Geometria de Espaços Curvos: Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann, Notas de aula de Geometria

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A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria Não-Euclidiana

Vimos que a geometria Euclidiana funcionava muito bem em superfícies planas o que era de se esperar. Afinal das contas, a geometria Euclidiana é uma geometria plana.

Então, como podemos definir situações geométricas sobre uma superfície curva? Certamente a geometria Euclidiana não é satisfatória como mostraremos.

Vimos que na geometria Euclidiana a soma dos ângulos internos de um triângulo dá sempre o valor de 180o. Quando traçamos o mesmo ângulo sobre uma superfície curva isso já não é mais verdade. Era preciso então estabelecer uma nova geometria que pudesse resolver essas questões.

Alguns poderão estar fazendo a seguinte pergunta: a Terra é uma (quase) esfera, a geometria de Euclides funciona na Terra, então porque a geometria de Euclides não pode explicar uma geometria curva? Ocorre que, localmente, podemos considerarque estamos trabalhando em um plano. Entretanto, quando precisamos considerar grandes distâncias sobre a superfície da Terra a geometria de Euclides também não funciona. Isso é visto em navegação de longo curso, onde a curvatura da Terra não pode ser desprezada.

Para desenvolver uma geometria de espaço curvos foi necessária a colaboração de pesquisadores que marcaram a história da matemática. Entre esses nomes estavam Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann. Só que o preço pago por alguns desses matemáticos foi absurdamente alto. A hostilidade despertada a essas idéias fez com que esses matemáticos, com excessão de Gauss e Riemann, fossem duramente rejeitados por seus colegas e pelo público.

Johann Carl Friedrich Gauss

Este foi o maior matemático de sua época. Já aos sete anos de idade, ainda na escola elementar, Gauss mostrou seu potencial matemático ao demonstrar quase imediatamente a seus professores a soma dos número inteiros de 1 a 100 notando que isso representava a soma de 50 pares de número e que a soma dos números de cada par dava sempre o resultado 101.

Desde o início dos anos de 1800 Gauss começou a se interessar pela questão da possível existência de geometrias não-Euclidianas. Sabemos a partir dos seus livros de anotações que Gauss desenvolveu partes de uma nova geometria, não euclidiana, já nos anos de 1820. No entanto, Gauss sabia que a existência de uma geometria não Euclidiana faria uma perturbação imensa na matemática. Mais ainda, ele notou que a reação de seus colegas a essa descoberta, e a qualquer um que a apoiasse publicamente, seria extremamente dura. Desse modo Gauss preferiu manter seus status social e não divulgou os resultados de sua pesquisa. Deve ficar claro, entretanto, que Gauss não se acovardou cientificamente. Ele manteve correspondencia sobre o assunto com vários matemáticos de sua época, embora sem adaptar seu extenso trabalho para a forma de artigo científico.

Gauss também demonstrou grande interesse na chamada geometria diferencial. Ele publicou vários artigos sobre esse assunto e em 1828 apresentou um dos seus mais importantes artigos onde estava contido o famoso "teorema egregium" além de importantes idéias geométricas tais como a da curvatura Gaussiana.

János Bolyai

János Bolyai foi uma criança prodigio. Filho do matemático Farkas Bolyai, ele teve toda a sua infância voltada para o aprendizado da matemática. Tendo seu pai como professor desse assunto, aos treze anos János Bolyai já dominava todo o cálculo e várias formas de mecânica analítica.

Em 1832, após cinco anos de estudos, Bolyai publicou os resultados de sua pesquisa sobre geometrias não- Euclidianas como um apêndice a um trabalho volumoso de seu pai, o matemático Farkas Bolyai.

Bolyai teve uma vida dura. Ele morreu em 1860 e a cerimônia de seu enterro parecia um ritual de esquecimento. Apenas três pessoas estiveram presente para ver seus restos mortais serem colocados em um túmulo coletivo sem lápide. O registro de sua morte na igreja dizia apenas: "Sua vida passou inutilmente".

Curiosamente, Bolyai nunca publicou seus trabalhos exceto algumas poucas páginas no apêndice do livro de seu pai. No entanto, ele deixou mais de 20000 páginas de manuscritos de trabalhos sobre matemática desenvolvidos por ele até a sua morte.

