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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Parte 6
Pré-Cálculo 1
A função afim
Pré-Cálculo 2
A função afim
Uma função f : R → R chama-se afim se existem constantes
a, b ∈ R tais que f (x) = a x + b para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x 7 → f (x) = 2 x + 3
Proposição
O gráfico de uma função afim f : x 7 → y = f (x) = a x + b é uma reta.
Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são colineares. Sejam, portanto,
P 1 = (x 1 , ax 1 + b), P 2 = (x 2 , ax 2 + b) e P 3 = (x 3 , ax 3 + b).
Para verificar que P 1 , P 2 e P 3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos três números d(P 1 , P 2 ), d(P 2 , P 3 ) e d(P 1 , P 3 ) seja igual à soma dos outros dois.
Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x 1 , x 2 e x 3 foram ordenadas de modo que x 1 < x 2 < x 3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá:
d(P 1 , P 2 ) =
(x 2 − x 1 )^2 + a^2 (x 2 − x 1 )^2 = (x 2 − x 1 )
1 + a^2 ,
d(P 2 , P 3 ) = (x 3 − x 2 )
1 + a^2 ,
d(P 1 , P 3 ) = (x 3 − x 1 )
1 + a^2.
Daí se segue imediatamente que d(P 1 , P 3 ) = d(P 1 , P 2 ) + d(P 2 , P 3 ).
Cuidado!
O gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas
nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim!
Pré-Cálculo 5
Observaçoes
O gráfico de uma função afim f (x) = a x + b é uma reta.
(1) a é o coeficiente angular (com relação ao eixo x) e b é o
coeficiente linear da reta.
(2) O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da
reta com o eixo y.
Pré-Cálculo 6
A função afim
Se P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 ) são dois pontos distintos do gráfico de f (x) = ax + b, então o coeficiente angular é igual a variação em y dividida pela variação em x, ou seja
a = y 2 − y 1 x 2 − x 1
Demonstração: Como P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 ) são dois pontos distintos
do gráfico de y = ax + b, segue que y 1 = ax 1 + b e y 2 =
ax 2 + b. Logo:
y 2 − y 1 = ax 2 + b − (ax 1 + b)
⇐⇒ y 2 − y 1 = ax 2 + b − ax 1 − b
⇐⇒ y 2 − y 1 = a(x 2 − x 1 )
⇐⇒ a =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
Portanto, o coeficiente angular é igual a variação em y dividida pela
variação em x.
Observação
O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual a
tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma escala
foi usada nos dois eixos coordenados.
Atividade 1
Determine a expressão da função afim f : R → R, sabendo que os
pontos (− 1 , 2 ) e ( 2 , 5 ) pertencem ao gráfico da função.
Outra Solução: Como f é uma função afim, sua expressão é
da forma f (x) = ax + b, com a, b ∈ R.
Como os pontos (− 1 , 2 ) e ( 2 , 5 ) pertencem ao gráfico da função,
f (− 1 ) = 2 e f ( 2 ) = 5, assim,
a =
f ( 2 ) − f (− 1 )
Sendo (x, y) um ponto qualquer da reta e sabendo que ( 2 , 5 ) também
é um ponto da reta, segue que sua equação é
y − 5 = 1 (x − 2 ) ⇐⇒ y = x + 3.
Com isso, f (x) = x + 3.
Pré-Cálculo 13
Atividade 2
Determine a expressão da função afim f : R → R, sabendo que os pontos (− 1 , 2 ) e (− 1 , 5 ) pertencem ao gráfico da função.
Solução: Note que os pontos dados pertencem a uma mesma reta vertical, logo não podem estar ambos no gráfico de uma função! Assim, não existe função f : R → R satisfazendo à condição.
Mas, se tivéssemos tentado resolver como na atividade anterior, supondo que exista f (x) = ax + b passando pelos pontos, chegaríamos ao sistema { a · (− 1 ) + b = 2 a · (− 1 ) + b = 5 logo
−a + b = 2 −a + b = 5
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos 0 = −3, que é um absurdo. Este absurdo veio do fato de termos suposto que f (x) = ax + b, isto é, que existe uma função linear cujo gráfico contenha os pontos dados.
Pré-Cálculo 14
A função linear
A função linear
Uma função f : R → R chama-se linear se existe constante
a ∈ R tal que f (x) = a x para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x 7 → f (x) = 2 x
Observação
Se y = f (x) = a x é uma função linear, então
i) f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) para todo x 1 , x 2 ∈ R
ii) f (cx) = c f (x) para todo c, x ∈ R.
Pré-Cálculo 17
Atividade 3 Se uma função afim f : R → R é tal que f ( 0 ) = 0, prove que f é uma função linear.
Solução: Como f é uma função afim, sua expressão é da forma f (x) = ax + b, com a, b ∈ R.
Pré-Cálculo 18
Atividade 4
Se uma função afim f : R → R é impar, prove que f é uma função linear.
Solução: Como f é uma função afim, f (x) = ax + b, com a, b ∈ R.
Como f é ímpar, f (− 1 ) = −f ( 1 ) (o 1 foi escolhido sem critério, poderíamos ter utilizado, por exemplo, f (− 2 ) = −f ( 2 )). Assim,
a · (− 1 ) + b = f (− 1 ) = −f ( 1 ) = −(a · 1 + b),
Logo, −a + b = −a − b, e, portanto, b = −b, , que nos dá b = 0. Com isso, f é linear.
Problema 1
Uma empresa telefônica cobra R$ 0,60 por ligação de 15 minutos. Sabendo que o custo da ligação é diretamente proporcional à duração da conversa, determine o custo de um telefonema de t minutos.
Resolução: Como o custo da ligação (C) é diretamente proporcional à duração (t) da conversa, segue que C(t) = kt, onde k é a constante de proporcionalidade. Como a empresa telefônica cobra R$ 0, por ligação de 15 minutos
C( 15 ) = k( 15 ) ⇐⇒ 0. 60 = 15 k ⇐⇒ k =
0 , 60 reais 15 min = 0 , 04 reais/min ,
ou seja, 4 centavos por minuto. Assim, para uma ligação de t minutos, o custo, em reais, é dado pela função C(t) = 0 , 04 t
Usando essa função a companhia telefônica é capaz de calcular facilmente o valor de qualquer ligação telefônica.
