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Análises Determinísticas de Estabilidade
Introdução
Os métodos probabilísticos mais empregados em projetos geotécnicos,
os quais serão apresentados no próximo capítulo, utilizam análises
determinísticas em seus cálculos. A escolha do método determinístico, que fará parte do estudo probabilístico, influencia diretamente o valor calculado para a
probabilidade de ruptura da obra. Como os estudos dos casos incluídos nos
capítulos 4 e 5 envolvem o cálculo da probabilidade de ruptura de uma barragem
e de um muro de contenção, descreve-se, a seguir, alguns métodos de análises
determinísticas aplicados a esses tipos de obras.
Métodos Determinísticos de Estabilidade de Taludes
Os métodos determinísticos de análises de estabilidade de taludes
estão divididos, basicamente, em dois grupos: os que se baseiam em análise de
deslocamentos e os que se baseiam em estado de equilíbrio limite. No primeiro
grupo, destaca-se o método de elementos finitos no qual poderosas técnicas
numéricas são empregadas com o auxílio de um computador, levando em
consideração as relações tensão/deformação dos diversos materiais. O segundo
grupo pode ser dividido em três subgrupos: métodos que consideram a massa
rompida como um corpo único, formulando-se hipóteses sobre as tensões ao
longo das superfícies potenciais de ruptura; métodos que dividem essa massa
rompida em cunhas e métodos que dividem a massa rompida em fatias.
Utilizou-se no estudo probabilístico da estabilidade da barragem de
Curuá-Una o método de Bishop Simplificado (1955), que é baseado em equilíbrio
limite e o maciço deslocado é dividido em fatias. Neste capítulo serão
apresentados diversos métodos que utilizam o método das fatias.
Hipóteses Básicas Consideradas nos Métodos de Equilíbrio Limite
Os métodos de equilíbrio limite incorporam as seguintes hipóteses:
- A superfície de ruptura é bem definida;
- A condição de ruptura da massa de solo é generalizada e incipiente;
- O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é satisfeito ao longo da superfície potencial de ruptura;
- O fator de segurança ao longo da superfície potencial de ruptura é único.
Método das Fatias
Este método consiste em dividir a superfície potencial de ruptura em
fatias, aplicando-se em cada uma delas as seguintes equações de equilíbrio:
∑ Forças horizontais = 0^ eq.(1)
∑ Forças verticais = 0^ eq.(2)
∑ Momentos = 0^ eq.(3)
As forças atuantes em uma fatia genérica estão mostradas na Figura 2.1.
Aplicando as Equações 1, 2 e 3, encontra-se um sistema no qual o
número de incógnitas é maior do que o número de equações. Para resolver o
problema, algumas hipóteses simplificadoras são necessárias. Estas hipóteses
simplificadoras é que diferenciam os diversos métodos, caracterizando-os como
menos ou mais conservadores.
A seguir serão apresentados alguns dos métodos de fatias mais
utilizados nas análises de estabilidade geotécnica.
Figura 2.2 – Forças atuantes em uma fatia pelo Método de Fellenius
Desprezando as forças nas laterais das fatias, considerando que a componente sísmica é nula, aplicando o equilíbrio de momentos em relação ao centro do círculo de ruptura (ponto O) e o equilíbrio de forças na direção perpendicular à superfície de ruptura pode-se determinar o fator de segurança (FS) através da Equação 4:
eq.(4)
onde: u = poropressão média na base da fatia; c’ = coesão efetiva do solo; φ ’ = ângulo de atrito efetivo do solo.
Esse procedimento é repetido para diversas posições da superfície de ruptura. O fator de segurança crítico corresponde ao de menor valor encontrado para FS.
Wi
Yi +
Xi
Xi +
Ti
Ni
x
l = comprimento do trecho AB
R = raio b
O
A
B
[ ] ∑
=^ ∑^ + −
α
α α α φ sen
'( /cos ) ( cos ( /cos )). ' W
FS c b W ub^ tg
O método de Fellenius é muito conservador e pode apresentar erros de até 50%, quando utilizado em análises de taludes suaves com poropressões elevadas. No caso de ausência de poropressões, erros são da ordem de até 10%.
