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7.13 Exercicios sobre Qui-quadrado
Exerc´ıcio 185. Um modelo de autom´ovel ´e vendido em quatro vers˜oes: SX, LX, GLX, GTX. Foi feita uma campanha publicit´aria para melhorar as vendas das vers˜oes GLX e GTX. Posteriormente, foi verificada a escolha das vers˜oes em 500 vendas escolhidas ao acaso. Os resultados foram:
Vers˜ao SX LX GLX GTX total Unidades vendidas 210 125 105 60 500
De acordo com o fabricante, a participa¸c˜ao de cada vers˜ao nas vendas deste modelo at´e a realiza¸c˜ao da campanha era 40% de SX, 30% de LX , 20% de GLX e 10% de GTX. Utilize Teste Qui-quadrado, com o n´ıvel de significˆancia de 2,5%, para verificar se houve ou n˜ao mudan¸cas na participa¸c˜ao de cada vers˜ao nas vendas ap´os a campanha. Ajuda: A tarefa, sendo colocada em termos matem´aticos precisos, soa assim: Verifique, usando Teste Qui-quadrado, com o n´ıvel de significˆancia de 2,5%, se os dados da tabela (a distribui¸c˜ao amostral) sugiram que a participa¸c˜ao de cada vers˜ao nas vendas (quer dizer, a de todas as vendas, ou, em outras palavras, a distribui¸c˜ao populacional de vendas) ap´os a campanha pu- blicit´aria continua na mesma propor¸c˜ao que houve antes da campanha.
Exerc´ıcio 186. Os dados seguintes representam os resultados de uma investiga¸c˜ao da distri- bui¸c˜ao do sexo das crian¸cas de 96 fam´ılias possuindo cada uma delas 4 crian¸cas (espero que seja calro que trata-se da distribui¸c˜ao amostral constru´ıda com base na amostra de 96 fam´ılias escolhidas ao acaso do universo de todas as fam´ılias que possuam 4 crian¸cas).
N´umero de meninos 0 1 2 3 4 total N´umero de fam´ılias 12 30 24 21 9 96
Verifique, usando Teste Qui-quadrado com o n´ıvel de significˆancia de 5%, se a amostra comprova o seguinte fato: o n´umero de meninos por fam´ılia, no universo de fam´ılias com 4 crian¸cas, segue a distribui¸c˜ao binomial com n = 4 e p = 0, 50. Coment´ario: Se supusermos que cada crian¸ca, ao nascer numa fam´ılia, ´e menino ou ´e menina com as probabilidades que n˜ao dependem dos sexos das crian¸cas j´a nascidas na fam´ılia, e se supusemos ainda, que cada uma das duas probabilidades ´e 1/2, ent˜ao, a distribui¸c˜ao do n´umero de meninos em fam´ılias com 4 crian¸cas deve ser binomial(4; 1/2). Ent˜ao, se a amostra do presente exerc´ıcio confirmar tal distribui¸c˜ao, poderemos concluir que as duas suposi¸c˜ao s˜ao v´alidas na vida real.
Exerc´ıcio 187. Um estudo (Anais Brasileiros de Dermatologia, 2002, 78(3), pp. 283–288) sobre dermatoses infeccionais em pacientes trasplantados renais tem por objetivo verificar se existia uma rela¸c˜ao entre a presen¸ca do fungo Pitir´ıase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante.
. ( E conhecido que nos pacientes transplantados renais, a imunossupress˜´ ao crˆonica acarreta maior suscetibilidade `as dermatoses infecciosas, fato que motiva a pergunta se “presen¸ca do fungo” e “tempo transcorrido desde transplante” sejam fatores relacionados ou n˜ao.)
Os resultados de acompanhamento de 208 pacientes est˜ao na tabela abaixo.
. (O acompanhamento durou 12 meses, e o Pitir´ıase versicolor declarava-se “presente” para paciente, caso esse fungo foi identificado nos exames dermatol´ogicos do mesmo feitos no decorrer do acompanhamento; caso contr´ario, o fungo declarava-se “ausente”.)
