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Impulsos e Espectros: Teoria e Aplicações, Notas de estudo de Energia

Este documento aborda a teoria de impulsos e espectros, explicando as propriedades de impulsos, a transformada de fourier e suas aplicações. O texto inclui equações matemáticas e demonstrações para ilustrar os conceitos.

Tipologia: Notas de estudo

2022

Compartilhado em 07/11/2022

Reginaldo85
Reginaldo85 🇧🇷

4.5

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bg1
2.5 Impulsos e Transformadas no Limite
Propriedades do Impulso Unitário
Oimpulso unitário ou função delta de Dirac δ(t) não é uma função no sentido matemático estrito.
Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição,cujas
definições são estabelecidas por regras de atribuição.
A função generalizada δ(t) é definida com o auxílio de uma função ordinária v(t) que é contínua em
t=0:
para quaisquer t1et2envolvendo a origem (inclusive t1=−∞ et2=+, ou, t1=0
et2=0+).
[A regra atribui um número, v(0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).]
Estaregratambémseaplicaaimpulsos no domínio da frequência,δ(f).
só existe sobreposição no ponto t=0
v(t) é qualquer área
δ(t) só existe no ponto t=0
Representação gráfica:
A representação de Aδ(t
td) está mostrada na Figura 2.5-1, onde a letra Apróximo da seta significa que
o impulso localizado em t=tdtem área/peso igual a A:
)( d
ttA
δ
____________________________________________________
No caso particular onde v(t)=1:
sendo ϵarbitrariamente pequeno.
Isto significa que δ(t)temárea unitária, concentrada no ponto discreto t=0, inferindo-se também que:
pf3
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pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14

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2.5 Impulsos e Transformadas no Limite

Propriedades do Impulso Unitário

O impulso unitário ou função delta de Dirac δ( t ) não é uma função no sentido matemático estrito.

Ela pertence a uma classe especial conhecida como funções generalizadas ou distribuição , cujas definições são estabelecidas por regras de atribuição♠^.

A função generalizada δ( t ) é definida com o auxílio de uma função ordinária v ( t ) que é contínua em t =0:

para quaisquer t 1 e t 2 envolvendo a origem (inclusive t 1 = −∞ e t 2 =+∞, ou, t 1 = 0−^ e t 2 =0 +^ ).

♠[A regra atribui um número, v (0) ou 0, à expressão do lado esquerdo de (1).]

Esta regra também se aplica a impulsos no domínio da frequência , δ( f ).

só existe sobreposição no ponto t =

v ( t ) é qualquer área

δ( t ) só existe no ponto t =

Representação gráfica:

A representação de A δ( t − td ) está mostrada na Figura 2.5-1, onde a letra A próximo da seta significa que

o impulso localizado em t = td tem área /peso igual a A :

A δ( ttd )

____________________________________________________

No caso particular onde v ( t )=1:

sendo ϵ arbitrariamente pequeno.

Isto significa que δ( t ) tem área unitária , concentrada no ponto discreto t =0, inferindo-se também que:

Recordação (seção 2.2): Formas de ondas aproximadas

Se se aproxima de z ( t ) e o erro quadrático é pequeno, e também, se e , então, aplicando-se o teorema de Rayleigh à diferença resulta:

Como a ordem de grandeza do erro no domínio da frequência é o mesmo que no domínio do tempo, pode-se utilizar como boa aproximação para Z ( f ).

Exemplo: será usado adiante que, se


~ z (^) ( t )

Z f

~ () lim () () ()

0

z t = ∈ t ≅ t = zt  Z f ≅ Z f

∈→

erro em frequência erro no tempo

Impulsos no limite:

Embora o impulso fisicamente não exista, há várias funções convencionais que exibem todas as propriedades de δ( t ) no limite, quando algum parâmetro tende a zero.

Se a função δ ϵ ( t ) é tal que:

então,

Adendo: No Exemplo 2.2-3 foi estudado o pulso sinc com largura 1/τ=1/2 W :

A área sob a curva de z ( t ) é dada por: Z ( f = 0) = Z (0) = A /2 W = A × (1/2 W ),

ou seja, o produto entre o valor de pico e a meia-largura do pulso sinc. # fim do adendo

t

c) Multiplicação

Ou seja, o valor da função em t = td , isto é v ( td ), passa a ser igual à área do impulso δ( t − td ).

d) Mudança de escala

Portanto, em relação à variável independente t , a função δ(α t ) atua como δ( t )/|α|, ou seja, tem sua área reduzida (aumentada) em 1/|α| no caso em que α >1 (α <1).