Método de Bishop Simplificado (1955)
O método de Bishop Simplificado, da mesma forma que o de Fellenius,
considera a superfície de ruptura com forma circular. Tem como hipótese que a
resultante das forças entre as fatias é horizontal. Partindo da Equação 4,
acrescenta-se a equação que impõem o equilíbrio das forças verticais. O fator de
segurança é dado pela Equação 2.5:
eq.(5)
onde
eq.(6)
A solução resulta de um processo iterativo, no qual é arbitrado o valor
do fator de segurança FSi da Equação 6 e calcula-se o fator FS. O processo
repete-se até que o valor calculado ( FS ) se iguale ao valor arbitrado ( FS i).
O método de Bishop Simplificado fornece resultados mais próximos aos
dos métodos mais rigorosos, quando comparado com o método de Fellenius.
Whitman e Bailey (1967) e Wright (1975), entre outros, registram a
ocorrência de problemas no método de Bishop Simplificado quando a superfície
de ruptura apresenta uma inclinação acentuada próxima ao pé do talude,
especialmente, na utilização de círculos de ruptura profundos.
[ φ] α α
cb W ubtg m W
FS ∑ + −
sen
FS i
m cos α 1 tg α.^ tg^ φ' α
Figura 2.3 – Variação do fator f 0 em função do parâmetro d/L e do tipo de solo.
Método de Spencer (1967)
O método de Spencer foi desenvolvido inicialmente para superfícies de ruptura de formas circulares, e depois adaptado para superfícies de deslizamento com formas irregulares. Ele é um método rigoroso, pois atende a todas as equações de equilíbrio de forças e de momentos.
Spencer considerou que as forças Xi, Yi e Xi+1, Yi+1 poderiam ser substituídas por uma resultante Qi inclinada de um ângulo δi com a horizontal. Supondo a componente sísmica nula, e satisfazendo o equilíbrio de momentos, a
d
L
Solos argilosos
Solos mistos
Solos arenosos
0 0,1^ 0,2^ 0,3^ 0,
L
d
f 0
força Qi deve passar pelo ponto de intercessão das forças Wi, Ti, e Ni, ou seja, pelo ponto médio da base da fatia. A Figura 2.4 ilustra as hipóteses de Spencer.
Figura 2.4 – Forças atuantes na base da fatia pelo Método de Spencer (1967)
Impondo o equilíbrio de forças nas direções normal e paralela à base da fatia e considerando o critério de ruptura de Mohr-Coulomb, encontra-se a Equação 9:
eq.(9)
Supondo que não existam forças externas atuando no talude, as componentes horizontal e vertical da força Q devem ser nulas. Portanto:
eq.(10)
eq.(11)
Como a soma dos momentos das forças externas em relação ao centro de rotação é zero, a soma dos momentos das forças entre as fatias em relação ao centro também é nula. Assim:
eq.(12)
Wi
Ti
Qi
Ni
b
h
cos( ).[ 1. (^ ) ]
'..sec '.( .cos. sec ) sen
F
tg tg
W
F
tg h u b F
c b Q φ α δ α δ
α φ α α α
− +^ −
+^ − −
∑ Q .cos^ δ=^0
∑ Q sen^ δ=^0
∑ Q. R .cos(α− δ)= 0
por equilíbrio de forças, apresentem maiores divergências dos resultados fornecidos por métodos rigorosos.
Método de Morgenstern & Price (1965)
O método de Morgenstern & Price é um método rigoroso aplicado a superfícies de ruptura quaisquer. As condições de estabilidade satisfazem simultaneamente todas as condições de equilíbrio de forças e de momentos. A massa potencialmente instável é dividida em fatias infinitesimais e, para ser aplicado, o método necessita do auxílio de um computador para os cálculos. As forças atuantes nas fatias que são consideradas no desenvolvimento deste método estão mostradas na Figura 2.
Figura 2.6 – Forças atuantes em uma fatia pelo Método de Morgenstern & Price (1965)
Para resolver a indeterminação do problema, admite-se uma relação entre as forças E e T da seguinte forma:
T = λ.f(x).E eq.(16) onde:
Pw = Pressões neutras nas laterais da fatia dPb = Resultante das pressões neutras na base da fatia dW = Força peso da fatia T = Força tangencial entre as fatias E = Força normal entre as fatias dN = Força normal na base da fatia dS = Força cisalhante mobilizada na base da fatia
λ = constante a ser determinada por processo iterativo; f(x) = função que precisa ser especificada.
