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Na Geometria, além do cálculo de áreas sob curvas como já vimos, podemos usar a Integral Definida para calcular comprimento de arcos e volumes; na Física,
Tipologia: Notas de aula
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Não perca as partes importantes!
Monografia apresentada ao curso de Matemática da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB como requisito para obtenção do grau de licenciada em Matemática.
Orientador: Antônio Augusto Oliveira Lima
Vitória da Conquista 2016
“O começo de todas as ciências é o espanto de as coisas serem o que são.”
Aristóteles
Durante toda esta caminhada pude contar com a ajuda de muitas pessoas queridas, e é a todas elas que agradeço neste momento.
Em primeiro lugar, a Deus que percorre este caminho como meu guia e, em segundo lugar, à minha família, que foi essencial em todos os momentos. Meus pais como sempre me apoiando, e a minha irmã sempre disposta a ajudar.
Aos mestres todo o meu carinho, afinal, sem os mesmos meus sonhos não seriam realizados, e renovados a cada dia.
Muito obrigada a todos!
This work is organized as follows: the first part is dedicated to the history of calculus, focusing on discussions between Isaac Newton and Gottfried Leibnz during a period known as the Calculus War. Then a theoretical display of Differential and Integral Calculus, where each chapter presents content such as calculating limits, derivatives and integrals. And at the end of each chapter, possible corresponding applications.
Keywords: calculation , limit, derivative, integral, applications.
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Este trabalho tem por finalidade apresentar o cálculo diferencial e integral de uma forma mais, digamos assim, palpável ao olhar dos alunos. O professor de matemática sempre se vê diante a questionamentos como: “Onde eu vou utilizar isso? No que isto me será útil?”. Se tivermos uma base melhor com relação às aplicações, poderemos responder à altura alguns questionamento desta natureza.
O primeiro capítulo apresenta uma breve explanação acerca dos acontecimentos envolvendo Isaac Newton e Gottfried Leibnz, cujas discussões ficaram marcadas por décadas, onde cada um defendia suas ideias e, com isso, puderam contribuir com o cálculo da forma como é visto hoje.
Os capítulos subsequentes apresentam as definições do Limite, do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral, abordando suas particularidades e propriedades, com exemplos para que fique mais claro compreender cada contéudo.
Ao final de cada capítulo são apresentadas algumas aplicações referente ao seu respectivo conteúdo, como o Limite nas curvas de logística, a Derivada na física e na biologia, e a Integral aplicada à economia e engenharia.
Com as aplicações mostraremos que o Cálculo Diferencial e Integral é uma ferramenta que não é exclusiva da matemática, como alguns pensam, e sim, uma ferramenta poderosa em muitos ramos acadêmicos que nos proponhamos a seguir.
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O cálculo sempre se mostrou como uma das técnicas mais poderosas da matemática, sendo estudada pelos mais variados filósofos dos séculos passados. Porém foi no Século XVII que o Cálculo começou a dar seus primeiros passos.
Ainda hoje é possível encontrar muitas controvérsias a respeito do descobrimento do Cálculo Diferencial e Integral. Porém, para que este trabalho não prolongue por anos e anos de histórias acerca de diversas discussões, o foco ficará na maior delas, na que ficou conhecida como A Guerra do Cálculo.
Para que entendamos o contexto é necessário voltar um pouco no tempo, mais precisamente para os anos mais criativos de Isaac Newton (1642-1726), que iniciaram-se em 1665, quando o mesmo era um jovem estudante da Universidade de Cambridge. Newton, recluso em sua propriedade rural, passou dois anos realizando experiências e refletindo sobre as leis da física que regiam o mundo, e foi neste exato período que, entre tantas outras descobertas, Newton descobriu o Cálculo e o chamou de “Método de fluxos e fluentes” porém, após tantas realizações, ele tomou a decisão de guardar seus conhecimentos para si, e nada publicara a respeito durante anos, apenas alguns textos privados foram divulgados entre seus amigos.
