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Este documento aborda a teoria de impulsos e espectros, explicando as propriedades de impulsos, a transformada de fourier e suas aplicações. O texto inclui equações matemáticas e demonstrações para ilustrar os conceitos.
Tipologia: Notas de estudo
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Propriedades do Impulso Unitário
O impulso unitário ou função delta de Dirac δ( t ) não é uma função no sentido matemático estrito.
Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição , cujas definições são estabelecidas por regras de atribuição♠^.
A função generalizada δ( t ) é definida com o auxílio de uma função ordinária v ( t ) que é contínua em t =0:
para quaisquer t 1 e t 2 envolvendo a origem (inclusive t 1 = −∞ e t 2 =+∞, ou, t 1 = 0−^ e t 2 =0 +^ ).
♠[A regra atribui um número, v (0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).]
Esta regra também se aplica a impulsos no domínio da frequência , δ( f ).
só existe sobreposição no ponto t =
v ( t ) é qualquer área
δ( t ) só existe no ponto t =
Representação gráfica:
o impulso localizado em t = td tem área /peso igual a A :
A δ( t − td )
No caso particular onde v ( t )=1:
sendo ϵ arbitrariamente pequeno.
Isto significa que δ( t ) tem área unitária , concentrada no ponto discreto t =0, inferindo-se também que:
Recordação (seção 2.2): Formas de ondas aproximadas
Se se aproxima de z ( t ) e o erro quadrático é pequeno, e também, se e , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença resulta:
Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z ( f ).
Exemplo: será usado adiante que, se
~ z (^) ( t )
Z f
0
∈→
erro em frequência erro no tempo
Impulsos no limite:
Embora o impulso fisicamente não exista, há várias funções convencionais que exibem todas as propriedades de δ( t ) no limite, quando algum parâmetro tende a zero.
Se a função δ ϵ ( t ) é tal que:
então,
Adendo: No Exemplo 2.2-3 foi estudado o pulso sinc com largura 1/τ=1/2 W :
A área sob a curva de z ( t ) é dada por: Z ( f = 0) = Z (0) = A /2 W = A × (1/2 W ),
ou seja, o produto entre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. # fim do adendo
t
c) Multiplicação
d) Mudança de escala
Portanto, em relação à variável independente t , a função δ(α t ) atua como δ( t )/|α|, ou seja, tem sua área reduzida (aumentada) em 1/|α| no caso em que α >1 (α <1).
Corolário: Fazendo-se α = −1, mostra-se a propriedade de simetria do impulso: δ(− t ) = δ( t ).
e) Relação com a função degrau unitário
Sabendo-se que:
obtém-se : , degrau unitário (9c)
Corolário (derivada = inversa da integral) : (9d)
( ) ut t
t d
= −∞
δ λ λ
como havia sido previsto intuitivamente
t
Exemplo: Teorema da replicação
a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos , definida por , para n inteiro.
Solução: a) Gráfico de rep T [δ( t )]:
b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se
+∞
=−∞
Δ = − n
+∞
=−∞
+∞
=−∞
+∞
=−∞
n n n
rep T [ ]
Impulsos em Frequência
Seja v ( t )= A um sinal de energia infinita (que, em princípio, não teria transformada de Fourier).
Ao se tentar calcular a sua transformada de Fourier usando-se a definição, seria obtido:
Em outras palavras, existe a dificuldade de se calcular a integral da exponencial complexa* :
+∞
−∞
E [ v ( t )]= v ( t )^2 dt =∞
+∞
−∞
− −
+∞
−∞
−
+∞
2 2 2
+∞
−∞
+∞
−∞
j π ft
(integral em t , expoente negativo)
*Obs: esta integral será calculada adiante!
Contudo, a transformada de Fourier de v ( t )= A pode ser obtida no limite, considerando-se que:
Sendo conhecido o seguinte par de TF : ,
pode-se proceder ao cálculo da TF no limite [lembrar que , ϵ = 2 W ]:
A sinc 2 Wt
lim ( )
lim 0 0
f
f ∈→ =∈→ ∈
Área = A
0 0
W W
→ →
Dado que:
a) Generalização de (3.5-11):
Recorrendo ao teorema da modulação complexa (2.3-6), isto é:
generaliza-se (2.5-11) para o caso onde , para mostrar que: w ( t ) ↔ W ( f ), onde
informando-se que o espectro de um fasor individual é um impulso em f =fc.
b) Cosseno eterno
Foi visto na Seção 2.2 que a condição essencial da análise espectral usando a definição de transformada de Fourier é que o sinal seja não periódico (sinal de energia).