Geralmente, arbitra-se para f(x) a função arco de seno, pois é a função que menos influencia o valor final do fator de segurança, segundo Morgenstern & Price (1965). No entanto, outras funções são empregadas para f(x) como: constante, arco de seno incompleto, trapezoidal ou outra forma qualquer. O método é considerado um dos mais rigorosos.
Método de Sarma (1973)
O Método de Sarma (1973) é tão rigoroso quanto o de Morgenstern & Price (1965 ) e a força sísmica KWi pode ser levada em consideração para simulação de terremotos. O fator de segurança é calculado através de equilíbrio de forças e de momentos, podendo ser resolvido com o auxílio de apenas uma calculadora. O problema de indeterminação do sistema de equações de equilíbrio é resolvido admitindo como sendo conhecida a forma das distribuições das forças cisalhantes entre fatias, mas não a sua magnitude e que as forças normais atuantes na base das fatias passem pelo ponto médio da mesma. Presume-se, também, que o fator K seja conhecido e, desta forma, as equações de soluções são lineares, evitando-se problemas de convergência. Tal característica torna o método Sarma vantajoso aos demais métodos rigorosos. A grande vantagem do Método de Sarma sobre o de Morgenstern & Price é de não precisar de um programa para resolvê-lo, podendo o fator de segurança ser obtido através de planilhas eletrônicas ou com o auxílio de uma simples calculadora.
Comentários
Qualquer um dos métodos de análise de estabilidade, apresentados neste capítulo, está sujeito a erros ou alguma forma de instabilidade numérica. Desta forma, o projetista deve tomar cuidados especiais ao utilizar um método com o qual não esteja familiarizado.
Ching e Fredlund (1981 ) mostram que muitos problemas encontrados na utilização dos métodos das fatias são provenientes das seguintes condições:
A Figura 2.7 ilustra uma aplicação da teoria de Rankine, para o caso de um muro com lados verticais e altura H, contendo um solo não coesivo com ângulo de atrito φ e peso específico γ, considerando uma inclinação β com a horizontal. Os empuxos ativo ou passivo são calculados aplicando-se as Equações 18 ou 19, respectivamente.
Figura 2.7 – Empuxo de terra em um muro contendo um terreno com inclinação β em relação à horizontal
Ativo: eq.(18)
Passivo: (^) eq.(19)
No caso de um muro contendo um solo coesivo na horizontal, os empuxos ativo e passivo são obtidos através das Equações 20 ou 21 respectivamente. Nesta situação, considera-se o efeito de trincas de trações até a uma profundidade Z 0 , a partir da superfície do terreno, conforme ilustrado na Figura 2.8 e expresso pelas Equações 20 a 22.
β β φ
β β φ γ (^2) cos cos^2 cos
cos cos^2 cos^2 ..^2. 2
E (^) a = H
β β φ
γ β^ β^ φ cos cos^2 cos^2
cos cos^2 cos^2
..^2. 2
E = H +^ −
p
H
Figura 2.8 – Distribuição das tensões horizontais em um solo coesivo. No local onde há tração podem ocorrer surgimento de fendas.
eq.(20)
eq.(21)
eq.(22)
onde:
H = altura do muro; γ = peso específico do solo.
No caso da existência de um lençol freático a montante do muro de contenção, deve-se calcular o empuxo total somando-se o empuxo exercido pela água com o empuxo efetivo exercido pelo solo, levando-se em conta o peso específico submerso do solo. Esse procedimento é usado no caso da condição drenada. Na ocorrência de solos pouco permeáveis, aconselha-se empregar o peso específico do solo saturado no cálculo do empuxo.
Z 0
H
Fendas de tração
..^2.^2 ( 45 2 ') 2 .'.. ( 45 2 ' )
= 1 γ H tg −^ φ − cHtg −^ φ Ea
..^2.^2 ( 45 2 ') 2 .'.. ( 45 2 ' )
= 1 γ H tg +^ φ + cHtg +^ φ Ea
φ γ
Z =^ c tg +
muro
Superfície potencial de ruptura
Figura 2.10 – Equilíbrio das forças que atuam na cunha de ruptura
Neste problema, são conhecidas as magnitudes, as direções das forças S, P ,T e as direções das forças R e Ea.
