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PROVA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
SELEÇÃO – MESTRADO/UFMG – 2008
Instruções para a prova: a) Cada questão respondida corretamente vale um ponto. b) Questões deixadas em branco valem zero pontos (neste caso marque todas alternativas). c) Cada questão respondida incorretamente vale -1 ponto. d) Pelo menos 9 questões devem ser respondidas pelo candidato. e) A nota final será dada a partir da soma total dos pontos (negativos e positivos). f) As opções escolhidas devem ser assinaladas na folha de respostas no final da prova.
Questão 1: Observações ( xi ; yi ) de duas variáveis econômicas satisfazem teoricamente o
modelo linear Yi = α + β X (^) i + ε i , i = 1, 2,..., n , onde os xi são fixos (não aleatórios), α e β são
parâmetros desconhecidos e os ε (^) i são erros normais não diretamente observáveis, não
correlacionados com média nula e mesma variância σ^2. Para uma amostra de tamanho 18 o
método de mínimos quadrados produziu o modelo ajustado Y ˆ i = a + bXi. O coeficiente de
determinação ( R^2 ) resultou em 81%. Deseja-se: i) calcular a probabilidade de significância associada ao teste de hipóteses H (^) 0 : β = 0 versus H (^) 1 : β ≠ 0 ; ii) a correlação (em valor
absoluto) entre Yi e Y ˆ i. Escolha (adotando uma casa decimal) a resposta correta que corresponda, respectivamente, aos itens (i) e (ii).
a) 0 e 0, b) 0 e 0, c) 0,2 e 0, d) 0,2 e 0,
Questão 2: Um banco faz operações via internet e, após um estudo sobre o serviço prestado, conclui o seguinte modelo teórico para o tempo de conexão (em minutos):
1 ( ) 1 4 , 0 4
kt f t ke t
− = >
com k sendo 1 ou 2 dependendo do cliente ser pessoa física ou jurídica respectivamente. A porcentagem de pessoas físicas utilizando esse serviço é pequena e resultou em 20%. Calcule: i) se cinco clientes (entre pessoas físicas e jurídicas) são selecionados aleatoriamente qual a probabilidade de que pelo menos dois clientes fiquem conectados mais do que três minutos? ii) Se um cliente escolhido aleatoriamente ficou conectado mais do que três minutos qual a probabilidade dele ser pessoa física? Escolha a resposta correta (trabalhando com duas casas decimais) que corresponda, respectivamente, aos itens (i) e (ii).
a) 0,59 e 0, b) 0,59 e 0, c) 0,41 e 0, d) 0,41 e 0,
Questão 3 : Um Estatístico decide realizar um experimento computacional. De uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10 gera 50.000 amostras aleatórias de
tamanho 10 cada uma. Para cada amostra calcula a variância 1 ( ) /(^2 1)
n i = xi^ x^ n
(^) − −
∑^ . Em
seguida calcula o percentual de variâncias com resultados inferiores a 46,33. Assinale a alternativa que apresenta o resultado mais provável.
a) 5% b) 0% c) 20% d) 10%
Questão 4 – Considere que um carrinho (com capacidade de locomoção infinita) transita em uma pista descrita na figura 4. O carrinho move-se apenas horizontalmente ou verticalmente. Suponha que o carrinho é colocado inicialmente na posição A. A direção tomada pelo carrinho é aleatória e sua transição é decidida nos pontos A, C, H, E e F. Observe que no ponto A a probabilidade do carrinho seguir uma determinada direção é sempre ¼ enquanto que nos pontos C, H, E e F é sempre 1/3. Quando o carrinho atinge um dos pontos B, D, G e I o carrinho sairá da pista e o experimento terminará. Deseja-se calcular a média do número de transições para que o carrinho saia da pista (ou seja: atinja os pontos B ou D ou G ou I).
