Baixe Construção de Polígonos Regulares e Teoremas Relacionados e outras Resumos em PDF para Construção, somente na Docsity!
A Construção do Pentágono
Regular segundo Euclides
†
por
Alex Cristophe Cruz da Silva
sob orientação do
Prof. Doutor Pedro Antonio Hinojosa Vera
e co-orientação do
Prof. Doutor Fernando Antonio Xavier de Souza
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito parcial para obtenção do tí- tulo de Mestre em Matemática.
Julho/ João Pessoa - PB †O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
Dedicatória
Ao meu pai José Cassimiro, à minha mãe Betânia Cristina (in memorian),à minha esposa Emetéria (Telma),à meus lhos Alex Júnior e Alexia, à minha madrinha Tereza.
Resumo
Neste trabalho, apresentamos algumas construções do pentágono regular, sendo a principal delas uma construção de Euclides encontrada no seu livro Os Elementos. Apresentamos, também, algumas aplicações desta contrução.
Palavras-chave: Polígonos regulares, Pentágono, Euclides, Segmento Áureo.
v
Sumário
- 1 Euclides de Alexandria - Um pouco de História
- 1.1 Introdução
- 1.2 Alexandria e Euclides
- 1.3 Obras Perdidas e Os Elementos
- 2 A construção do pentágono regular
- 2.1 Introdução
- 2.2 Os Polígonos regulares
- 2.3 Construções do Pentágono Regular
- 2.4 Outras Construções
- 3 Aplicações
- 3.1 Introdução
- 3.2 Elementos Notáveis do Polígono
- 3.3 Cálculo do Lado e Apótema do Polígono
- A O Segmento Áureo
- Referências Bibliográ cas
Introdução
A matemática é uma ciência de aspecto único do pensamento humano e se di- fere de todas as outras ciências, ela possui inúmeros ramos para todos os possíveis estudantes dessa magní ca ciência exata. De seus ramos, a geometria é um desses que tem as mais diversas aplicações, que são utilizadas dos primórdios da civilização humana até o momento atual. A geometria, em especial, tem grande aplicabilidade e a falta de um manual dessa área da matemática fez com que alguns matemáticos produzissem os seus primeiros manuais de ensino (primórdios dos livros). Dentre esses autores destaca-se Euclides de Alexandria o qual escreveu vários livros, entre estes Os Elementos. Esta dissertação faz um apanhando histórico do pouco do que se sabe sobre Euclides. No capítulo I, será dada informações sobre: Alexandria, os livros perdidos de Euclides, o livro Os Elementos do qual faremos uma abordagem sintética de cada capítulo, informando o seu conteúdo para que o leitor, que queira mais informações sobre o mesmo, tenha uma referência. No capítulo II, serão desenvolvidos os conceitos de polígonos regulares, com demonstrações de inscrição e circunscrição destes polígonos na circunferência; logo após é feita uma sequência lógica de teoremas e construções usadas por Euclides, do teorema de Pitágoras, inscrição de quadriláteros em uma circunferência, incluindo a construção do segmento áureo, dado um segmento qualquer, construção de um triângulo isósceles em que os ângulos da base é o dobro do ângulo do vértice, dado um segmento qualquer, as demonstrações feitas todas são com equivalência de áreas. Elas justi cam, matematicamente, a construção do pentágono regular feita com régua e compasso, depois apresentamos mais três construções diferentes. O capítulo é nalizado com a demonstração que o segmento áureo da diagonal do pentágono regular é congruente com o lado desse polígono.
Capítulo 1
Euclides de Alexandria - Um pouco
de História
1.1 Introdução
Neste capítulo falaremos sinteticamente o que ocorria na época de Euclides. Dissertaremos um pouco deste matemático fascinante e sobre o seu livro que serve de base para o estudo de uma área da matemática que provoca fascínio em vários estudiosos - a geometria.
1.2 Alexandria e Euclides
A morte de Alexandre, o Grande, levou a con itos mortais entre os generais do exército grego. O controle da parte egípcia estava nas mãos dos Ptolomeus, os governantes macedônicos do Egito. Ptolomeu I assentou o alicerce da Universidade de Alexandria - Museu e Biblioteca - ela foi nanciada tanto por Ptolomeu I como pelo seu lho Ptolomeu II. Deste centro acadêmico ele recrutou um grupo de sábios, os de primeira linha e em diversas áreas. Entre esses sábios se encontra Euclides - o autor de um dos livros mais estudado depois da Bíblia, Os Elementos (Stoichia). É interessante frisar que a Universidade de Alexandria, após uns 40 anos, ostentava mais de 600.000 rolos de papiro e em 300 a.C. a universidade abriu as portas e, com isso, a cidade de Alexandria se tornou a metrópole de amplo conhecimento
Euclides de Alexandria - Um pouco de História Capítulo 1
intelectual grego (veja [1]). Pouco se sabe sobre a vida de Euclides, apenas que, sem dúvida, ele foi professor da primeira universidade que já se ouviu falar, a famosa Universidade de Alexandria. Trata-se da primeira instituição em que sua organização tem semelhança com as que existem atualmente. É uma infelicidade que não existem registros históricos da data e do local do nascimento de Euclides, mas sabe-se que, provavelmente, sua formação foi na escola platônica de Atenas. As obras que sobreviveram do destino trágico do esquecimento são: Os elementos, Os dados, Divisão de guras, Os Fenômenos e Óptica. segundo [1] aparece um retrato de Euclides em vários livros de história da matemática, essa imagem é de Euclides de Samara (veja [1], [2], [3]).