Segundo Terzaghi (1943) o valor do ângulo de atrito solo/muro / pode
ser considerado na faixa de valores seguinte:
Dessa maneira obtém-se o valor do empuxo Ea para a possível cunha de ruptura por modo gráfico ou analiticamente. Esse procedimento é repetido para vários valores de . 2 HPSX[R TXH VHUá empregado no cálculo de estabilidade é o de maior valor encontrado. De maneira análoga, o empuxo passivo Ep é obtido invertendo-se os sentidos da forças S e T e desviando as forças R e Ea respectivamente de -φ, em relação à perpendicular à base da
cunha, e de −/em relação à perpendicular à parede do muro.
Método das Cunhas
O método das cunhas, diferentemente do método de Coulomb, pode ser aplicado a superfícies de terrenos com formas irregulares, maciços heterogêneos e presença de sobrecargas. Considerando o atrito e adesão entre o solo e o muro acha-se graficamente o empuxo Ea para as diversas cunhas formadas pelos diversos ângulos ρ (^) i. Para cada cunha formada por ρ (^) i, acrescenta-se: o peso da fatia formada entre os ângulos ρ (^) i e ρ (^) i-1 e as eventuais cargas na superfície do terreno que, por ventura, estejam em contato com essa fatia, conforme mostrado na Figura 2.11. O empuxo passivo será o empuxo de maior valor encontrado entre os ângulos ρ (^) i.
P
R
Ea
S
T
Figura 2.11 – Esquema de forças do Método das cunhas
Análise Determinística de um Muro de Contenção
Conhecidos os valores dos empuxos, deve-se verificar a segurança contra o tombamento, o deslizamento, a ruptura e deformação excessiva do terreno de fundação e ainda a ruptura do conjunto muro/solo.
Segurança Contra o Tombamento
A segurança contra o tombamento é verificada através do cálculo do momento em relação ao ponto O, localizado na extremidade externa da base do muro (Figura 2.12). Para que haja estabilidade, o momento exercido pelo peso
ρ 1 ρ^2 ρ (^) n
Pn
P 2
P 3
P 1
Q 1 Q^2 P^1
P 2 Q 1 P 3
Q 2 Pn
T
Sn
Rn Eai
ø
Pi = peso da cunha de ruptura i Qi = carga na superfície do terreno Ø = ângulo de atrito do solo
/ ângulo de atrito solo/muro
Si = força de coesão da cunha i T = fora de adesão solo/muro Ri = reação do terreno para a cunha i Eai = empuxo ativo para a cunha i ρ (^) i = ângulo da cunha de ruptura com a horizontal Z 0 = fenda de tração (Equação 2.47)
Z 0
Sn
Rn
T
Ean
Segurança Contra a Ruptura e Deformação Excessiva do Terreno de
Fundação
Quando a resultante R das forças P, Ea e Ep cair no terço médio da base do muro, a distribuição de pressões no solo será, aproximadamente, de forma trapezoidal, como mostra a Figura 2.13.
Figura 2.13 – Distribuição de pressões no solo.
Aplicando-se as equações de equilíbrio de forças e de momentos, as tensões σ 1 e σ 2 são obtidas através das Equações 24 e 25:
eq.(24)
eq.(25)
A condição de estabilidade será satisfeita, quando a maior das tensões for menor do que a pressão admissível do terreno de fundação.
Uma outra possibilidade é a resultante R estar aplicada fora do terço médio da base do muro, o que acarretaria uma distribuição aproximadamente triangular, como mostra a Figura 2.14. Neste caso, a tensão máxima σ 1 é dada pela Equação 26.
1 .(^16.^ )
L
e L
σ = R^ v^ +
Rv (^) R
L
L/3 L/
σ 2 σ 1
e
2 .(^16.^ )
L
e L
σ = R^ v^ −
Figura 2.14 – Distribuição triangular de pressões no solo
eq.(26)
Segurança Contra a Ruptura do Conjunto Solo/Muro
A segurança contra a ruptura do conjunto solo/muro pode ser verificada por qualquer um dos métodos de estabilidade de taludes apresentados neste capítulo. Os quatro tipos de instabilidade apresentados estão ilustrados na Figura 2.
Figura 2.15 – Formas de instabilidade em um muro de contenção.
Rv (^) R
L
L/3 L/
σ 1
e
3e
e
R v 3
Deslizamento
Ruptura da Fundação
Tombamento
Ruptura do conjunto solo/muro