A imagem de Bolyai mostrada ao lado foi tirada de um selo postal usado na Hungria. Alguns historiadores não acreditam que ela seja autêntica. Possivelmente não existem imagens do grande matemático János Bolyai.

Nicolai Ivanovich Lobachevski

Lobachevski era um dos três filhos de uma família russa muito pobre. Em 1800, quando Lobachevski tinha apenas sete anos de idade, seu pai faleceu e sua mãe mudou-se para a cidade de Kazan, próxima à fronteira com a Sibéria. Lá Lobachevski começou seus estudos, sempre financiado por bolsas escolares devido à pobreza de sua família.

Em 1804 o Czar Alexander I da Rússia reformou a Universidade de Kazan e convidou vários professores estrangeiros, principalmente da Alemanha, para ensinarem na Universidade. Um desse professores era Martin Bartels (1769 - 1833) que ocupou o cargo de professor de matemática da Universidade. Bartels era muito amigo de Gauss e os dois se correspondiam sobre assuntos cientificos com bastante freqüência. Foi Bartels que fez com que Lobachevski, inicialmente interessado em estudar medicina, se apaixonasse pela matemática.

O pricipal trabalho de Lobachevski foi "Geometriya" terminado em 1823 mas somente no dia 23 de fevereiro de 1826 é que ele fez sua famosa apresentação "Sobre os Fundamentos da Geometria" em uma sessão do Conselho Científico do Departamento de Física e Matemática da Universidade de Kazan. Esse trabalho foi publicado em 1829.

O interesse de Lobachevski na geometria não-Euclidiana fez com que ele fosse visto na Russia como uma "pessoa excêntrica", para usarmos um termo delicado. Ele foi atacado em um artigo humilhante e ignorante publicado no periódico "O Filho da Pátria" ao mesmo tempo em que membros distintos da comunidade de matemáticos russos faziam zombarias e publicavam rudes comentários sobre ele. Todos os estudantes de Lobatchevski o abandonaram e no seu funeral, quando era comum serem realizados discursos enaltecendo a obra do defunto, nada foi dito sobre o assunto que foi a principal investigação de sua vida: a geometria não- Euclidiana.

Ao contrário da geometria Euclidiana, as geometrias que estamos agora apresentando são definidas sobre a superfície de uma esfera ou de um hiperbolóide (algo parecido com a sela de um cavalo)

As imagens abaixo mostram essas duas geometrias. Dizemos que uma superfície esférica tem uma curvatura positiva enquanto que a superfície de um hiperbolóide tem curvatura negativa.

Vemos que em uma superfície com curvatura positiva a soma dos ângulos internos de um triângulo traçado nessa superfície é maior que 180 graus. No caso de uma superfície com curvatura negativa a soma desses ângulos internos será menor que 180 graus.

Como a Teoria da Gravitação de Einstein prevê que o existência de curvatura no espaço-tempo, necessariamente ela terá que utilizar as geometrias não-euclidianas.

Existe um número muito grande de espaços possíveis e cada um deles tem sua própria geometria. Todos eles são igualmente válidos e auto-consistentes. O espaço Euclideano, por exemplo, é uniforme. Ele é homogêneo e isotrópico.

Por homogêneo queremos dizer que suas propriedades são as mesmas em qualquer local definido sobre ele.

Ser isotrópico significa que suas propriedades não dependem da direção em que são consideradas.

Além disso o espaço Euclidiano tem uma geometria de congruência. Isso quer dizer que nele todas as formas espaciais são invariantes sob translação e/ou rotação. Deste modo, se o raio da circunferência e

diâmetro de um círculo é ʌ este raio é o mesmo em todos os pontos para todos os círculos.

De todos os possíveis espaços não Euclideanos existem somente dois que também são uniformes (ou seja, homogêneos e isotrópicos) do mesmo modo que o espaço Euclideano. Ambos foram descobertos no século XIX.

O primeiro tem uma geometria hiperbólica e foi descoberto a partir dos trabalhos do matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss , do matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevski e do matemático húngaro János Bolyai.

O segundo tem a geometria esférica e foi descoberto pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann.