Corolário: Fazendo-se α = −1, mostra-se a propriedade de simetria do impulso: δ(− t ) = δ( t ).

e) Relação com a função degrau unitário

Sabendo-se que:

obtém-se : , degrau unitário (9c)

Corolário (derivada = inversa da integral) : (9d)

( ) ut t

t d

t

 = −∞

δ λ λ

dt

dut

t

como havia sido previsto intuitivamente

t

Exemplo: Teorema da replicação

a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos , definida por , para n inteiro.

b) Esboçar o gráfico de , onde , para τ < T.

Solução: a) Gráfico de rep T [δ( t )]:

b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se

+∞

=−∞

Δ = − n

rep T [δ( t )] δ( t nT )

rep T [ v ( t )]= v ( t )*rep T [ δ( t )] v ( t )= A Π( t / τ)

  

+∞

=−∞

+∞

=−∞

+∞

=−∞

n n n

repT [ v ( t )] v ( t )* δ( t nT ) v ( t )* δ( t nT ) v ( t nT )

______________________________________________

rep T [ ]

Impulsos em Frequência

Seja v ( t )= A um sinal de energia infinita (que, em princípio, não teria transformada de Fourier).

Ao se tentar calcular a sua transformada de Fourier usando-se a definição, seria obtido:

Em outras palavras, existe a dificuldade de se calcular a integral da exponencial complexa* :

+∞

−∞

E [ v ( t )]= v ( t )^2 dt =∞

+∞

−∞

− −

+∞

−∞

+∞

=  j^ ft = j ft = e j ft

j f

A

V f vt e π dt Ae π dt^ π

2 2 2

[cos( 2 ) sen( 2 )] ??

+∞

−∞

ft j f t

j f

A

V f π π

+∞

−∞

 e^ dt

j π ft

(integral em t , expoente negativo)

*Obs: esta integral será calculada adiante!

Contudo, a transformada de Fourier de v ( t )= A pode ser obtida no limite, considerando-se que:

Sendo conhecido o seguinte par de TF : ,

pode-se proceder ao cálculo da TF no limite [lembrar que , ϵ = 2 W ]:

e daí estabelecer que:

A sinc 2 Wt

lim ( )

lim 0 0

f

f ∈→ =∈→ ∈ 

Área = A

{ ()} {lim sinc 2 } lim { sinc 2 }

0 0

v t A Wt A Wt

W W

→ →

Dado que:

a) Generalização de (3.5-11):

Recorrendo ao teorema da modulação complexa (2.3-6), isto é:

generaliza-se (2.5-11) para o caso onde , para mostrar que: w ( t ) ↔ W ( f ), onde

informando-se que o espectro de um fasor individual é um impulso em f =fc.

b) Cosseno eterno

Foi visto na Seção 2.2 que a condição essencial da análise espectral usando a definição de transformada de Fourier é que o sinal seja não periódico (sinal de energia).

Este não é o caso da função cosseno eterno ... a menos que se use o impulso em frequência (ou seja, TF no limite).

Recorrendo-se ao teorema da modulação real (2.3-7), ou seja:

e (2.5-11), torna-se possível obter a TF do cosseno eterno:

w ( t )= v ( t ) ej^ ω c^ t^ = Aej^ ω c^ t

(continua...)

______________________________________________

w ( t ) = = W ( f )

v ( t )=

fasor individual

c) Seno eterno

Obs:

[ ( ) ( )]

sen( )

() sen( ) cos( 90 )

( 900 ) ( 900 )

c

j c

j c

c

j c

j

o c c

A t jAe f f e f f

vt Ae f f Ae f f

vt A t A t

− − −

ω φ δ δ

δ δ

ω φ ω φ

φ φ

φ φ f^ c

f (^) c

-f (^) c

-f (^) c

f

f

| V ( f )|

arg V ( f )

A /2^ A /

φ − 900

−(φ− 900 )

Obs:

___________________________________________

j^ o ± j = e ±^90

d) Transformada de Fourier da Série de Fourier

Como a série de Fourier se refere a sinais periódicos de potência , em princípio, ela também não poderia exibir uma transformada de Fourier no sentido estrito.