1.3 Obras Perdidas e Os Elementos
Do que Euclides produziu, mais da metade foi perdido, bem como uma obra sobre cônicas de quatro volumes [1], também um tratado sobre Lugares Geométricos Sóli- dos(nome grego para as secções cônicas), de Aristeu, a obra dele foi superada pela a de Apolônio. Entre as obras que também foram perdidas temos uma sobre Lugares Geométricos de Superfície, outra sobre Pseudaria (ou falácias) e uma terceira sobre Porisma, segundo Papus um porisma é algo intermediário entre um teorema, uma proposta de demonstração, ou uma construção para resolver um problema; outros descrevem como uma proposição em que se determina uma relação entre as quan- tidades conhecidas e variáveis ou indeterminadas, talvez a melhor proximidade de uma ideia de função (veja [1], [2]). Os Elementos de Euclides é, sem dúvida, um dos livros mais citado e estudado. Nenhum livro, com exceção da bíblia exerceu uma grande in uência no pensamento cientí co; segundo as informações descritas em [1] e [2], ambos a rmam que antes deste Elementos, existiram outros como a versão de Hipócatres de Chios, mas não é encontrada nenhuma versão anterior a de Euclides, pois de tão bem elaborada foi a que sobreviveu derrubando os seus concorrentes da época. Uma visão geral de alguns professores que acreditam que esse livro é um compêndio de geometria, entretanto esse achado fala de um texto introdutório cobrindo toda a matemática elementar. Ele aborda os seguintes conteúdos: aritmética (teoria dos números), geometria sintética (pontos, retas, planos, círculos e esferas) e álgebra. Todo esse
Euclides de Alexandria - Um pouco de História Capítulo 1
segmento de reta dado, nele existe uma fórmula para calcular cem ternos pitagóricos. Os livros XI, XII e XII falam sobre a geometria sólida (espacial), com exceção da esfera e o último a inscrição dos cinco poliedros de Platão em uma esfera. Com esse riquíssimo material, Os Elementos torna-se o livro mais completo da época em preparar o estudante à iniciação dos estudos matemáticos onde é com- parado como o necessário para aprender matemática, assim como são as letras do alfabeto são para aprender a ler (para maiores descrições destes livros veja [1], [2]).
Capítulo 2
A construção do pentágono regular
2.1 Introdução
Neste capítulo, mostraremos a construção do pentágono regular inscrito em uma circunferência, que é ponto alto do Livro IV de Os Elementos. Essa construção não usa semelhança, se baseia apenas na equivalência de áreas [8]. Para sua construção ele utiliza uma sequência lógica de proposições que são estudadas ao longo dos Livros I, II, III e IV, são as proposições IV.10 e IV.11 onde é feita essa construção. A sequência lógica, neste trabalho, será a mesma desenvolvida por Euclides como o fez em seu livro. Ao leitor, muitas vezes, pergunta-se de onde vem certas a rmações. Euclides, em cada livro, escreve de nições, postulados e noções comuns que são utilizados em suas demonstrações e construções sem a necessidade de informá-la na mesma, já que está sendo aplicada sem a necessidade de demonstrá-la, apenas como aceitável. Todas essas de nições, postulados podem ser encontrados em [4].
2.2 Os Polígonos regulares
De nição 2.1 Um polígono é regular se, e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.
Ou seja, um polígono regular é equilátero e equiângulo.
De nição 2.2 Denomina-se arco de circunferência a cada uma das partes em que ela é dividida por um par de seus pontos (veja gura 2.1).
A construção do pentágono regular Capítulo 2
Figura 2.3:
Teorema 2.5 Dividindo-se uma circunferência em n (n > 3) arcos congruentes, temos: 1- todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, formam um polígono regular de n lados inscrito na circunferência; 2- as tangentes traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular de n lados circunscritos à circunferência.
Demonstração: Sejam A 1 , A 2 , · · · , An− 1 , An os n pontos de divisão da circunfe- rência C (veja gura 2.4). O polígono A 1 A 2 · · · An− 1 An é de n lados é inscrito, pois
Figura 2.4:
todos os vértices pertencem à circunferência C. Sendo
A construção do pentágono regular Capítulo 2
arcoA 1 A 2 ≡ arcoA 2 A 3 ≡ · · · ≡ arcoAn− 1 An ≡ arcoAnA 1 (2.1)
então
A 1 A 2 ≡ A 2 A 3 ≡ · · · ≡ An− 1 An ≡ AnA 1 (2.2)
Pois, numa mesma circunferência, arcos congruentes subtendem cordas congruentes. Os ângulosA 1 , A 2 , A 3 , A 4 , · · · , An− 1 , An são congruentes, pois cada um deles é ângulo inscrito em C e tem por medida metade da soma de (n − 2) dos arcos congruentes em que C cou dividida. De (2.1) e (2.2) concluímos que A 1 A 2 · · · An− 1 An é um polígono regular de n lados inscrito na circunferência C, isto prova a primeira parte do teorema.