Pitir´ıase Tempo de transplante Total versicolor menos que 1 ano de 1 a 5 anos mais que 5 anos Presente 6 24 7 37 Ausente 36 53 82 171 Total 42 77 89 208
(a) Verifique, usando Teste Qui-quadrado, ao n´ıvel de significˆancia de 0,5%, se os dados da tabela indicam a independˆencia entre a presen¸ca do fungo Pitir´ıase versicolor e o tempo trans- corrido desde o transplante. (b) Nas conclus˜oes do estudo, os pesquisadores escrevem: “As dermatoses infecciosas s˜ao freq¨uentes nos pacientes transplantados renais, e sua ocorrˆencia aumenta progressivamente con- forme o tempo transcorrido a partir do transplante, sendo importante o acompanhamento der- matol´ogico desses pacientes.” Tal conclus˜ao poderia ser feita com base em somente o resultado da aplica¸c˜ao do Teste Qui-quadrado (na cita¸c˜ao, interprete “as dermatoses infecciosas” como “a presen¸ca de Pitir´ıase versicolor”)?
Exerc´ıcio 188. Um estudo (Revista de Sa´ude P´ublica, 2001; 35(2), pp. 159–164) sobre tabagismo entre adolescentes residentes no munic´ıpio de Petolas, RS, tinha por objetivo saber se existia alguma rela¸c˜ao entre faixa et´aria e condi¸c˜ao de fumante. Os dados colhidos para dar o respaldo `a conclus˜ao, est˜ao apresentados na tabela abaixo.
12 a 14 anos 15 a 16 anos 17 a 18 anos total fumante 15 26 30 69 n˜ao fumante 268 175 118 563 total 283 201 148 632
Verifique, usando Teste Qui-quadrado, ao n´ıvel de significˆancia de 0,5%, se os dados da tabela indicam a independˆencia entre faixa et´aria e condi¸c˜ao de fumante na popula¸c˜ao de adolescentes residentes no munic´ıpio de Petolas, RS. a presen¸ca do fungo Pitir´ıase versicolor e o tempo transcorrido desde o transplante.
Exerc´ıcio 189. Em um estudo realizado no Hospital Universit´ario (HU) e analisado no CEA (Centro de Estat´ıstica Aplicada) do Departamento de Estat´ıstica, estudou-se a ocorrˆencia de bebˆes macrossˆomicos (bebˆes que nascem com mais de 4Kg) entre as parturientes do HU. Para verificar se o ganho do peso da m˜ae durante a gesta¸c˜ao est´a relacionado com a ocorrˆencia de macrossomia, uma amostra de 171 m˜aes foi selecionada (n˜ao foram inclu´ıdas na amostra gesta¸c˜oes m´ultiplas nem bebˆes prematuros). Destas m˜aes, observou-se que 53 bebˆes eram macrossˆomicos, que 50 m˜aes tiveram ganho excessivo de peso (> 25% do peso pr´e-grav´ıdico), e que das 121 m˜aes com ganho inferior a 25% do peso pr´e-grav´ıdico, 90 tiveram bebˆes sem macrossomia. Aplique Teste Qui-quadrado aos dados da amostra para concluir, ao n´ıvel de significˆancia de 10%, o ganho de peso da m˜ae e a ocorrˆencia de macrossomia s˜ao fatores independentes na popula¸c˜ao das parturientes do HU que tiveram bebˆes macrossˆomicos.
Exerc´ıcio 190. Oitenta artefatos foram classificados de acordo com o per´ıodo da prov´avel confec¸c˜ao (A, B e C) e de acordo com o s´ıtio arqueol´ogico (S´ıtio 1 e 2) em que foram encontrados. Os resultados encontrados foram:
S´ıtio 1: A B B B C C B A B C C B A A A B B B C C A A A A A B B B A C C B B B A A A A
S´ıtio 2: C C C C A A B B C C A A B C C C C C B B A B A C B C B C C C C B A B C B C C C C B C
Use Teste Qui-quadrado para concluir a partir dos dados de amostra, ao n´ıvel de significˆancia 10%, se na popula¸c˜ao de alunos da escola apresenta a independˆencia entre os aproveitamentos em F´ısica e em Matem´atica.
