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3- Autovalores e Autovetores.3.1-^

Autovetores

e^

Autovalores

de

uma

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Matriz.3.2- Métodos para encontrar os Autovalorese Autovetores de uma Matriz.

3.1- Autovetores e Autovalores de uma MatrizDada a matriz

considere a transformação linear:

onde^

e^ são vetores de um espaço

n -dimensional.

Definição:

Um vetor

é dito ser autovetor da matriz

se a transformação linear deste vetor é colinear a este vetor. Ouseja, se

O escalar

é chamado de autovalor da

matriz

correspondente ao autovetor

Teorema:

Toda transformação linear (matriz) em um espaço vetorial complexo tem, pelo menos, um autovetor (real oucomplexo).Note que

esta equação tem solução diferentes

da nula (

) se e somente se, seu determinante é zero

. Esta equação é chamada equação

característica e o polinômio em

definido por ela se chama

polinômio característico. As raízes deste polinômio são os

= y Ax

A n n × yx

A^ n n ×

≠ x (^0). n n

λ=×

A^ x^

x

A^^ n n ×

x

(^

λ− n n ×

A^

E x^

≠ x 0

det(^

)^

λ− n n ×

A^

E^0

^1

3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz Corolário:

Se todos os autovalores de uma matriz de ordem

n

são diferentes, então os correspondentes autovetores destamatriz formam uma base no espaço

n -dimensional.

Exemplo: Encontre os autovalores e autovetores da matriz

(^

n n^

λ− = i ×

A^

E x^

⎡^

= ⎢^

⎣^

2 A

1 Primeiro devemos encontrar os autovalores soluçãodo polinômio característico: 1 2

det(^

λ− n n ×

A^

E^0

det^

(^ )

e

λ^

⎤ =^ ⇒

−^

−^ =^

⇒^ =

⎢^

⎣^

2

1

2

Dados os autovalores, os autovetores devem ser encontradossubtituindo cada autovalor na equação:^ Para^

segue^

ou^

onde

0 é uma constante arbitrária. O autovetor

correspondente a

x^

x^ x^

x^

x

x

λ x c

λ

⎡^ ⎤ ⎡^ ⎤ =^

=^ ⇒^

+^ =^

= −

⎢^ ⎥ ⎢^ ⎥ ⎣^ ⎦ ⎣

⎦

=^ ≠^

x

1

1

1 2

2

1

2

1

1

1

1 1 1

0

0

1 1

3.1- Autovetores e Autovalores de uma MatrizNote que

e^

são linearmente independente e formam uma

é^ base no espaço vetorial bidimensional.Duas matrizes são dita ser similares se elas pode ser obtidas apartir da outra, através de uma transformação efetuada poralguma matriz não singular.

se^

.

c^ c

c

⎡^ ⎤^ c

⎡^ ⎤^

⎡^ ⎤

=^

=^

=^

=

⎢^ ⎥^

⎢^ ⎥^

⎢^ ⎥ −^

−^

− ⎣^ ⎦^

⎣^ ⎦^

⎣^ ⎦

(^1) x

1

1

1 1

1

Para^

segue^

ou^

onde

0 é uma constante arbitrária. O autovetor

correspondente a

é^

se^

x^.

x^ x^

x^ x

x

x^ c

c^ c^

c

λ c

λ

−^

⎡^ ⎤ ⎡^

⎤

=^

=^ ⇒^

−^ =^

=

⎢^ ⎥ ⎢^

⎥− ⎣^

⎦ ⎣^ ⎦

=^ ≠ ⎡^

⎤^ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ =^ =

=

=

⎢^ ⎥^

⎢ ⎥^ ⎢ ⎥ ⎣^ ⎦^

⎣ ⎦^ ⎣ ⎦

x

x

1

2

1 2

2 1

2

2

1

2

2

1 1 3

0

0

1 1 1 1

1 (^1 11 2) xx 1

1 ,^

onde det( )

−^

− =^

⇔^ =

A^ BS^

S^ A^

S

B

S^

S

3.1- Autovetores e Autovalores de uma MatrizExemplo: Reduza a matriz

a sua forma diagonal. ⎡^

= ⎢^

⎣^

2 A

Já conhecemos os autovalores e autovetores desta matriz.As matrizes

e^

são similares se existe uma matriz

tal que

λ

λ

λ

λ ⎡^ ⎤ =^ →

=^

→^

⎢^ ⎥−⎣^ ⎦ ⎡ ⎤

=^ →

=^

→^

x^ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ax^

x

x^

Ax^

x

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2 1 1

é similar a ⎡^ ⎤ = ⎢^ ⎥ ⎣^ ⎦

⎡^ ⎤ = A ⎢^ ⎥ ⎣^ ⎦

(^1) Λ 0 0 3

2 1 1 2

,^ onde det( )