Este não é o caso da função cosseno eterno ... a menos que se use o impulso em frequência (ou seja, TF no limite).
Recorrendo-se ao teorema da modulação real (2.3-7), ou seja:
e (2.5-11), torna-se possível obter a TF do cosseno eterno:
(continua...)
w ( t ) = = W ( f )
v ( t )=
fasor individual
c) Seno eterno
Obs:
sen( )
() sen( ) cos( 90 )
( 900 ) ( 900 )
c
j c
j c
c
j c
j
o c c
A t jAe f f e f f
vt Ae f f Ae f f
vt A t A t
−
− − −
ω φ δ δ
δ δ
ω φ ω φ
φ φ
φ φ f^ c
f (^) c
-f (^) c
-f (^) c
f
f
| V ( f )|
arg V ( f )
A /2^ A /
φ − 900
−(φ− 900 )
Obs:
j^ o ± j = e ±^90
d) Transformada de Fourier da Série de Fourier
Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de potência , em princípio, ela também não poderia exibir uma transformada de Fourier no sentido estrito.
Isto também pode ser superado com o uso do impulso (ou seja, TF no limite).
Série de Fourier = espectro discreto e bilateral de linhas (ou raias).
Transformada de Fourier da série de Fourier = espectro contínuo de impulsos em frequência.
Dado:
usando-se (12)
e o princípio de superposição de efeitos (teorema da linearidade), se obtém:
um espectro contínuo.
Por que contínuo?? Explicar!!
fasor individual
soma de fasores
v ( t ) ↔
Espectro discreto × contínuo:
Espectro discreto = para se recuperar v ( t ) deve-se somar os fasores: c ( nf 0 ) exp(− jnf 0 t ).
Transformada de Fourier:
Espectro contínuo = para se recuperar v ( t ) deve-se integrar os impulsos com áreas c ( nf 0 ) para obter os fasores.
5
sinc 5
c (^) n ( nf 0 )= A^ n
Impulsos
Série de Fourier:
f = nf 0 = n 4 nf 0 τ = n 4(1/20) = n /
τ/ T 0 = 1/5: τ = 1/20, T 0 = 1/4, f 0 = 4
sinc n /5=0 , n /5=±1, ±2,... n^ ^ n^ =±5,^ ±10,...
Linhas
− 5 5 10
v ( t ) = soma de linhas
v ( t ) = integral (da soma) de impulsos
ℑ−^1
espectro
espectro
i)
ii)
soma de impulsos
(continua...)
Para o cálculo da TF empregam-se as seguintes relações:
(2.2-9ª-b): (9a-b)
(2.3-7):
resultando em
o qual é um espectro contínuo, com componentes impulsivas e não não-impulsivas.
O gráfico de V ( f ) está desenhado na Figura 2.5-4b (apenas para a porção positiva do espectro)
Superposição de ( A τ/2) sinc( f − f (^) c )τ com ( A τ/2) sinc( f − 2 f (^) c ) τ
, τ= 2 / f c
Sinal com apenas duas frequências? Errado!
Espectro com componentes em todas as frequências
Funções Degrau e Sinal
Definição: função degrau unitário
Definição: função sinal
não exibe simetria
Obs:
exibe simetria ímpar
(espectro complexo)
(espectro imaginário e ímpar )
Função sinal ( sign ou signum )
A função sign é o caso limite do sinal de energia z ( t ) mostrado na Fig. 2.5-6, onde , quando b → 0 (para t > 0).
A função z ( t ) é escrita como:
a qual pode ser interpretada como:
tal qual discutido no Exercício (2.3-1), que garantia que:
(continua...)
v ( t )= e − btu ( t )
− v ( − t ) = − e − b^ (^^ −^ t^ ) u ( − t ) = − e + btu ( − t )
, a 1 = 1 e a 2 = − 1
O espectro de amplitudes (módulo) da função sinal está desenhado na figura abaixo:
Observe-se que |ℑ{sgn t }| tende para +∞ quando f = 0 +, e, para −∞, quando f = 0−^.