Isto também pode ser superado com o uso do impulso (ou seja, TF no limite).


Série de Fourier = espectro discreto e bilateral de linhas (ou raias).

Transformada de Fourier da série de Fourier = espectro contínuo de impulsos em frequência.


Dado:

usando-se (12)

e o princípio de superposição de efeitos (teorema da linearidade), se obtém:

um espectro contínuo.

Por que contínuo?? Explicar!!

fasor individual

soma de fasores

v ( t ) ↔

Espectro discreto × contínuo:

Espectro discreto = para se recuperar v ( t ) deve-se somar os fasores: c ( nf 0 ) exp(− jnf 0 t ).

Transformada de Fourier:

Espectro contínuo = para se recuperar v ( t ) deve-se integrar os impulsos com áreas c ( nf 0 ) para obter os fasores.

5

sinc 5

c (^) n ( nf 0 )= A^ n

Impulsos

Série de Fourier:

f = nf 0 = n 4 nf 0 τ = n 4(1/20) = n /

τ/ T 0 = 1/5: τ = 1/20, T 0 = 1/4, f 0 = 4

sinc n /5=0 , n /5=±1, ±2,... n^ ^ n^ =±5,^ ±10,...

Linhas

− 5 5 10

v ( t ) = soma de linhas

v ( t ) = integral (da soma) de impulsos

ℑ−^1

espectro

espectro

i)

ii)

soma de impulsos

(continua...)

=A ↔ =A τ

_________________________________________________________

Para o cálculo da TF empregam-se as seguintes relações:

(2.2-9ª-b): (9a-b)

(2.3-7):

resultando em

o qual é um espectro contínuo, com componentes impulsivas e não não-impulsivas.

_________________________________________________

O gráfico de V ( f ) está desenhado na Figura 2.5-4b (apenas para a porção positiva do espectro)

Superposição de ( A τ/2) sinc( ff (^) c )τ com ( A τ/2) sinc( f − 2 f (^) c ) τ

, τ= 2 / f c

Sinal com apenas duas frequências? Errado!

Espectro com componentes em todas as frequências

Funções Degrau e Sinal

Definição: função degrau unitário

Definição: função sinal

não exibe simetria

Obs:

exibe simetria ímpar

(sgn 1 )

u ( t )= t +

(espectro complexo)

(espectro imaginário e ímpar )

Função sinal ( sign ou signum )

A função sign é o caso limite do sinal de energia z ( t ) mostrado na Fig. 2.5-6, onde , quando b → 0 (para t > 0).

A função z ( t ) é escrita como:

a qual pode ser interpretada como:

tal qual discutido no Exercício (2.3-1), que garantia que:

(continua...)

v ( t )= ebtu ( t )

v ( − t ) = − eb^ (^^ −^ t^ ) u ( − t ) = − e + btu ( − t )

, a 1 = 1 e a 2 = − 1

_________________________________________________

O espectro de amplitudes (módulo) da função sinal está desenhado na figura abaixo:

Observe-se que |ℑ{sgn t }| tende para +∞ quando f = 0 +, e, para −∞, quando f = 0−^.

Porém, exatamente em f = 0, deve-se lembrar da propriedade da área, isto é, se w ( t ) ↔ W ( f ), tem-se

por definição: , e daí, , ou seja, W (0) é igual a área

sob a curva [ou então, a componente DC ou valor médio de w ( t )].

Como w ( t ) = sgn t é uma função ímpar, sua área líquida é nula, e assim, o espectro ℑ[sgn t ] não exibe impulso em f = 0 (ver o caso da função degrau a seguir). não tem componente DC!

−∞

W ( f )= w ( t ) e − j^2 π ftdt

−∞

W ( 0 )= w ( t ) dt

(continua...)

espectro de magnitudes

área total nula

Função degrau unitário

Esta função é muito empregada na teoria de Fourier, pois auxilia a representar sinais causais: qualquer função temporal multiplicada por u ( t ) será nula para t < 0.

