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7 – Séries de Fourier
- 7.1 – Introdução à Análise de Fourier
- 7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos
- 7.3 – Teorema de Fourier
- 7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier
- 7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos
- 7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier
- 7.7 – Propriedades da Série de Fourier para sinais contínuos
- Linearidade
- Translação no tempo (“ time shifting ”)
- Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal ”)
- Escalonamento no tempo (“ time scaling ”)
- Multiplicação
- Conjugação
- Translação na frequência (“ frequency shifting ”)
- Convolução no período
- Derivada
- Integral
- Relação de Parseval
- 7.8 – Série trigonometria de Fourier para sinais discretos
- Exemplo 7.3
- Exemplo 7.4
- Exemplo 7.5
- Exemplo 7.6
- Exemplo 7.7
- 7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos
- Linearidade
- Translação no tempo (“ time shifting ”)
- Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal ”)
- Escalonamento no tempo (“ time scaling ”)
- Multiplicação
- Conjugação
- Translação na frequência (“ frequency shifting ”)
- Convolução no período
- Primeira diferença
- Soma acumulada
- Relação de Parseval
A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequên-
cia (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processa-
mento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística as-
sim como em muitas outras áreas.
Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas
para resolverem problemas diversos da Física: suíço Leonhard Euler (1707-1783), o
francês Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-
1782).
Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas
para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “ Mémoire
sur la théorie de la chaleur ”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com
grande formalismo.
Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos: o alemão Johann Peter Gustav
Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e precisão.
Fig. 7.2 – Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada).
7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos
Considere um sinal periódico contínuo x(t) ∈ R {conjunto dos números reais}, ∀ t.
O sinal x(t) pode ser expresso como:
∑[^ (^ )^ (^ )]
∑
∞
=
∞
=
= + ⋅ ω + ⋅ ω
π + ⋅
π = + ⋅
k 1
k o k o
0
k 1
k k
0
a cos kt b sen k t 2
a
kt T
kt b sen T
a cos 2
a x(t)
eq. (7.1)
onde:
T = período fundamental do sinal x(t),
ωo = frequência fundamental do sinal x(t),
∫^ (^ )
∫
= ⋅ ω
π = ⋅
T
o
T
k
x(t) cos kt dt T
kt dt T
x(t) cos T
a
k = 0, 1, 2, … eq. (7.2)
∫^ (^ )
∫
= ⋅ ω
=
⋅
π = ⋅
T
o
T
k
x(t) sen kt dt T
2
kt dt T
2 x(t) sen T
2 b
k = 1, 2, … eq. (7.3)
sendo que as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do período T do sinal
periódico x(t).
Observe que existe ao na série ak [eq. (7.2)], mas não existe bo na série bk [eq. (7.3)].
Além disso, ao (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-
cada pois, como
kt cos ( kt) 1 , para k 0, T
2 cos (^) = ωo = =
⋅
π
então,
Teorema 7.1 (Teorema de Fourier):
Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T, então a
série de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para:
a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t ;
b) ½ [ x(t+
) + x(t+
) ] , o sinal x(t) for descontínuo no instante t.
Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourier acima é
muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são
seccionalmente diferenciáveis.
Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem
aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma)
forem adicionados, melhor será a aproximação.
Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então:
x (^) n (t) → x(t )
nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e
[ ]
2
x(t 0 ) x(t 0 ) x (^) n(t)
→
nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t.
Exemplo 7.1:
Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada),
definido num intervalo (de t = –1 até t = 1) ilus-
trado na figura 7.4.
Fig. 7.4 – Sinal da onda quadrada em
um período (de t = –1 até 1).
1 , se 0 t 1
1 , se 1 t 0
x(t)
Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de
t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ).
Fig. 7.5 – Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞).
Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já pode ser aproximado por uma
série de Fourier.
De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-
minado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por
uma série de Fourier.
Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-
nido acima temos, para ao primeiramente,
x(t) dt ( 1 )dt ( 1 )dt 0 T
a
1
0
0
1 T
o =^ ∫ ⋅ =∫− − +∫ =
Como o período fundamental é T = 2, então
T
o
e portanto,
( )
( ) ( )
( [ ( )] [ ( )] )
0 , k 1,2, ...
sen k t sen k t k
( 1 ) cos k t dt 1 cos k t dt
x(t) cos k t dt T
a
1 0
0 1
1
0
0
1
1 k 1
− π + π = π
= − ⋅ π + ⋅ π =
= ⋅ π =
−
−
−
Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t)
é simplesmente o seno
x(t) = b 1 sen(πt) = (4/π) sen(πt)
Fig. 7.6 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com apenas um termo (k = 1).
Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos não nulos, até k = 3,
pois b 2 = 0) temos a soma de 2 senos (e já nota-se 2 picos no sinal aproximado pela
série):
x(t) = b 1 sen(πt) + b 3 sen(πt)
Fig. 7.7 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3).
Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5,
pois b 2 = 0 e b 4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora já nota-se 3 picos no sinal
aproximado pela série):
x(t) = b 1 sen(πt) + b 3 sen(πt) + b 5 sen(πt)
Fig. 7.8 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5).
e assim por diante.
As duas últimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta série até k = 11 (6 termos
não nulos) e até k = 49 (25 termos não nulos), respectivamente.
Fig. 7.9 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11).
Fig. 7.10 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de Fourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49).
Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando
cada vez mais próximo do original, a onda quadrada.
Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para o pró-
prio valor de x(t).
Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares. Recorde-se que,
- A soma de 2 sinais pares é um sinal par.
- A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar.
- O produto de 2 sinais pares é um sinal par.
- O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par.
Logo, se x(t) é um sinal par , então os coeficientes bk da série de Fourier para x(t) são
todos iguais a zero:
kt dt 0 , k 1 , 2 , 3 , ... T
x(t) sen T
b T
k = =
π = (^) ∫ ⋅
e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos.
Mas se x(t) é um sinal ímpar , então os coeficientes ak da série de Fourier para x(t) são
todos iguais a zero (incluindo ao):
kt dt 0 , k 0 , 1 , 2 , 3 , ... T
2 x(t) cos T
2 a T
k = =
⋅
π = (^) ∫ ⋅
e portanto, a série de Fourier é uma série de senos.
De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par , então os ak’s eram todos
iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …, e a série de Fourier era uma série de senos.
7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier
A “ série de Fourier ” pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinal
x(t), em um espaço de sinais.
Recorde-se um vector v no espaço R
n é representado como a soma
v = α 1 ⋅e 1 +α 2 ⋅e 2 +L+αn⋅e n
onde e 1 , e 2 , … en, são os vectores
, e
, e
e 1 2 n
M
L
M M
ou seja, {^ e 1 ,e 2 ,L^ en}, os chamados vectores canónicos e formam uma base do R
n ;
e α 1 , α 2 , … αn, são os coeficientes do vector v nesta base {^ e 1 ,e 2 ,L^ en}.
Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma da
eq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos.
Note que aqui o espaço não é mais o espaço de vectores (R
n
, que tem dimensão n)
mas sim um espaço de sinais, que terá dimensão infinita. A base do espaço não será
mais formada pelos vectores e 1 , e 2 , … en , mas agora pelos sinais senos e co-senos
π kt T
cos (^) e
π kt T
sen
definidos nas equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3). Além disso, os coeficientes
que representam o sinal x(t) nesta base não serão mais α 1 , α 2 , … αn, mas agora serão
os
ak e bk.
Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais.
Claro que a expressão da eq. (7.1) é definida apenas para sinais periódicos, Entretanto,
já vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definido em um intervalo finito
qualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assim
periódico e desta forma pode ser descrito também na forma da eq. (7.1). As figuras
7.4 e 7.5 ilustravam isto.
Outro detalhe: no espaço R
n os próprios vectores da base e 1 , e 2 , … en eram repre-
sentados (de forma única) como
i 0 e 1 0 e 2 1 ei^0 e n
e = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
= L L
M
Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e 1 , e 2 , … en da base são “ ortogo-
nais ” entre si.
