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PNV3324: Fundamentos de Controle em Engenharia
NOTAS DE AULA
Prof. Helio Mitio Morishita
6 ESTABILIDADE
6.1 Introdução
Uma das características que, necessariamente, deve ser analisada durante o projeto do controlador é a estabilidade do sistema em malha fechada em torno de um ponto de equilíbrio. Sem rigor, um sistema pode ser dito estável se a sua resposta a qualquer excitação “razoável” não sai do controle, isto é, não vai ao infinito. Uma definição precisa e única de estabilidade é difícil pois, em alguns casos, um ponto de equilíbrio do sistema pode ser estável e em outros não. Por exemplo, se um motor elétrico estiver acionando uma bomba com rotação constante, o sistema é estável. No entanto, se o mesmo motor estiver acionando, por exemplo, uma antena, e aumentar a sua posição angular continuamente, o sistema é considerado instável. Coexistem na literatura duas abordagens para se definir a estabilidade de um ponto de equilíbrio do sistema: a) Para sistemas não forçados. Neste caso analisa-se a resposta do sistema deslocando-o da sua posição de equilíbrio. Se a resposta do sistema estiver dentro de uma determinada faixa em torno do ponto de equilíbrio é dito que o sistema é estável. Se a resposta do sistema se afastar indefinidamente o ponto de equilíbrio é dito instável. Dentro deste conceito pode-se considerar, por exemplo, um pêndulo que possa girar em 3600 no plano vertical com a base móvel. Admita que o sistema tem um certo amortecimento. Não é difícil perceber que este sistema tem dois pontos de equilíbrio que são os ângulos iguais a 0^0 e 180^0. Também é intuitivo que no caso do equilíbrio de 180^0 , qualquer perturbação em torno deste ponto fará que o pêndulo não retorne à sua posição de equilíbrio. Este ponto de equilíbrio é dito instável. Já para a posição de equilíbrio 0^0 havendo perturbação, o sistema volta ao ponto de equilíbrio. Este ponto é dito estável. b) Para sistema forçados Esta definição é baseada na capacidade do sistema de produzir uma saída limitada para uma entrada limitada. Uma função de tempo f ( t ) é limitada quando existe uma constante positiva M tal que f^ ( t^ )≤^ M <∞para todo t.
No caso de sistemas não lineares as duas abordagens podem levar a conclusões distintas. Mas no caso de sistemas lineares invariantes no tempo as duas abordagens são muitas vezes equivalentes. Neste curso será considerada a segunda abordagem com a seguinte definição de estabilidade: Um sistema é estável se, e somente se, qualquer entrada limitada resultar em uma saída limitada.
A estabilidade do sistema neste segundo caso pode ser averiguada a partir da resposta do sistema obtida através da integral de convolução entre o sinal de entrada e a resposta do sistema a um impulso, isto é,
t yt x ht d 0
Se o sinal de entrada (^) x ( t )é limitada tem-se
t t yt x ht d M ht d 0 0
Portanto, a estabilidade do sistema dependerá da resposta a um impulso do sistema. Esta resposta pode ser obtida a partir da expansão em séries de frações parciais da sua função de transferência, onde no denominador comparecem os pólos do sistema. Ao examinar estes pólos conclui-se que:
- Um sistema é estável se todos os pólos apresentarem parte real negativa.
- Um sistema é instável se apresentar ao menos um pólo com parte real positiva.
- Se houver pólos imaginários puros, porém não repetidos e nenhum pólo com parte real positiva então o sistema é marginalmente estável .(aqui se a entrada for uma senóide, que é limitada, com freqüência igual ao do pólo a saída será não limitada).
- Se houver pólos com partes reais nulas múltiplos então o sistema é sempre instável.
Obs. Referências adicionais para o estudo de estabilidade de sistemas:
Dorf, R. C. e Bishop, R. H. (1995) Modern Control System, Addison-Wesley Publishing Company,
Friedland, B. (1986), Control System Design - An Introduction to State-Space Methods, Dover Publications, Inc, Minesota, New York.
Schwarz R. J. e Friedland, B. (1972) Sistemas lineares, Ao Livro Técnico S. A. e Editôra da Universidade de São Paulo, Rio de Janeiro.