B D
E A F
G I
C
H
Figura 4: Representação das transições do carrinho
Escolha o item que apresenta a resposta correta.
a) 2, b) 4, c) 3, d) 3,
BARRA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ÓLEO A 37 33 33 34 38 33 32 38 35 34
ÓLEO B 36 33 35 33 38 32 34 39 34 35
Considerando-se um nível de significância de 5%, tem-se
(I) O valor da estatística de teste é − 1 , 08. (II) Não pode-se rejeitar que as durezas médias do aço produzido pelos 2 processos de têmpera são iguais.
Considerando os itens (I) e (II) acima escolha a alternativa correta:
a) Falso Falso
b) Falso Verdadeiro
c) Verdadeiro Falso
d) Verdadeiro Verdadeiro
Questão 9 - As tabelas a seguir contêm o número de pessoas a favor ou contra o aborto de acordo com o seu local de moradia, se na capital ou no interior de um determinado estado brasileiro.
HOMENS MULHERES
A FAVOR CONTRA A FAVOR CONTRA
CAPITAL 10 45 CAPITAL 55 40
INTERIOR 18 90 INTERIOR 22 20
Usando estes dados, um estatístico resolveu testar se proporção de homens e a de mulheres favoráveis ao aborto dependia ou não do local de moradia. Considere que no caso dos Homens concluiu-se que NÃO DEPENDIA. Depois o estatístico realizou o mesmo teste combinando os dados dos homens e das mulheres em uma única tabela. Considerando que os testes foram realizados com um nível de 5% de significância e que no quadro a seguir a opção SIM significa que a proporção de favoráveis ao aborto DEPENDE SIM (rejeita-se a hipótese de independência) do local de moradia e a opção NÃO significa que a proporção de favoráveis ao aborto NÃO DEPENDE (não se rejeita a hipótese de independência) do local de moradia, escolha a alternativa correta:
HOMENS MULHERES HOMENS + MULHERES
a) NÃO NÃO NÃO
b) NÃO NÃO SIM
c) NÃO SIM NÃO
d) NÃO SIM SIM
Questão 10 - Na “Questão 9” qual seria a metodologia mais adequada para o teste realizado?
a) teste de homogeneidade qui-quadrado.
b) teste de comparação de proporções.
c) teste de independência qui-quadrado.
d) todas as opções acima.
Questão 11 - Em um estudo elementar de sincronização de sinais de trânsito considere um sistema simples de 4 sinais. Suponha que a probabilidade do motorista ser parado pelo primeiro sinal é 0,60 e que
P S ( (^) j + 1 | S (^) j ) = 0,15 e P S ( (^) j + 1 | Sj ) =0, 40
para j = 1 , 2 , 3 , onde S (^) j representa o evento: “o motorista é parado pelo j -ésimo sinal”. Considere que a probabilidade de um sinal estar vermelho para o motorista depende apenas do estado do sinal imediatamente anterior, ou seja, o evento S (^) j + 1 está condicionado apenas ao evento S (^) j. As probabilidades de que um motorista
−−−− seja parado por todos sinais, −−−− seja parado no máximo por um dos sinais, −−−− seja parado alternadamente pelos sinais,
são respectivamente:
a) 2,03 × 10 −^3 0,38 0,
b) 2, 45 × 10 −^3 0, 49 0, 27
c) 2,03 × 10 −^3 0, 49 0, 23
d) 2, 45 × 10 −^3 0, 42 0, 23
Questão 12 - Considere as variáveis aleatórias independentes X e Y com funções de densidade dada pela distribuição exponencial com média 1. Ou seja: f ( ) x = e − x , x > 0 e
f ( y ) = e − y , y > 0. Deseja-se calcular E mínimo [ ( X Y , )]+ E máximo [ ( X Y , )]. Assinale a
alternativa que corresponda a resposta correta.
a) 5/ b) 3/ c) 1/ d) 2
Assinale a alternativa que corresponda respectivamente os itens i), ii) e iii).
a) V, V, F b) V, F, V c) V, V, V d) V, F, F
PROVA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE SELEÇÃO – MESTRADO/UFMG – 2008
Assinale no quadro abaixo as opções escolhidas para cada questão:
Questão a b c d
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
15
NOME:
ASSINATURA:
Carteira de Identidade / Passaporte:
