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MATÉRIAL COMPLETO COM LIVROS, DESAFIO E EXERCICIOS CORRIGIDOS
Tipologia: Provas
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Não perca as partes importantes!
2.1 Equação da reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Na geometria analítica, podemos determinar a equação da reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Consideremos a reta definida pelos pontos A ( x 0 , y 0) e B ( x 1 , y 1 ), Figura 2.1(a). Um ponto qualquer P ( x, y ) também estará sobre essa reta desde que A , B e P sejam colineares, conforme ilustrado na Figura 2.1(b).
Figura 2.1 Construção geométrica para obter a equação de uma reta.
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e APN forem semelhantes. Nesse caso, podemos escrever:
Simplificamos a Equação 2.1 notando que a razão é constante, uma vez que ( x 0 , y 0) e ( x 1 , y 1) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta,
2 Estudo da Reta
42 Geometria Analítica
isto é, x 0 , y 0 , x 1 e y 1 são números conhecidos*. Tal constante, denominada coeficiente angular da reta e doravante denotada pela letra a , pode ser prontamente encontrada dividindo-se a variação Δ y das ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variação Δ x de suas abscissas. Assim,
Substituindo o valor do coeficiente angular dado em 2.2 na Equação 2.1, obtemos
(2.3)
ou, mais apropriadamente,
(2.4)
chamada equação da reta na forma ponto-coeficiente angular. Isolando y na Equação 2.4, obtemos y = ax−ax 0 + y 0, na qual notamos que − ax 0 + y 0 é uma constante, denominada coeficiente linear da reta e doravan- te denotada pela letra b. Podemos, então, reescrever a Equação 2.4 como:
y = ax + b, (2.5) denominada equação da reta na forma reduzida.
Exemplo 2.1 Determine a equação da reta pelos pontos (1 , 3) e (2 , 5) , mos- trada na Figura 2..
= 2.
Figura 2.2 Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5).
44 Geometria Analítica
Figura 2.3 Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta.
Para entendermos o significado do coeficiente linear, fazemos x = 0 na Equa- ção 2.5 e obtemos y = b. Isso significa que a reta passa pelo ponto (0 , b ). Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo- y.
2.3 Retas horizontais e retas verticais
Se uma reta for horizontal, Figura 2.4(a), então sua inclinação é nula e, consequentemente, seu coeficiente angular é zero, pois tg (0) = 0. Nesse caso, a Equação 2.5 se reduz a y = b. Genericamente, toda equação da forma y = constante é equação de uma reta horizontal.
Figura 2.4 Reta horizontal e reta vertical.
Se uma reta for vertical, Figura 2.4(b), então sua inclinação é de 90 o e, consequentemente, seu coeficiente angular não existe, pois tg (90). Nesse caso, sua equação é da forma x = constante. Genericamente, toda equação da forma x = constante é equação de uma reta vertical.
2.4 Equação geral da reta
No plano cartesiano, toda equação da forma
Ax + By + C = 0, (2.6)
Capítulo 2 – Estudo da Reta 45
em que A , B e C são constantes reais e A e B não são simultaneamente nulas, representa uma reta. Para verificar essa afirmação, consideramos as seguintes possibilidades:
que é uma equação da forma (2.5). Nesse caso, se A = 0, a equação anterior se reduz a
que é a equação de uma reta horizontal;
que é a equação de uma reta vertical.
2.5 Retas paralelas e retas perpendiculares
A condição de paralelismo entre duas retas é facilmente estabelecida: duas retas paralelas formam o mesmo ângulo com o eixo das abscissas, logo seus coeficientes angulares são iguais, como ilustrado na Figura 2.5(a). A condição de perpendicularismo é um pouco mais sutil. Para estabelecê- -la, vamos recorrer à Figura 2.5(b), que exibe duas retas perpendiculares* de equações reduzidas
Figura 2.5 Paralelismo e perpendicularismo de retas.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Equação geral da reta - Geometria analítica - Matemática
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Conversão para equação reduzida da reta
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