Aqui, neste espaço de sinais cuja base é formada por senos e co-senos , o produto
escalar entre 2 sinais pode ser definido como:
< x(t),x(t)>=ao ⋅ao +L ak⋅ak + L+b 1 ⋅b 1 + L bk⋅bk + L
onde ao, a 1 , …, ak, …, b 1 , …, bk são os coeficientes de x(t) na série de Fourier e
a (^) o ,a 1 ,L, ak,L,bo,b 1 ,L,b k os coeficientes de x( t)na série de Fourier. Desta
forma pode-se verificar que
nt 0 , sem n , T
mt ,cos T
cos (^) >= ≠
π
π <
nt 1 , sem n , T
mt ,cos T
cos (^) >= =
π
π <
nt 0 , sem n, e T
mt ,sen T
sen (^) >= ≠
π
π <
nt 1 , sem n. T
mt ,sen T
sen (^) >= =
π
π <
ou seja, aqui os sinais da base também são ortogonais entre si. Isso se verifica obser-
vando-se as equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que
nt dt 0 , sem n T
mt cos T
cos T
=^ ≠
π ⋅
π ∫
nt dt 0 , sem n T
mt sen T
sen T
=^ ≠
π ⋅
π ∫
e
, sem n 2
T
nt dt T
mt cos T
cos T
=^ =
π ⋅
π ∫
, sem n 2
T
nt dt T
mt sen T
sen T
=^ =
π ⋅
π ∫
um resultado bastante conhecido em matemática, da teoria do “Cálculo”. Isto é, as
integrais de senos e/ou co-senos de frequência diferentes multiplicados entre si são
nulas. Os senos e co-senos são “ ortogonais ”.
Fig. 7.11 – Projecções de um vector v ∈ R
2 nos seus 2 eixos (à esquerda) e v ∈ R
3
nos seus 3 eixos (à direita).
Uma propriedade importante verificada nos vectores no espaço R
n era que o produto
escalar entre v e um elemento ek da base era o próprio coeficiente αk, ou seja,
< v , ek > = αk
De certa forma isto significava que os αk eram as projecções dos vectores do R
n nos
seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R
2 e R
3 .
Aqui no espaço de funções também verifica-se que
kt a k T
x (t),cos >=
π < (^) e kt bk T
x (t),sen >=
π <
o que também pode ser interpretado que os ak e os bk são uma espécie de projecção
do sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base.
7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos
Nesta secção estudaremos a “ série exponencial de Fourier ” é também chamada de
“ série complexa de Fourier ”.
Semelhantemente à série trigonométrica, a equação eq. (7.4) acima é conhecida como
a
equação de síntese
enquanto que a equação eq. (7.5) é conhecida como a
equação de análise
da série exponencial (ou complexa ) de Fourier.
Exemplo 7.2:
Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em
um período (de t = –1 até t = 1) ilustrada na
figura 7.12.
1 , se 0 t 1
1 , se 1 t 0
x(t)
Fig. 7.12 – Sinal do Exemplo 7.2. Onda quadrada em um período (de t = –1 até 1).
E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda
de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série exponen-
cial (ou complexa ) de Fourier.
Novamente, o período fundamental é T = 2, e
T
o
e portanto, os coeficientes desta série complexa de Fourier para o sinal da onda qua-
drada acima são:
( )
( ) ( )
∫ ∫
∫
− π −
− π
−
− π
1
0
(^0) jk t
1
jk t
1
1
jk t k
1 dt
( 1 ) dt
x(t) dt
T
c
e e
e
k = 0 ,±1,±2, ...
Fazendo-se as integrais, obtemos:
( ) ( [ ] )
( ) ( [ ] )
( ) ( )
π − π π − π
− π −
− π
π
π
π
π
jk jk jk j k
1 0
(^0) jk t 1
jk t k
2 kj
2 kj
kj
kj
c
e e e e
e e
Agora, usando-se as equações de Eüler temos que:
[ ]
( )
( 1 cos(k )) k
j
2 1 cos(k ) 2 kj
1
2 cos(k ) j sen(k ) cos(k ) j sen(k ) 2 kj
1 ck
− π π
−
− π = π
=
− π − ⋅ π − π + ⋅ π π
=
e portanto,
=± ± ± π
−
= ± ±
= j, se k 1 , 3 , 5 , ... k
2
0 , se k 0 , 2 , 4 ,...
ck
Logo,
∑^ [^ ]
∑
∑
∞
=± ± ±
∞
=± ± ±
π
∞
=−∞
ω
⋅ π + ⋅^ π
π
−
=
π
−
= =
k 1 , 3 , 5 , ...
k 1 , 3 , 5 ,...
jk t
k
j kt k
j cos(k t) j sen(k t ) k
2
j k
2
x (t) c o
e
e