Gottfried Leibnz (1646-1716) firmou seus estudos no Cálculo dez anos após os trabalhos de Isaac, quando estava na França, e durante dez anos pôde aperfeiçoar seus trabalhos. Suas descobertas eram detalhadas e possuíam uma linguagem específica cheia de novos símbolos, linguagens e representações gráficas. Ao contrário de Newton, Leibnz publicou todo o seu sistema de cálculo em dois trabalhos datados de 1684 e 1686. Com isso, Leibnz reivindicou seus direitos intitulando-se como o inventor do Cálculo, o que fez com que ficasse reconhecido, por anos, como o maior matemático vivo.
Newton acreditava que Leibnz, ao fazer uma visita à Londres em 1673, havia estudado um de seus trabalhos, e que o mesmo o teria influenciado em suas descobertas, o que foi suficiente para que Leibnz fosse chamado de ladrão. Isaac, como era o homem muito influente e importante no cenário acadêmico, contratou várias pessoas para publicar artigos denegrindo a imagem de seu rival, porém Gottfried não iria deixar as ofensas sem respostas. E, assim, uma guerra começou.
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2.1. Definição:
Escreve-se 𝑥→𝑎^ lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 Onde lê-se “O limite de f(x), quando x tende à 𝑎, é igual a L”. Podemos entender que, quanto mais próximo for o valor de x, ao valor de 𝑎, mais os valores da função f(x) se aproximam de L. Ainda assim, podemos escrever a definição de limite de uma forma concisa e completa, onde, seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑎, exceto o próprio 𝑎. Então dizemos que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 é 𝐿, e escrevemos 𝑥→𝑎^ lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 Se para todo número 𝜀 > 0 houver um número 𝛿 > 0 tal que Se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
2.2. Propriedades de Limite: Vamos considerar como sendo 𝑐 uma constante e existentes os limites 𝑥→𝑎^ lim 𝑓(𝑥)^ e^ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
2.1.1. (^) 𝑥→𝑎lim[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
2.1.2. (^) 𝑥→𝑎lim[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
2.1.3. (^) 𝑥→𝑎lim[𝑐𝑓(𝑥)] = c lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
2.1.4. (^) 𝑥→𝑎lim[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥). lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
2.1.5. (^) 𝑥→𝑎lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim^ 𝑥→𝑎lim^ 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)^
, se lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0
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2.3. O limite de uma função: Vamos observar o comportamento da seguinte função: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
(Figura 1) Fica claro, ao observarmos o gráfico da função 𝑓, onde a cada vez que os valores de 𝑥 se aproximam de 𝑎, os valores de 𝑦 se aproximam de 𝐿. Vale notar, que esta aproximação pode acontecer por ambos os lados, ou seja, tanto pela direita, quanto pela esquerda. O que nos leva a conclusão que: 𝑥→𝑎^ lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 se, e somente se, 𝑥→𝑎^ lim−^ 𝑓(𝑥) = 𝐿^ e^ 𝑥→𝑎lim+^ 𝑓(𝑥) = 𝐿 Isso quer dizer que, o limite da função 𝑓 , quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela esquerda, ou pela direita, será igual a 𝐿.
