Baixe Desigualdade de Tchebycheff: Medida da Variabilidade em Relação ao Valor Esperado e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!
A desigualdade de Tchebycheff:
A desigualdade proposta pelo pesquisador russo Pafnuty Lvovich Tchebycheff fornece meios para compreender como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado. Vejamos como isso ocorre Se conhecermos a distribuição de probabilidade podemos calcular !(!) e !"#(!). No entanto, se conhecermos !(!) e !"#(!), não é possível reconstruir a distribuição de probabilidade. Dessa forma, sabendo apenas a variância e esperança não podemos calcular !(|! − !(!)| ≤ !), onde c é um valor pequeno qualquer. A figura abaixo representa três possíveis distribuições, sendo que todas possuem a mesma esperança (50) e desvio padrão (10). Observe que a !(|! − !(!)| ≤ !) é diferente para cada uma delas. Assim, sem saber qual é a distribuição não se pode calcular a probabilidade acima. Figura – Distribuição normal, chi-quadrada e uniforme com esperança igual a 50 e desvio padrão igual a 10. Área marcada define a probabilidade !(! − !(!)) (a) (b) (c) Apesar da impossibilidade de calcular !(|! − !(!)| ≤ !) é possível estabelecer limites superiores e inferiores para a variabilidade ao redor do valor esperado.
PROGRAMAÇÃO EM R:
Definição: Seja X uma variável aleatória com !(!) =! e! um número real. Se !(!– !)² for finita e ! for qualquer número positivo, tem-se: ![|! − !| ≥ !] ≤
!!^
Formas equivalentes (1) Complementar !! −! ≥! ≥ 1 −
!!^
(2) Para! =! !! −! ≥! ≤
!! −!!^ =!! −! ≥! ≤
(3) Para! =! e! = !! ![|! − !| ≥ !"] ≤
!!!!^
![|! − !| ≥ !"] ≤ !!!
Distribuição Normal x=seq(00,100,length=200) y=dnorm(x,mean=50,sd=10) plot(x,y,type="l",lwd=2,col="cadetblue") x=seq(50,60,length=200) y=dnorm(x,mean=50,sd=10) polygon(c(50,x,60),c(0,y,0),col="antiquewhite") Distribuição Chi Quadrada x=seq(0,100,length=200) y1=dchisq(x,df=50) plot(x,y1,type="l",lwd=2,col="cadetblue") x=seq(50,60,length=200) y1=dchisq(x,df=50) polygon(c(50,x,60),c(0,y1,0),col="antiquewhite") Distribuição Uniforme x=seq(40,60,length=200) y2=dunif(x, min=40,max=60) plot(x,y2,type="l",lwd=2,col="cadetblue") x=seq(50,60,length=200) y2=dunif(x, min=40,max=60) polygon(c(50,x,60),c(0,y2,0),col="antiquewhite")
Note que precisa-se de muito pouco para saber do comportamento probabilístico da variável aleatória !. Caso haja informações sobre a distribuição de probabilidade da variável aleatória! possibilitará melhora na desigualdade. EXEMPLO: Parte 1) Qual a probabilidade de uma variável aleatória! estar entre dois desvios padrões abaixo e dois desvio padrões acima da média: Retomemos um passo da demonstração: 1 !²
≥!! ≤! − !" + ![! ≥! + !"]
Como queremos avaliar dois desvios padrões acima e abaixo da média! = 2 e utilizamos o complementar: 1 −
2!^
≤ 1 −!! ≤! − 2! + ![! ≥! + 2 !]
0. 75 ≤ 1 −!! ≤! − 2! + ![! ≥! + 2 !]
Note que isso é verdade para qualquer distribuição, ou seja, a probabilidade de a variável aleatória! estar entre dois desvios padrões abaixo e dois desvio padrões acima da média é maior que 0.75. Parte 2) Supondo que !(!) = 75 e !"(!) = 5 qual será o limite superior e inferior para uma variável aleatória! que desvie entre dois desvios padrões abaixo e dois desvio padrões acima da média?
- 75 ≤ 1 −!! ≤! − 2! + ![! ≥! + 2 !]
- 75 ≤ 1 −!! ≤ 75 − 10 + ![! ≥ 75 + 10 ]
- 75 ≤ 1 −!! ≤ 65 + ![! ≥ 85 ]
Ou seja, no mínimo 75% dos valores estão entre 65 e 85. Parte 3 ) Supondo que !(!) = 75 e !"(!) = 5 qual será a probabilidade de estar entre 83 de limite superior e 67 de limite inferior?
- 75 ≤ 1 −!! ≤! − 2! + ![! ≥! + 2 !] Assim: ! − !" = 67 → −! =
1. 6!^
≤ 1 −!! ≤! − 1. 6! + ![! ≥! + 1. 6 !]
ou
- 609 ≤! 67 ≤! ≤ 83 Assim, 60.9% dos valores estarão entre 67 e 83. Retomando a desigualdade de Tchebycheff: ![|! − !| ≥ !"] ≤ !!! Se !"#(!) for pequena a maior parte da probabilidade de! estará “concentrada” próxima de !(!). Vejamos mais um exemplo.