Construa

com os autovetores de

,^

det

e^

−^

− −^

−

=^

⇔^ =

≠ ⎡^

=^

⇒^

⎢^

⎣^

⎡^

⎤^

⎡^

⎤^

⎡^

=^

⇒^

=^

⇒^

=^

⎢^

⎥^

⎢^

⎥^

⎢^

⎣^

⎦^

⎣^

⎦^

⎣^

A^ SΛ

S^

Λ^ S^

AS^

S

S^

A^ S^

S

S^

AS^

S^ AS

1

1 1

A^ 1 1

Λ^

S

3.1- Autovetores e Autovalores de uma MatrizChamamos forma bi-linear da matriz real quadrada

ao

produto escalar: Corolário:

Se^

é real e simétrica (

), então

Teorema:

Todos os autovalores de uma matriz real simétrica são reais.Ou seja, as raízes da equação característica de uma matriz realsimétrica são todas reais. Teorema:

Os autovetores correspondentes a distintos

(^ autovalores de uma matriz real simétrica são ortogonais entre simesmos.

)^

*^

1

1 1

1

ao espaço complexo

,^

,^ ,^

dimensional

n^

n^ n j^ j^

kj^ j^ k

j^

j^ k n n n^

y^ k k k

a x^

n

a^

y

x

×

==

=^ =

=^

=^

∑^

∑∑ ∑^

x y

A^ x y

A^ n n ×

A^^ n n ×

T = A A

(^

)^ (^

,^

,^

n n^

n n ×^

×

A^ x y

x A

y , (^) ( )

, onde

,^

e

i^ j^

i^

j i^

j^

i^ j

λ^

λ

λ^ λ

=^

→^

→^

x^ x^

x^

x

0

3.1- Autovetores e Autovalores de uma Matriz Teorema (propriedade extremal dos autovalores):

Seja

uma matriz real simétrica e todos seus autovaloresSeja^

, então para

todo vetor

se verifica: Corolário:

O menor e o maior autovalor de uma matriz real simétrica

, são respectivamente o menor e maior valor da forma quadrática

na esfera unitária

Uma matriz real simétrica é chamada positiva definida se suacorrespondente forma quadrática é positiva definida. Isto é, Teorema:

Uma matriz real simétrica é definida positiva se e somente se todos seus autovalores são positivos.

A^ n n × ,^ ,^

,^. n λ^ λ^

λ " 1 2

min(^

,^ ,^

,^ ) e

max(^

,^ ,^

,^ )

m^

n^ M

n

λ

λ^ λ^

λ^ λ

λ^ λ^

λ

=^

1 2

1 2

"^

x^

(^ )^

(^

)^

,^

,^

m^

n n^

M

≤^ ×

x x^

A^ x x

x x ,^ (^ )

= x x^1

(^

n n u^ =^ A^ x x ×

A^ n n ×^ (^

)^

se^

,^

,^

n^ n n n^

ij^ i^ j i^ j u^

a x x ×

=^ =

∀^ ≠^

=^

=^

∑∑

x^0

A^ x x

^1

1

3.1- Autovetores e Autovalores de uma MatrizPara uma matriz real quadrada de ordem

n^ os coeficientes do

polinômio característico são reais. Em geral, as raízes(autovalores) deste polinômio são conjugados em pares, se elessão complexos. Ou seja, dado um autovalor seu conjugado étambém autovalor da matriz com a mesma multiplicidade.Pode ser que uma matriz real quadrada não tenha nenhumautovalor real. Entretanto, se todos os elementos da matriz sãopositivos

, então existe pelo menos um autovalor real (o maior numericamente) e o autovetor associado a ele é formadopor coordenadas positivas.A seguir, métodos para encontrar autovalores e autovetores!

,^ ,^

,^ n λ^ λ^

λ " 1 2

a^ >^0^ ij

3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e

Autovetores de uma Matriz

1.2- aproximar as raízes da equação característica pelo Métododa Iteração sem expandir o determinante. Técnica 1.1- Expansão do determinante em polinômios Determinar os coeficientes

é equivalente a calcular

determinantes de varias ordens, que é uma tarefa trabalhosaquando

n^ é grande. Existem métodos (Danilevsky, Krylov, Leverrier, etc) que contornam o calculo destes determinantes. Ométodo de Danilevsky exige menos operações aritméticas.

(^

) (^

(^ )^ det(

(^

n n )

n^

n n

n^

n^

nn

a^

a^

a

a^

a^

a

P

a^

a^

a

λ^

×

=^

−^

=^

A^

E

11

12

1

21

22

2

1

2

"^

"^

"^

(^ )^ (

)^

(^ )

n^ n^

n^

n^

n^

n^ n^

n

n^

n

P^ λ

λ^ σ λ

−^

−^

−^

−

⎡^

= −^

−^

+^

−^

+^ + −

⎣^

1

2

3

1

2

3

σ^ i

3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e

Autovetores de uma Matriz

Técnica 1.2- Encontrar aproximadamente o maior autovalorem valor absoluto e seu autovetor sem expandir odeterminanteCaso 1.