2.4. Continuidade: No Ensino médio é comum ouvir que para descobrirmos se uma função é contínua basta esboçar seu gráfico e verificar se o mesmo não possui interrupções, ou, a grosso modo, verificar se durante a construção do gráfico da função não retiramos o lápis do papel. Como nos dois casos
(Figura 2) (Figura 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥² { 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 2; 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 2; 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 7
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2.5. Limites no infinito Seja 𝑓 uma função definida no intervalo (𝑎, ∞). Então 𝑥→∞^ lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 Quer dizer que os valores de 𝑓(𝑥) ficam arbitrariamente próximos de 𝐿, tomando 𝑥 suficientemente grande. O símbolo ∞ não representa um número, portanto não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais. Vamos observar a seguinte situação
(Figura 4)
Ao analisarmos a função 𝑓(𝑥) = (^1) 𝑥 é possível perceber que quanto maior for o valor de 𝑥, mais próxima estará a função de 0. Isso é valido também para o inverso. Ou seja, 𝑥→+∞^ lim^1 𝑥 = 0 Bem como 𝑥→−∞^ lim^1 𝑥 = 0
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2.6. Aplicações do Limite
2.6.1. Curvas de Logística São vários os fatores que interferem no crescimento populacional, como, por exemplo, o aparecimento de epidemias. Pensando nisso, foram criadas as curvas de logística para serem usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população. Vamos verificar a seguinte situação hipotética. Foi constatada uma epidemia de uma nova forma de gripe numa dada população e, após 𝑡 semanas o número 𝑁 de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente 𝑁 = (^) 1 + 19. 10^20 −0,5𝑡 De acordo com esta estimativa é possível determinar o número de pessoas contaminadas passadas 4 semanas após a constatação da doença. lim 𝑡→4 𝑁(𝑡) = lim 𝑡→41 + 19. 10^20 −0,5𝑡
lim 𝑡→4 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 19. 10^20 −
lim 𝑡→4 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 19. 10^20 −
lim 𝑡→4 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 0,19^20 = (^) 1,19^20 ≅ 16, Podemos também encontrar o número de pessoas que haviam contraído a doença quando foi constada a gripe. lim 𝑡→0 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 19. 10^20 −0,5𝑡
lim 𝑡→0 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 19. 10^200
lim 𝑡→0 𝑁(𝑡) = (^) 1 + 19^20 =^2020 = 1
Como estávamos calculando em milhares, então, seriam aproximadamente 16800 pessoas infectadas no decorrer de 4 semanas e 1000 pessoas infectadas quando foi detectada a gripe.
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Situação 2 : Uma montadora de computadores determina que um empregado após 𝑥 dias de treinamento, monta 𝑛 computadores por dia, onde:
𝑛(𝑥) = (^) 𝑥 2 20𝑥²+ 𝑥 + 5
O que acontece com 𝑥 após treinamentos longos?
(Figura 6)
𝑥→∞^ lim 𝑛(𝑥) = lim 𝑥→∞𝑥^2 20𝑥²+ 𝑥 + 5 = 20
Ou seja, após um longo treinamento o empregado montará 20 computadores por dia.
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O desenvolvimento do cálculo diferencial está ligado às questões de tangente à uma curva. A utilização de símbolos algébricos no estudo do cálculo contribuiu para o desenvolvimento da Derivada. Tendo Newton desenvolvido seus cálculos através de seus estudos sobre Fluidos, Leibniz pensava em derivada como grandeza.
3.1. Definição: A derivada de uma função 𝑓 em um número 𝑎, denotada por 𝑓′(𝑎), é 𝑓′(𝑎) = lim ℎ⇾0^ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)ℎ Se o limite existir.
Podemos também escrever 𝑥 = 𝑎 + ℎ, sendo assim, ℎ = 𝑥 − 𝑎. Reescrevendo a função temos: 𝑓′(𝑎) = lim 𝑥⇾𝑎^ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎 Tomemos a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥^2 + 𝑥 − 2 como exemplo. Vamos encontrar a derivada da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑎. 𝑓′(𝑎) = lim ℎ⇾0^ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)ℎ
𝑓′(𝑥) = lim ℎ⇾0^ [3(𝑎 + ℎ)
𝑓′(𝑥) = lim ℎ⇾0^ [3𝑎
𝑓′(𝑥) = lim ℎ⇾0^ 3𝑎
𝑓′(𝑥) = lim ℎ⇾0^ 6𝑎ℎ + 3ℎ
𝑓′(𝑥) = lim ℎ⇾0 6𝑎 + 3ℎ + 1 = 6𝑎 + 1
Tratando a derivada como uma forma geométrica, temos que a derivada da função 𝑓 em 𝑥 0 , é a inclinação da reta 𝑟, tangente ao gráfico de 𝑓 em 𝑃 0.
