4ª Lista de Exercícios
Gabarito
1. Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6)
∈
4
ℜ como combinação linear dos vetores
v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0).
Solução.
Temos que encontrar escalares α, β, γ tal que
(-1, 4, -4, 6) = α (3, -3, 1, 0) + β (0, 1, -1, 2) + γ (1, -1, 0, 0).
O que equivale resolver o sistema:
2=γ
1−=α
3=β
⇒
6=β2
4−=β−α
4=γ−β+α3−
1−=γ+α3
.
Logo, u = - v1 + 3v2 + 2v3.
2. Determine os subespaços do 3
ℜ gerados pelos seguintes conjuntos:
(a) A = {(2, -1, 3)}
(b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)}
Solução.
(a) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(2, -1, 3)
Daí,
2
3
x a
x b
x c
=
− =
=
Logo, S= {(a, b, c) 3
ℜ∈ / a = -2b e c = -3b} = {(-2b, b, -3b)/
ℜ
∈
b}.
(b) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A.
Então, (a, b, c) = x(-1, 3, 2) + y(2, -2, 1)
Daí,
=+2
=2−3
=2+−
cyx
byx
ayx
.
Escalonando,
12
2−3
21−
c
b
a
1
1
−
←
LL
⇒
12
2−3
−2−1
c
b
a
2
1
2
+
3
−
←
LLL
⇒
12
+340
−2−1
c
ba
a
313
+
2
−
←
LLL
⇒
+250
+340
−2−1
ca
ba
a
.
Obtemos o seguinte sistema equivalente:
=
=
5
+2
4
+3
ca
ba
y
y
⇒
7.a +5b -4c = 0.
Lembrando que as aluas agora são: segunda sala 204 e quarta sala 404
UFF – Departamento de Análise
GAN00007 – Introdução à Álgebra Linear – B1 – 2014.1 – Profa. Ana Maria Luz
Lista de Exercícios 8 - Resolução
