Equação de Bernoulli: Princípio de Conservação de Energia em Fluidos Incompressíveis, Slides de Mecânica dos fluidos

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A equação de Bernoulli

PME3230 – Equação de Bernoulli - 2018 Prof. Marcos Tadeu Pereira

A equação de Bernoulli é uma das mais usadas na mecânica dos fluidos, devido à sua simplicidade e eficácia para resolver problemas de escoamentos incompressíveis, em regime permanente e com viscosidade desprezível. A equação de Bernoulli pode ser obtida, por ex., com a simplificação da equação de Euler, ou da equação de Navier-Stokes, ou com a 1ª lei da termodinâmica , ou com a aplicação da 2ª Lei de Newton. Vamos usar o método do balanço de forças aplicado a um diagrama de corpo livre, com a 2ª Lei de Newton aplicada a uma partícula de fluido em uma linha de corrente. Observar que não deve ser aplicada perto de camadas limites ou esteiras, onde há gradientes de velocidade: (𝜏 = 𝜇 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦

Linha de corrente (raio de curvatura) 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠ã𝑜 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 , 𝑎 𝑥 − 𝑎 1 1!

𝑓 ,, 𝑎 𝑥 − 𝑎 2 2!

𝑓 ,,, 𝑎 𝑥 − 𝑎 3 3!

• ⋯ considere um sistema de coordenadas intrínseco:

𝑛

𝑠

𝑠 𝑝𝑑𝐴 − 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑠

Tomando-se (1) e dividindo por 𝑑𝑠𝑑𝐴 e fazendo as substituições: −

Se a expressão anterior for dividida por g, resulta

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐 𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝 𝛾

• ℎ é chamada de carga piezométrica 𝑒 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟ê𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒎𝒆𝒄â𝒏𝒊𝒄𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍. 𝐴 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎. A 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠: 𝑝 + 𝜌 𝑉 2 2 = 𝑝𝑇 é chamada pressão total 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑛𝑎çã𝑜 Observar que a equação de Bernoulli pode ser considerada um “Princípio de conservação de energia mecânica”, pois não há perdas por atrito a serem consideradas, ou seja não há conversão de energia mecânica para energia térmica

Matriz de tubos de Pitot atrás da roda, para determinar o campo de velocidades

Pressão de estagnação Pressão estática^ Pressão total