufmg.br/∼regi/eqdif/iedo.pdf. Acesso em: 22 de agosto de 2015.
[4] STEWART, James. C ALCULO´. Vol. 2, S~ao Paulo, Cengage Learning, 2010.
[5] TRIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. F´ISICA. Para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 5a^ ed., Rio de Janeiro, LTC, 2006. 2015 NFL Rule Book. Disponvel em: <http://operations.n .com/the-rules/2015-n -rulebook/>. Acesso em: 02 de setembro de 2015. Regras da NFL 2015. Disponvel em: <http://diarion .com/regras/>. Acesso em: 18 de outubro de 2015.