Exemplos:
a) s a
G s
s (^) 1 =− a
s a s
Y s
y ( t )= 1 − e −^ at
Se raiz s 1 =− a for positivo ( a < 0 ) o sistema será instável.
b) (^22) ( )
ω
ω
s a
Gs
s^ s
a Y s
4
]
cos( )
( )^4 [ 4 3 4
a
tsinat a
at a
y t = a − − +
ou seja o sinal de saída não é limitado para t →∞
6.2 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Foi visto que a estabilidade de um sistema é determinada pela parte real dos pólos da função de transferência. No entanto, durante o projeto do sistema de controle, é desejável estudar a estabilidade do sistema em função de um determinado parâmetro de controle. Por exemplo, considere o controle de um sistema com função de transferência de malha aberta dada por KG ( s ) Gsen ( s ). A sua função de transferência em malha fechada é
portanto dada por:
KGsG s
KGs Rs
Y s
Normalmente os pólos (e, por conseguinte, a estabilidade) de G ( s ) Gsens ( s ) podem
ser obtidos facilmente, mas o mesmo não pode ser dito quanto às raízes de 1 + KG ( s ) Gsen ( s )= 0. Entretanto, para analisar a estabilidade, não é necessário determinar
o valor dos pólos, mas sim saber se algum pólo apresenta parte real positiva. Esta análise pode ser efetuada, de modo simples, utilizando o critério de estabilidade de Routh- Hurwitz, a partir dos coeficientes do polinômio da equação característica
1 + KG ( s ) Gsen ( s )= 0. De um modo geral a equação característica pode ser escrita como:
A ( s )= a 0 sn^ + a 1 sn −^1 +.....+ an − 1 s + a n = 0 6.
Admita que a equação 6.2 possua p pólos reais − α 1 , −α 2 ,...,− α p e q pares de pólos
complexos − β 1 ± j γ 1 , −β 2 ± j γ 2 ,.....,−β q ± j γ q. Neste caso A ( s )pode ser escrita como:
A ( s )= a 0 ( s +α 1 )....( s +α p )( s^2 + 2 β 1 s +β 12 +γ 12 )....( s^2 + 2 β qs +β q^2 + γ q^2 ) 6.
Para que o sistema seja assintoticamente estável é necessário que todos os valores de α e β sejam positivos. Um polinômio que têm todas as raízes com partes reais
negativas é chamado de polinômio de Hurwitz. Expandindo a equação 6.3 e comparando-a
com 6.2 conclui-se que a condição de que todos os α e β sejam positivos obriga que todos
os coeficientes ai sejam não nulos e que todos tenham o mesmo sinal. Esta é a condição
necessária para a estabilidade, mas não é suficiente. Se o valor de um dos coeficientes a i for negativo ou zero o sistema será instável. (Obs. Aqui é admitido que sistemas com um
par de pólos imaginários puros são admitidos como instáveis)
Um critério mais elaborado que garante a estabilidade de sistemas lineares é a de Routh-Hurwitz. Este critério é baseado na construção da Tabela de Routh-Hurwitz que é constituída da seguinte maneira:
Considere um polinômio dado por:
A ( s )= a 0 sn^ + a 1 sn −^1 +.....+ an − 1 s + a n = 0 , an ≠ 0
e a tabela de Routh-Hurwitz formado por:
linha (^1) s n ao a 2 a 4 a 6 (^2) s n −^1 a 1 a 3 a 5 a 7 (^3) s n −^2 b 1 b 2 b 3 b 4 (^4) s n −^3 c 1 c 2 (^) c 3 c 4 n-1 (^) s^1 y 1 y 2 n (^) s^0 z 1
Onde
1 3
0 2 1
1
a a
a a a
b = − , 1 5
0 4 1
2
a a
a a a
b = − , ...
1 2
1 3 1
1
b b
a a b
c = − , 1 3
1 5 1
2
b b
a a b
c = − , ...
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes da equação 6.2 com partes reais positivas é igual ao número de mudanças de sinal dos
coeficientes da primeira coluna da tabela de Routh ( [ a (^) 0 a 1 b 1 c 1 ... y 1 z 1 ] T ). Desta forma a
condição necessária e suficiente para que todas as raízes do polinômio dado por 6.2 tenham parte real negativa é que não haja mudança do sinal da primeira coluna da tabela de Routh- Hurwitz.