Figura 2.5:
Pelos pontos da divisão, que também são vértices de um polígono regular qual- quer inscrito na circunferência C, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , · · · , An− 1 , An conduzimos tangentes a C nesses vértices e obtemos o polígono A′ 1 A′ 2 A′ 3 A′ 4 · · · A′ n− 1 A′ n de n lados circuns- crito a C (veja gura 2.5). Os triângulos ∆A′ 1 A 1 A 2 , ∆A′ 2 A 2 A 3 , ∆A′ 3 A 3 A 4 , ∆A′ 4 A 4 A 5 , · · · , ∆A′ n− 1 An− 1 An e ∆A′ nAnA 1 são triângulos isósceles, pois cada um dos ângulos A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , · · · , An− 1 e An destes triângulos, tem medida igual a metade da medida de uma das partes con-
A construção do pentágono regular Capítulo 2
De modo análogo temos que A 5 ∈ C (basta considerar ∆OA 3 A 2 e ∆OA 4 A 5 ), · · · , An− 1 ∈ C e An ∈ C, e o polígono A 1 A 2 A 3 A 4 · · · An− 1 (basta considerar ∆OAn− 3 An− 4 e ∆OAn− 2 An− 1 ) An (basta considerar ∆OAn− 1 An− 2 e ∆OAnA 1 ) inscrito na circun- ferência C(veja [6]). Da unicidade da circunferência que passa por A 1 A 2 A 3 sai a unicidade de C por A 1 A 2 A 3 A 4 · · · An− 1 An.
Teorema 2.7 Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.
Figura 2.7:
Demonstração: Seja A 1 A 2 · · · An− 1 An o polígono regular. Em vista do Teorema 2.6, ele é inscrito numa circunferência C (veja gura 2.7). Seja O o centro dessa cir- cunferência. Os lados A 1 A 2 , A 2 A 3 ,· · · , An− 1 An, AnA 1 são cordas congruentes de C, por isso distam igualmente do centro O. Sendo A′ 1 , A′ 2 , · · · , A′ n− 1 , A′ n os respectivos pontos médios dos lados A 1 A 2 , A 2 A 3 ,· · · , An− 1 An, AnA 1 , temos OA′ 1 ≡ OA′ 2 ≡ · · · ≡ OA′ n− 1 ≡ OA′ n (distância do centro a cordas congruentes) donde se conclui que O é o centro de uma circunferência C′^ que passa pelos pontos A′ 1 , A′ 2 , · · · , A′ n− 1 , A′ n. E ainda sendo OA′ 1 ⊥A 1 A 2 , OA′ 2 ⊥A 2 A 3 , · · · , OA′ n− 1 ⊥An− 1 An e OA′ n⊥AnA 1 , temos que A 1 A 2 · · · An− 1 An tem lados tangentes a C′. Conluímos que o polígono regular A 1 A 2 A 3 A 4 · · · An− 1 An é circunscrito à circunferência C′.
A construção do pentágono regular Capítulo 2
Unicidade de C′, se existisse outra circunferência inscrita no polígono A 1 A 2 A 3 A 4 · · · An− 1 An, ela passaria pelos pontosA′ 1 , A′ 2 ,A′ 3 · · · , e seria, então coincidente com C′(veja [6]).
2.3 Construções do Pentágono Regular
Teorema 2.8 Se um quadrilátero tem dois lados paralelos e congruentes entre si ele é um paralelogramo.
Figura 2.8:
Demonstração: Seja o quadrilátero ABCD, com AB = CD e AB//CD (veja gura 2.3). Queremos mostrar que AD = BC e BC//AD. Unindo-se B a D, cam formados os triângulos ABD e BCD. Tais triângulos são congruentes pelo critério LAL, pois BD é um lado comum, o ∠ABD = ∠BCD (alternos-internos) e AB = CD. Logo, BC = AD e o ∠ADB = ∠CBD. Logo, BC//AD ([5]).
Teorema 2.9 Se pelo ponto médio de um lado de um triângulo for traçada a paralela a outro lado, essa paralela cortará o terceiro lado em seu ponto médio. Reciproca- mente, a reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado.
Demonstração: Seja o triângulo ABC e o ponto M, médio de AB (veja gura 2.9) Por M traçamos uma paralela a BC, cortando o lado AC no ponto N. Queremos, inicialmente, provar que N é ponto médio de AC, ou seja, NA = NC. Por C tracemos a paralela a AB, cortando a reta MN no ponto D. O quadrilátero BCDM é um paralelogramo (lados opostos paralelos, por cons- trução). Logo, BM = CD e MD = BC. Como BM = CD e BM = AM (M é o ponto