Porém, exatamente em f = 0, deve-se lembrar da propriedade da área, isto é, se w ( t ) ↔ W ( f ), tem-se
por definição: , e daí, , ou seja, W (0) é igual a área
sob a curva [ou então, a componente DC ou valor médio de w ( t )].
Como w ( t ) = sgn t é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o espectro ℑ[sgn t ] não exibe impulso em f = 0 (ver o caso da função degrau a seguir). não tem componente DC!
∞
−∞
∞
−∞
(continua...)
espectro de magnitudes
área total nula
Função degrau unitário
Esta função é muito empregada na teoria de Fourier, pois auxilia a representar sinais causais: qualquer função temporal multiplicada por u ( t ) será nula para t < 0.
Esta função pode ser considerada como o limite de v ( t ) quando b →0, sendo:
Porém, não exibe simetria, e não pode se beneficiar do resultado do Exercício (2.3-1), pois não pode ser escrita na forma:
Contudo, lembra-se que
e portanto, usando (2.5-11) e (2.5-17):
(valor médio = 1/2)
(continua...)
não possui simetria
(espectro complexo)
Desafio: explicar por que a TF de (2.5.15a), no limte quando b→∞, não conduz à expressão correta para U ( f ) !!??
= U ( f )
O espectro de amplitudes da TF do degrau está desenhado na figura abaixo:
Neste caso, o degrau u ( t ) tem valor médio:
Consequentemente, seu espectro deve incluir um impulso, δ( f )/2, da mesma forma que a transformada de um sinal periódico com valor médio c (0) deve incluir um termo DC igual a c (0)δ( f ).
2
1 2
() lim^1 () lim^1 / 12 lim^1 0
/ 2
/ 2
= = →∞ = →∞ = → ∞ −
T T
dt T
utdt T
u t T
T T
T T T
(área sob a curva = 0)
Generalização do ‘Teorema da Integração’:
Na Seção 2.3 foi visto que, se
então,
A seguir, generaliza-se este teorema para o caso em que a área integrada é não nula.
Convoluindo-se u ( t ) com um sinal de energia arbitrário v ( t ), tem-se:
desde que u (−λ + t ) = u ( t −λ ) = 0, para λ > t , e, u ( t −λ ) = 1 para λ < t.
u (−λ)
u ( t −λ)
λ
λ t (continua...)
1
1
0
0
pela definição
Considerações Gerais
a) Observe-se que é o dual de.
Estas relações refletem casos extremos do fenômeno de espalhamento recíproco :
“Um sinal de impulso com duração nula tem largura espectral infinita, enquanto um sinal constante com duração infinita tem largura espectral nula”
b) Aplicando-se o teorema do delay : à
obtém-se
ou, equivalentemente
Porém, por definição
o que permite concluir que
Esta integral permite provar o teorema integral de Fourier (ver a seguir).
(integral em f , expoente positivo)
c) Dado que
sendo v ( t ) uma função contínua e com TF dada por V ( f ) = ℑ[ v ( t )], mostra-se que a TFI realmente é v ( t ).
Prova:
A partir das definições de TF direta e inversa:
Contudo, nota-se que a integral entre colchetes corresponde a (2.5-23), para td = λ, cujo resultado é igual a δ( t − td ) = δ( t −λ).
Com isso,
Usando a propriedade da replicação: , conclui-se que ℑ-1^ [ V ( f )] = v ( t ). c.q.d.
Integra em λ depois em f
Integra em f depois em λ
V ( f )
d) Pode-se estabelecer uma relação entre impulso unitário e degrau unitário através da integral
e) Diferenciando ambos os lados de (2.5-25), chega-se a outra relação entre δ( t ) e u ( t ):
a qual apresenta um impulso como uma derivada de uma descontinuidade degrau.
f) O teorema da diferenciação (2.3-8), em conjunto com as relações (2.5-22) e (2.5-26), ou seja:
podem agilizar o cálculo de certas transformadas de Fourier
Procedimento:
sendo w ( t ) uma função não impulsiva.
2
τ
π
2 2 2 3
3 δ τ τ
π δ τ τ
π τ
π
Aplicando a TF se obtém:
Após alguns cálculos algébricos, isola-se V ( f ):
(continua...)
Obs:
O espectro de amplitudes de V ( f ) está desenhado na Fig. 2.5-7c, para f ≥ 0.