Entre todos os autovalores existe apenas um (

sem

multiplicidade

) com maior valor absoluto. Suponha que é o primeiro:

. Lembre que para uma matriz

real com todos os elementos positivos seu maior autovalor éreal.Seja^

um vetor arbitrário representado como combinação linear da base formada pelos autovetores da matriz

n

λ^ λ

λ

λ

>^ ≥

≥^

1 2

3

, onde

,^

,^ ,^

são autovetores de

n^ e são coeficientes constantes.

j^

n

j^

n n

c j cj

×

=^ y x^ ∑^ =

x^ x^

x^

A

1 2 1

y

A^ n n ×

3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e

Autovetores de uma Matriz

Se^

e^

podemos transformar a expressão anterior na

forma:

n^

m j ij j m^

m^

m

j i^

i^

n^ in^ n

n m^

m^

m

m i^

i^

n^ in^ n

c x j^ ij^ j j y^

c x^

c x

y^

c x^

c x

λ^ c x

+^

+^

= =

+^ +

=^

=^

+^ +

∑ ∑

1 1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1

c^ ≠^0

N x^ ≠^0 i^1

m^

m n

i^

i^

n^ in

m^

m i

m^

m

m^

m i^

n

i^

i^

n^ in

c x^

c x^

c x

y y^

c x^

c x^

c x

λ

• =

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

+^

+^ +

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

=^

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

+^

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

1

1

1

2 1 1

2 2 1

1

1

1

1 1

2 1 1

2 2

1

1

m^

m

i^

n^ in^

n

m^

i^

i

i

m^

m

m i^

i^

n^ in^

n

i^

i

c x^

c x

c x^

c x

y y^

c x^

c x

c x^

c x

+^

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

+^

+^ +

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

=^

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

+^

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

1

1

2 2

2

1

1 1

1

1 1

1

1

2 2

2 1 1

1

1 1

1

3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e

Autovetores de uma Matriz

Note que para garantir que

e^

é suficiente fazer uma

escolha apropriada do vetor

e da base

. Note que

Consequentemente, se passamos ao limite no processoiterativo obtemos:

,^ ,^

n , e^ e^

e 1 2 "

c^ ≠^0 1 y

x^ ≠^0 i^1

já que

e o maior autovalor de

. Logo lim

m.

j^

j m

j

⎛^ ⎞ →∞λ

<^ ∀ >

⎜^ ⎟⎜^ ⎟ ⎝^ ⎠

A

1

1

1

lim^

lim^

m^

m

i^

n^ in^

n

m^

i^

i

i

m^

m

m m^

mi

i^

n^ in^

n

i^

i

c x^

c x

c x^

c x

y y^

c x^

c x c x^

c x

+^

• →∞ →∞

⎡^

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

⎢^

+^

+^ +

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎢^

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

=^

⎢^

⎛^ ⎞^

⎛^ ⎞

⎢^

+^

⎜^ ⎟^

⎜^ ⎟

⎢^

⎝^ ⎠^

⎝^ ⎠

⎣^

1

1

2 2

2

1

1 1

1

1 1

1

1

2 2

2 1 1

1

1 1

1

1

ou^

(^ ,^

,^ ,^ ).

m m^

m

i^

i

m^

m

i^

i

y^

y

O^

i^

n

y^

y

+^

⎛^

⎛^ ⎞ ⎜

=^

+^

≈^

⎜^ ⎟⎜

⎝^ ⎠⎝

1

1

2 1

1 1

1 2^

3.2- Métodos para encontrar os Autovalores e

Autovetores de uma Matriz

Como

, consequentemente

Ou seja, para uma iteração

m^ suficientemente grande

se

diferencia do autovetor

apenas por um fator (são paralelos).

Lembrando o

Corolário:

Um vetor é autovetor de uma

transformação linear independentemente da escolha da base.Exemplo: Encontre o maior autovalor e seu autovetor da matriz?

Feito com Excel

1 x

m A y

m^

mc λ≈

A y^

1 x 1 1

lim

m j m^

j

⎛^ ⎞^ λ →∞λ

=^ ∀ >

⎜^ ⎟⎜^ ⎟^1 ⎝^ ⎠

⎡^

= ⎢^

⎣^

2 A

Frase do Dia

“Since a general solution must be judgedimpossible from want of analysis, we mustbe content with the knowledge of somespecial cases, and that all the more, sincethe development of various cases seems tobe the only way to bringing us at last to amore perfect knowledge.”Leonhard Euler