O trabalho de Riemann

O passo seguinte no desenvolvimento da geometria não-Euclidiana foi feito pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann. Para obter uma posição de professor assitente na Universidade de Göttingen Riemann tinha que fazer uma palestra que serviria como teste. Seguindo o procedimento existente ele apresentou ao departamento três tópicos para que fosse escolhido o seu assunto de palestra. Dois desses tópicos versavam sobre problemas correntes entre os matemáticos da época enquanto que o terceiro estava voltado para os fundamentos da geometria. Embora esse último assunto fosse o menos preparado por Riemann, Gauss o escolheu querendo saberv como um jovem matemático trataria tema tão dificil.

Riemann deu sua palestra sobre esse tema, que mais tarde foi publicada com o título de "Sobre as Hipóteses subjacentes aos fundamentos da Geometria", com sucesso absoluto. Após o término da palestra Gauss permaneceu em silêncio e então levou Riemann aos céus, algo bastante raro de ser feito por ele.

Gauss ficou impressionado pela abordagem feita por Riemann para a geometria não-Euclidiana pelo fato de que ela era bem diferente daquelas apresentadas por seus antecessores. Aparentemente Riemann não sabia nada sobre os trabalhos de Lobachevski e Bolyai e tinha somente uma vaga idéia do interesse de Gauss pelo assunto. O sucesso de Riemann se deve ao fato dele ter incorporado em seu estudo duas idéias extremamente férteis: o aparato matemático de Gauss para descrever a geometria de superfícies curvas bi-dimensionais e seu próprio novo conceito de variedade multidimensional ou seja, objetos geométricos com múltiplas dimensões.

Uma superfície é uma variedade bi-dimensional, um espaço é uma variedade tri-dimensional, etc. Como essa é a única diferença entre elas todas as idéias e métodos usados para descrever superfícies bi-dimensionais podem ser agora diretamente aplicados a espaços curvos tri-dimensionais. Entre as noções usadas a mais importante é aquela de métrica ou seja, a forma quadrática para as diferenças entre coordenadas que descreve o comprimento do intervalo entre dois pontos vizinhos em uma variedade curva.

Geodésicas

A teoria relativística da gravitação trata, em geral, com espaço-tempo curvos. Em espaço-tempo desse tipo os movimentos das partículas assim como o da luz são curvos. Entretanto, essas curvas têm uma característica comum com as linhas retas.

Do mesmo modo que as linhas retas são as trajetórias mais curtas conectando dois pontos de um espaço plano, os movimentos nos espaços-tempo curvos percorrem as linhas curvas mais curtas entre dois pontos. Tais curvas são chamadas geodésicas. Por exemplo, sobre a superfície de uma esfera podemos traçar somente curvas e não linhas retas. De todas as curvas que conectam dois pontos a mais curta é o arco de um grande círculo. Por conseguinte as geodésicas sobre a superfície de uma esfera são os arcos de grandes círculos.

A luz segue curvas geodésicas. Dizemos que a luz não se move uniformemente ao longo de linhas retas não porque ela está sujeita a alguma força mas por que o espaço-tempo é curvo. Isso é muito importante por que mostra que o conceito de força foi substituido pelo conceito geométrico de curvatura do espaço-tempo.

A teoria da relatividade geral trata, em geral, com espaços-tempo curvos. Nesses espaços-tempo os movimentos das partículas, asim como da luz, são descritos por linhas curvas. Entretanto essas linhas curvas têm uma característica comum com as linhas retas.

Geometria e cosmologia

A geometria do espaço é de grande importancia para a cosmologia uma vez que a teoria relativística da gravitação se apoia inteiramente na idéia de que a geometria do espaço em qualquer local no Universo está diretamente relacionada com a intensidade do campo gravitacional naquele local. Quanto mais intenso é o campo gravitacional então mais forte será a curvatura correspondente.

Poderíamos dizer, de uma maneira bastante livre e baseado exclusivamente nas questões de geometria discutidas acima, que em um contexto cosmológico os três tipos de curvaturas podem nos dar

• o universo de curvatura positiva corresponde a um universo que se expandirá até uma certa sepração entre as galáxias e então contrairá de volta até um espaço zero. Este é o chamado universo fechado.
• o universo de curvatura zero corresponde a um universo que se expande para sempre, diminuindo sua velocidade à medida que faz isso. Este é o chamado universo espacialmente plano.
• o universo de curvatura negativa corresponde a um universo que se expandirá para sempre. Este é o chamado universo aberto.