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INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS SÃO JOSÉ CURSO TÈCNICO INTEGRADO EM TELECOMUNICAÇÕES DISCIPLINA DE ELETRÔNICA DIGITAL PROF. MARIA CLÁUDIA DE ALMEIDA CASTRO
1. Sistemas de Numeração
1.1 Introdução – Os Números
Acredita-se que a necessidade de criação de números veio com a necessidade de contar. Seja o número de animais, alimentos, ou coisas do tipo. Como a evolução nos legou algumas características, como os cinco dedos em cada mão e cinco dedos em cada pé, seria muito natural que os primeiros sistemas de numeração fizessem uso das bases 10 (decimal) e 20 (vigesimal).
Em eletrônica e Computação, as bases mais utilizadas para sistemas de numeração são: Decimal (Base 10) Binária (Base 2) Octal (Base 8) Hexadecimal (Base 16)
1.2 Sistema de Numeração Decimal
O sistema de numeração normalmente utilizado, o sistema decimal, apresenta dez dígitos (algarismos), são eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. No sistema decimal, 10 é à base do sistema. Obs.: para um sistema de base N, os dígitos vão de 0 à N-1.
Ex.: 328451 10 = 3 x 10^5 + 2 x 10^4 + 8 x 10^3 + 4 x 10^2 + 5 x 10^1 + 1 x 10^0 = 300000 + 20000 + 8000 + 400 + 50 + 1 = 328451 Grandeza
Descrição de formação do número:
X. BY
1.3 Sistema de Numeração Binário
Este sistema de numeração, como o próprio nome sugere, apresenta base 2. Os números 0 e 1 são os dígitos deste sistema.
Para representarmos à quantidade zero , utilizamos o algarismo (0), para representarmos a quantidade um utilizamos o algarismo (1). E para representarmos a quantidade dois , se nós não possuímos o algarismo (2) nesse sistema? Basta lembrar-se de como é obtido o número dez no sistema de numeração decimal, onde os dígitos vão de 0 a 9.
Representamos a quantidade de uma dezena utilizando a algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Neste caso, o algarismo 1 (um) significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo 0 (zero) nenhuma unidade, o que significa dez.
1
Posição do dígito, em relação a
vírgula
Base do sistema
de numeração
Dígito do número
em questão
No sistema binário agimos da mesma forma, para representarmos a quantidade dois, utilizamos o algarismo (1) seguido do algarismo (0). Sendo assim, a numeração em binário vai tornar-se:
Decimal Binário 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101
.. .. ..
O sistema binário é de grande importância, pois apresenta correspondência direta com os estados de um sistema digital. Por exemplo: para o dígito 0 pode-se atribuir o valor de tensão 0 V (GND, COM) e para o dígito 1 pode-se atribuir o valor de tensão de + 5 V.
Ex.: 1001101 2 = 1 x 2^6 + 0 x 2^5 + 0 x 2^4 + 1 x 2^3 + 1 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77 10
1.3.1 Conversão de um número no sistema binário para o equivalente no sistema decimal.
Regra geral: multiplica-se cada dígito pelo valor da base elevada a uma dada potência, definida pela posição do dígito, e finalmente realiza-se a soma.
Ex.: 11001101 2 = 1 x 2^7 + 1 x 2^6 + 0 x 2^5 + 0 x 2^4 + 1 x 2^3 + 1 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0 = 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 205 10
1.4 Sistema Octal de Numeração
A base de um sistema numérico é igual o número de dígitos que ela usa. Portanto, o sistema octal, que apresenta base 8, tem 8 dígitos a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (base N = 8 dígitos 0 N-1 = 7).
Sua utilidade nos sistemas digitais vem do fato de que, associando-se os algarismos de um número binário (bits) em grupos de três, obtém-se uma correspondência direta com os dígitos do sistema octal. Observaremos nitidamente este mais adiante.