7.14 Solu¸c˜oes de exerc´ıcios sobre Qui-quadrado
Solu¸c˜ao de Exc. 185. Ao encaixar o enredo do exerc´ıcio no arcabou¸co do Teste Qui-quadrado quando esse est´a aplicado para verifica¸c˜ao de aderˆencia, traduz-se que a tarefa do exerc´ıcio da seguinte maneira: ´e para escolher entre as hip´oteses que
H: a campanha publicit´aria n˜ao teve efeito nas vendas das vers˜oes desse modelo de au- tom´ovel, quer dizer, as propor¸c˜oes, nas quais a popula¸c˜ao compra as vers˜oes do modelo de autom´ovel em quest˜ao ap´os a campanha, continuam ser 40% para SX, 30% para LX , 20% para GLX e 10% para GTX;
A: a campanha publicit´aria teve efeito nas vendas das vers˜oes desse modelo de autom´ovel, e, consequentemente, as quatro propor¸c˜oes suprareferidas diferem-se dos quarteto 40%, 30%, 20%, 10%, que corresponde `as propor¸c˜oes antes da campanha.
As hip´oteses H e A podem ser reescritas da seguinte maneira:
H: pSX = 0, 40, pLX = 0, 30, pGLX = 0, 20 e pGT X = 0, 10;
A: pelo menos uma das igualdades acima n˜ao est´a v´alida,
em que pSX , pLX , pGLX e pGT X representam a participa¸c˜ao nas vendas da vers˜ao SX, LX, GLX e GTX, respectivamente, participa¸c˜oes essas expressas em propor¸c˜oes e – vale lembrar – correspondem ao que acontece com a popula¸c˜ao dos compradores do referido autom´ovel ap´os a campanha publicit´aria. Qual das duas maneiras para escrever H e A vocˆe vai preferir ´e algo que n˜ao ajuda nem atrapalha a resto de solu¸c˜ao. O que ´e de fato importante s˜ao duas per´ıcias: a primeira ´e enchergar que o exerc´ıcio solicita a verifica¸c˜ao de aderˆencia (e n˜ao de independˆencia), e a segunda ´e nomear corretamente as hip´oteses (aquela que alega a aderˆencia deve ser nomeada de nula, isto ´e, “H”). Para realizar o teste, o passo seguinte ap´os a determina¸c˜ao de hip´oteses, ´e calcular as frequencias esperadas que correspondem ao tamanho de amostra fornecida no enunciado (es- pecificamente falando, trata-se das frequencias que a gente esperaria obter se analizasse 500 compradores, se a aleatoriedade n˜ao estivesse presente e se a hipotese nula estivesse v´alida). O passo pr´oximo ´e o c´alculo do valor da estat´ıstica de teste correspondente `a amostra. Eis a
Vers˜ao Frequˆencia Propor¸c˜ao/probabilidade (pi) Frequˆencia esperada (Ei) observada (Oi) sob a validade de H correspondente ao tamanho de amostra sob a validade de H SX 210 p 1 = 0, 4 E 1 = n × p 1 = 500 × 0 , 4 = 200 LX 125 p 2 = 0, 3 E 2 = n × p 2 = 500 × 0 , 3 = 150 GLX 105 p 3 = 0, 2 E 3 = n × p 3 = 500 × 0 , 2 = 100 GTX 60 p 4 = 0, 1 E 4 = n × p 4 = 500 × 0 , 1 = 50 Total 500 1 500
conta: χ^2 obs =
∑k i=
(Oi−Ei)^2 Ei =^
(210−200)^2 200 +^
(125−150)^2 150 +^
(105−100)^2 100 +^
(60−50)^2 50 = 0, 5000 + 4, 1667 + 0, 2500 + 2, 0000 = 6, 9167.