Esta função pode ser considerada como o limite de v ( t ) quando b →0, sendo:

___________________________________

Porém, não exibe simetria, e não pode se beneficiar do resultado do Exercício (2.3-1), pois não pode ser escrita na forma:


Contudo, lembra-se que

e portanto, usando (2.5-11) e (2.5-17):

(valor médio = 1/2)

(continua...)

não possui simetria

(espectro complexo)

Desafio: explicar por que a TF de (2.5.15a), no limte quando b→∞, não conduz à expressão correta para U ( f ) !!??

= U ( f )

_______________________________________________

O espectro de amplitudes da TF do degrau está desenhado na figura abaixo:

Neste caso, o degrau u ( t ) tem valor médio:

Consequentemente, seu espectro deve incluir um impulso, δ( f )/2, da mesma forma que a transformada de um sinal periódico com valor médio c (0) deve incluir um termo DC igual a c (0)δ( f ).

2

1 2

() lim^1 () lim^1 / 12 lim^1 0

/ 2

/ 2

= = →∞ = →∞ = → ∞ −  

T T

dt T

utdt T

u t T

T T

T T T

(área sob a curva = 0)

Generalização do ‘Teorema da Integração’:

Na Seção 2.3 foi visto que, se

então,

A seguir, generaliza-se este teorema para o caso em que a área integrada é não nula.

Convoluindo-se u ( t ) com um sinal de energia arbitrário v ( t ), tem-se:

desde que u (−λ + t ) = u ( t −λ ) = 0, para λ > t , e, u ( t −λ ) = 1 para λ < t.


u (−λ)

u ( t −λ)

λ

λ t (continua...)

1

1

0

0

pela definição

Considerações Gerais

a) Observe-se que é o dual de.

Estas relações refletem casos extremos do fenômeno de espalhamento recíproco :

“Um sinal de impulso com duração nula tem largura espectral infinita, enquanto um sinal constante com duração infinita tem largura espectral nula”

b) Aplicando-se o teorema do delay : à

obtém-se

ou, equivalentemente

Porém, por definição

o que permite concluir que

Esta integral permite provar o teorema integral de Fourier (ver a seguir).

(integral em f , expoente positivo)

c) Dado que

sendo v ( t ) uma função contínua e com TF dada por V ( f ) = ℑ[ v ( t )], mostra-se que a TFI realmente é v ( t ).


Prova:

A partir das definições de TF direta e inversa:

Contudo, nota-se que a integral entre colchetes corresponde a (2.5-23), para td = λ, cujo resultado é igual a δ( ttd ) = δ( t −λ).

Com isso,

Usando a propriedade da replicação: , conclui-se que ℑ-1^ [ V ( f )] = v ( t ). c.q.d.

Integra em λ depois em f

Integra em f depois em λ

V ( f )

d) Pode-se estabelecer uma relação entre impulso unitário e degrau unitário através da integral

e) Diferenciando ambos os lados de (2.5-25), chega-se a outra relação entre δ( t ) e u ( t ):

a qual apresenta um impulso como uma derivada de uma descontinuidade degrau.

f) O teorema da diferenciação (2.3-8), em conjunto com as relações (2.5-22) e (2.5-26), ou seja:

podem agilizar o cálculo de certas transformadas de Fourier

Procedimento:

  • diferenciar repetidamente o sinal v ( t ) até que uma ou mais descontinuidades degrau apareçam.
  • devido a (2.5-26), a próxima derivada ( a n -ésima) inclui um impulso: Ak δ( ttk ).
  • com isso, ocorre que

sendo w ( t ) uma função não impulsiva.

  • transformando (2.5-27a) através de (2.3-8), e usando (2.5-22):
  • se W ( f ) for conhecido, resolver para extrair V ( f ).

dt

dvt

w t

2

τ

π

2 2 2 3

3 δ τ τ

π δ τ τ

π τ

π

= − A t A t

dt

dvt

dt

d vt

Aplicando a TF se obtém:

Após alguns cálculos algébricos, isola-se V ( f ):

(continua...)

Obs:

O espectro de amplitudes de V ( f ) está desenhado na Fig. 2.5-7c, para f ≥ 0.