1.4.1 Conversão de Octal em Decimal
1 x 8^3 + 2 x 8^2 + 4 x 8^1 + 7 x 8^0 + 2 x 8-1^ + 3 x 8-2^ + 5 x 8- 512 + 128 + 32 + 7 + 1/8 + 3/64 + 5/
1247,235 8 = 679,1816406 10
1.5 Sistema de Numeração Hexadecimal
Este sistema apresenta base igual a 16. Portanto 16 dígitos distintos. São usados os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Como no sistema de numeração octal, o hexadecimal apresenta equivalência direta entre seus dígitos e grupos de quatro dígitos binários. A tabela a seguir mostra esta equivalência.
2
Regra prática:
1.6.2 Conversão de Decimal para Octal
Converter o número 223 da base decimal para a octal.
1.6.3 Conversão de Decimal para Hexadecimal
63710 = 27D 16
1.7 Conversão de números fracionários
Regra de formação:
Decimal: 197,526 10 = 1x10^2 +9x10^1 + 7x10^0 + 5x10-1^ + 2x10-2^ + 6x10-
Binário: 101101,101 = 1x2^5 +0x2^4 + 1x2^3 + 1x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 + 1x2-1^ + 0x2-2^ + 1x2-
1.7.1.1 Conversão de binário, octal ou hexadecimal para decimal
1101,111 2 = 1x2^3 + 1x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 + 1x2-1^ + 1x2-2^ + 1x2- = 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0, = 13 + 0, = 13,875 10
4
1.7.1.2 Conversão de decimal para binário, octal ou hexadecimal
A conversão da parte inteira segue o procedimento já descrito:
3510 = 100011 2
A conversão da parte fracionária segue a seguinte regra prática: Multiplica-se a parte fracionária pelo valor da base. O número resultante a esquerda da vírgula é o dígito (0 ou 1) procurado. Se o dígito à esquerda for 0 (zero) continuar a multiplicação pela base. Se o dígito à esquerda for 1 este é retirado e prossegue-se a multiplicação. O processo continua até obter-se 0 (zero) como resultado ou atingir-se a resolução estabelecida, no caso de dízima. A leitura dos dígitos, ao contrário do caso da parte inteira, é feita de cima para baixo.
x 2
x 2
x 2
base do sistema
Converter o número fracionário 381,796 da base decimal para octal (4 casas decimais após a vírgula). 381,796 10 = 381 10 + 0,796 10
Parte inteira:
Parte fracionária:
x 8
x 8
0,368 10
7,
2,
6,
x 8
0,796 10 0,6274 8 (aproximado)
0,796 10
x 8 4,
5
parte inteira
parte fracionária
1.9 Conversão de Binário em Octal
Agrega-se os dígitos binários, a partir da vírgula, em grupos de três e converte-se para o equivalente em octal. Caso os dígitos extremos, da direita ou esquerda, não formarem um grupo completo de três , adiciona- se zeros até que isto ocorra. Converter os seguintes números de binário para octal.
101110,011101 2 = 101 110 , (^011 101 ) 5 6 , (^3 5 )
1011,11101 2 = 001 011 , (^111 010 ) 1 3 , (^7 2 )
Converter o número 677 10 para binário. 1ª alternativa: dividir 677 10 sucessivamente por 2. Solução bastante extensa. 2ª alternativa: converter 677 10 para octal e, em seguida, converter para binário. Solução menos trabalhosa).
67710 = 1245 8 = 1010100101 2
1.10 Conversão de Hexadecimal em Binário
Da mesma forma que no sistema octal, não é necessário converter o número para o sistema decimal e depois para binário. Basta representar cada dígito hexadecimal, a partir da vírgula, em grupos de quatro dígitos binários equivalentes. A base 16 é a quarta potência da base 2. A tabela de equivalência é a que foi apresentada acima.
FACA,CACA 16 =? 2
F A C A , C A C A (^16) 1111 1010 1100 1010 , 1100 1010 1100 1010 (^2)
FACA,CACA 16 = 1111101011001010,1100101011001010 2
1.11 Conversão de Binário para Hexadecimal
Como no caso da conversão de binário para octal, agrega-se os dígitos binários, a partir da vírgula, em grupos de quatro e converte-se para o equivalente em hexadecimal. Caso os dígitos extremos, da direita ou esquerda, não formarem um grupo completo de quatro , adiciona-se zeros até que isto ocorra.