No pen´ultimo passo de solu¸c˜ao, ´e precisa achar o limiar correspondente ao desejado n´ıvel de significˆancia α) do teste proferido. Recordo do enunciado: α = 2, 5%. O limiar procurado (denotado por ` nas minhas aulas e por χ^2 α na literatura cient´ıfica e did´atica) ´e – pela pr´opria
A: o n´umero de meninos por fam´ılia, em fam´ılias com 4 crian¸cas, n˜ao segue uma distribui¸c˜ao binomial com n = 4 e p = 0, 50.
Ou, equivalentemente, mas com maior precis˜ao:
H: ppopulacional 0 = 0, 0625, ppopulacional 1 = 0, 2500, ppopulacional 2 = 0, 3750, ppopulacional 3 = 0, 2500 e ppopulacional 4 = 0, 0625;
A: pelo menos uma das igualdades acima n˜ao est´a v´alida,
em que ppopulacionalk denota a propor¸c˜ao das fam´ılias que tem k meninos entre todas as fam´ılias possuindo 4 crian¸cas (k = 0, 1 , 2 , 3 , 4). Vamos `a aplica¸c˜ao de Teste Qui-quadrado para o caso. A tabela abaixo d´a as frequen- cias esperadas (denotadas por E 0 , E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) em amostra de tamanho 96 (especificamente falando, as frequencias que esperamos observar em 96 fam´ılias, com 4 crian¸cas cada, caso a hip´otese nula fosse verdade e caso n˜ao havesse flutua¸c˜oes aleat´orias):
N´umero de meninos (k) Frequencia observada Ok Frequencia esperada Ek 0 O 0 = 12 E 0 = 6 = 96 × pteorica 0 = 96 × 0 , 0625 1 O 1 = 30 E 1 = 24 = 96 × pteorica 1 = 96 × 0 , 25 2 O 2 = 24 E 2 = 36 = 96 × pteorica 2 = 96 × 0 , 375 3 O 3 = 21 E 3 = 24 = 96 × pteorica 3 = 96 × 0 , 25 4 O 4 = 9 E 4 = 6 = 96 × pteorica 4 = 96 × 0 , 0625
Diretamente da tabea temos
χ^2 obs =
i=
(Oi−Ei)^2 Ei =^
(12−6)^2 6 +^
(30−24)^2 24 +^
(24−36)^2 36 +^
(21−24)^2 24 +^
(9−6)^2 6 = 6 + 1, 5 + 4 + 0, 375 + 1, 5 = 13, 3750.
O numero de graus de liberdade (q) da distribui¸c˜ao qui-quadrado apropriada para o caso ´e 5 − 1 = 4. O valor que corta dessa distrubui¸c˜ao cauda de tamanho 5% ´e 9, 488, quer dizer, χ^20 , 05 = 9, 488. Conclus˜ao: como χ^2 obs > χ^20 , 05 devemos rejeitar H, quer dizer, a conclus˜ao ´e que a amostra n˜ao d´a evidˆencias suficientes para que possamos consluir, ao n´ıvel de signiicˆancia 5%, que no ´ambito populacional, quer dizer, no mundo de todas as fam´ılias com 4 crian¸cas, o n´umero de meninos por fam´ılia segue uma distribui¸c˜ao binomial com n = 4 e p = 0, 50. Resultado de Exc. 187. Minhas contas deram o seguinte: χ^2 obs = 15, 7718, q = (2 − 1) × (3 −
- = 2 e χ^20 , 005 = 10, 597. Como χ^2 obs > χ^20 , 005 ent˜ao a hip´otese de independˆencia est´a rejeitada pelo Teste Qui-quadrado, ao n´ıvel de significˆancia 0, 5%. Solu¸c˜ao de Exc. 189. O exerc´ıcio apresenta uma dificuldade que n˜ao tem nada a ver com o Qui-quadrado: ´e a constru¸c˜ao de tabela de contingˆencia a partir de dados parciais fornecidos no enunciado do exerc´ıcio. Eis os valores fornecidos:
Enquanto que a tabela completa est´a abaixo. Confirme para si que os valores nela presentes est˜ao de fato unicamente definidos pelos valores presentes na tabela acima.
Macrossomia Ganho de Peso n˜ao sim total < 25% peso gravit´ıcio 90
25% peso gravit´ıcio 50 total 53 171
Macrossomia Ganho de Peso n˜ao sim total < 25% peso gravit´ıcio 90 31 121
25% peso gravit´ıcio 28 22 50 total 118 53 171 Agora vamos `a aplica¸c˜ao do Teste Qui-quadrado. Em primeiro lugar, reformulamos a per- gunta do exerc´ıcio em forma de “competi¸c˜ao” de duas hip´oteses. Preste a aten¸c˜ao: aquela das duas que aforma a independˆencia deve receber o nome “nula” (e denotada por H de acordo com nosso acordo segundo o qual H leia-se “nula” e A leia-se “alternativa”):
H: O ganho de peso da m˜ae durante a gesta¸c˜ao e a ocorrˆencia de macrossomia s˜ao vari´aveis independentes.
A: O ganho de peso da m˜ae durante a gesta¸c˜ao e a ocorrˆencia de macrossomia s˜ao vari´aveis dependentes.
No segundo passo de solu¸c˜ao, ´e preciso calcular as frequencias esperadas (precisamente: as frequencias que veriam na amostra de 171 pessoas entre as parturientes do HU caso a hip´otese nula fose v´alida e caso n˜ao houvesse flutua¸c˜oes a¸ceat´orias). Essas frequencias s˜ao os valores colocados entre parˆenteses na tabela abaixo; ao lado de cada um delas, est´a a frequencia observada (a mesma que a j´a vista na tabela acima).
Macrossomia Ganho de Peso n˜ao sim total < 25% peso gravit´ıcio 90 (83,50) 31 (37,50) 121
25% peso gravit´ıcio 28 (34,50) 22 (15,50) 50 total 118 53 171
No terceiro passo de solu¸c˜ao calcula-se
χ^2 obs = (90−^83 ,50)
2 83 , 50 +^
(31− 37 ,50)^2 37 , 50 +^
(28− 34 ,50)^2 34 , 50 +^
(22− 15 ,50)^2 15 , 50 = 0, 506461 + 1, 127593 + 1, 225636 + 2, 728774 = 5, 5884.
No quarto passo acha-se χ^20 , 1. Para tal, calcula-se primeiramente o n´umero de graus de liberdade q:
q = (n´umero de linhas da tabela − 1) × (n´umero de colunas da tabela − 1) = (2 − 1)(2 − 1) = 1
(Observe que contam-se s´o as linhas que representam as frequencias; n˜ao se contam a linha e a coluna que cont´em os totais.) Agora, usando a linha “df=1” da tabela “Chi-Square Distribution Table”, achamos o limiar correspondente ao desejado valor 10%: χ^20 , 1 = 2, 706. Conclus˜ao: como χ^2 obs > χ^20 , 1 conclua-se que os dados n˜ao sugerem, ao n´ıvel de significˆancia de 10%, que no universo das parturientes do HU, o ganho do peso da m˜ae durante a gesta¸c˜ao esteja independente da ocorrˆencia de macrossomia.
Solu¸c˜ao de Exc. 190 (a). As hip´oteses s˜ao
Estado Preferˆencia civil Policial Com´edia Romance Total Solteiro 40 (34,4375) 25 (30,1625) 30 (30,4) 95 Casado 26 (32,625) 31 (28,575) 33 (28,8) 90 Divorciado 46 (39,875) 33 (34,925) 31 (35,2) 110 Vi´uvo 33 (38,0625) 38 (33,3375) 34 (33,6) 105 Total 145 127 128 400
q = (4 − 1)(3 − 1) = 6, χ^20 , 025 = 14, 449, χ^2 obs = 6, 72309. Como χ^2 obs < χ^20 , 025 , conclua-se que os dados indicam, ao n´ıvel de significˆancia de 2, 5%, que o estado civil e a preferˆencia pelo tipo de filme (na classifica¸c˜ao policial/com´edia/romance) s˜ao fatores independentes.