100101010,00111 2 =? 16 0001 0010 1010 , 0011 1000 2 1 2 A , (^3 8 )
100101010,00111 2 = 12A,38 16
1.12 Aritmética Binária
1.12.1 Adição
A soma binária é realizada da mesma maneira que a soma decimal. Os números binários são somados da direita para a esquerda, gerando uma soma e um carry (vai-um) em cada posição de bit. O seguinte exemplo ilustra isto:
Regras: 0 + 0 = 0 2 0 + 1 = 1 2 1 + 0 = 1 2 1 + 1 = 10 2 1 + 1 + 1 = 11 2
1.12.2 Subtração
A subtração (A-B) entre dois números A e B, é calculada como a soma entre o número A e o negativo do número B (-B). Para tanto, deve-se calcular o negativo do segundo número.
1.12.2.1 Representação de Números Negativos:
A representação binária de números, estudada anteriormente, referia-se a números positivos. Para representar números negativos serão utilizadas 3 representações; (1) sinalmagnitude, (2) complemento de um e (3) complemento de dois.
Sinal-magnitude , neste caso o bit mais à esquerda é utilizado para o sinal (0 quando positivo e 1 quando
negativo). Os bits restantes contêm o valor (magnitude) absoluto do valor. O número negativo é formado simplesmente trocando o bit de sinal do número positivo de 0 para 1. Por exemplo, os números +9 10 e -9 10 em um formato de 8 bits serão:
Sendo o formato de 8 bits, é possível representar 28=256 números válidos. No entanto, existem apenas 255 números diferentes pois +0 (00000000 2 ) e –0 (10000000 2 ) representam o mesmo número. Assim, os números se estendem no intervalo de –127 até +127.
Complemento de um , o complemento de um de um número binário é obtido trocando todos os zeros por
uns e os uns por zeros. utilizado para o sinal (0 quando positivo e 1 quando negativo). Por exemplo, os números +9 10 e -9 10 em um formato de 8 bits serão:
O bit mais á esquerda do número é 1 quando o número é negativo, e 0 quando o número é positivo. Novamente, em um formato de 8 bits existem +0 (00000000 2 ) e –0 (11111111 2 ) representam o mesmo número e os números se estendem no intervalo de –127 até +127.
Complemento de dois, o complemento de dois de um número binário é obtido calculando primeiro o
complemento de 1 do número e depois somando 1. Por exemplo, para os números +9 10 e -9 10 em um formato de 8 bits, soma-se 1 ao número obtido no exemplo anterior (11110110 2 ) :
1.12.3 Adição e Subtração no Sistema de Numeração Octal e Hexadecimal
A forma mais rápida e prática de efetuar uma operação aritmética em um número octal ou hexadecimal é transformá-lo em binário, efetuar a operação e depois reconvertê-lo para octal ou hexadecimal. Exemplos:
Exemplos: Transformar os números octais para binário e verificar se o resultado da operação está correto:
Exemplos: Transformar os números hexadecimais para binário e verificar se o resultado da operação está correto:
FB6F
F0FC
+ A73 + C A
15A
F
F
6ECA
+62DEB
BEBE
1.12.4 – Over Flow
Over Flow é a mudança no sinal do resultado devido a realização de operações com números que levam ao estouro da capacidade do registrador (seqüência de bits). Esta situação ocorre quando realiza-se operações equivalentes de soma de dois números positivos ou de dois números negativos. Exemplos: Utilizando um registrador de 4 bits, considerando representação em complemento de dois
a) 3+ 0011 0010 0101 (5 resultado correto)
b) 5+
0101 0100 1001 (resultado errado. Número um no bit mais significativo indica número negativo, portanto pela representação de complemento de dois o resultado obtido foi –7.)
c) –3 –
1101
1011 (-5, resultado correto)
d) –5 –
1011
0111 (resultado errado. Número zero no bit mais significativo indica número positivo portanto o resultado obtido foi +7)
