Baixe Os Elementos de Euclides: uma obra fundamental em geometria e outras Notas de aula em PDF para Geometria, somente na Docsity!
1. Os Elementos - a Geometria de Euclides
O contacto com a estrutura da obra monumental Os Elementos de Euclides é fundamental para constatarmos sua importância no desenvolvimento e na história da Matemática. Após sua primeira versão impressa em Veneza em 1482, calcula- se em pelos menos mil o número de edições que foram tiradas. Talvez nenhum livro além da Bíblia tenha tido tantas edições. Além disso, nenhuma obra matemática teve relevância comparável a Os Elementos. A insistência em colocar sua máxima importância no campo da matemática, está no fato de que durante toda a Idade Média e particularmente no período em estudo – séculos XII e XIII – a utilização da Geometria Euclidiana no campo da prática construtiva é bastante diminuta, restringindo- se a algumas Proposições do Livro I, das quais não se conheciam as demonstrações.
A invocação de Euclides deve ser entendida neste campo como um emblema e uma aspiração, mais do que o testemunho de uma aplicação real. Muitos citavam ou lembravam Euclides como forma de garantir um aval científico e veracidade a procedimentos práticos de seu trabalho, que não tinham provas geométricas (Rabasa-Diaz, op.cit.,2000). As conseqüências advindas desta situação serão abordadas adiante. Apesar disso, Os Elementos de Euclides é a mais antiga obra matemática grega a chegar até nós: o trabalho de organização e sistematização foi tão memorável, que todas as obras matemáticas anteriores foram descartadas. O pouco que sabemos sobre a pessoa de Euclides é através de Proclus (411 - 485): “Este homem viveu no tempo de Ptolomeu I (que reinou no Egito de 306 AC até sua morte em 283 AC). Arquimedes que veio imediatamente após Ptolomeu I, faz menção a Euclides e conta que certa vez Ptolomeu I perguntou a Euclides se havia um caminho mais curto para a geometria do que Os Elementos , ao que Euclides refutou dizendo que“ não havia um caminho real para a geometria”. A mesma história contada por Stobaeus, um escritor grego do século V AC sobre Alexandre, o grande e Menaechmus, aluno de Eudoxus e que provavelmente foi tutor do rei. Diz que Alexandre pede a Menaechmus um ensino conciso da geometria, mas ele replica: ”Ó rei, através do país existem estradas reais e estradas para os cidadãos comuns, mas na geometria há somente uma estrada para todos”.
denote seu esforço em mostrar que a construção dos cinco sólidos regulares era o fim e o objetivo com que a obra pretendia suprir a base para o estudo da geometria em geral. Euclides ensinou e fundou uma escola em Alexandria. Uma estória contada por Stobaeus, acentua o espírito eminentemente teórico e investigativo de Euclides em oposição ao sentido prático. Assim que terminou de ensinar seu primeiro teorema para um aluno iniciante em geometria, este lhe perguntou: mas o que eu vou ganhar aprendendo estas coisas? Euclides chama seu escravo e lhe diz dê-lhe três moedas, pois ele precisa ganhar alguma coisa com o que aprende. Alexandria apesar de localizada onde hoje é o Egito, foi uma cidade grega, como seu nome completo revelava: Alexandria perto do Egito. A cidade tornou-se a mais importante do mundo oriental após a morte de Alexandre (Museu e Biblioteca de Alexandria, dos quais Euclides foi membro) e assim permaneceu até o domínio da corte de Cleópatra pelos romanos. Enquanto Roma crescia, Alexandria mantinha-se como o centro intelectual do Império, espalhando sua influência desde os tempos de Euclides (300 AC) até a sua tomada pelos árabes em 641. Durante a Idade Média muitos tradutores e editores chamavam Euclides de Euclides de Megara. Este engano nasceu da confusão entre Euclides e o filósofo Euclides de Megara que viveu por volta de 400 AC. A primeira referência a Euclides como Euclides de Megara ocorre no século XIV com Theodorus Metochita (c. 1332) que chamou “Euclides de Megara, filósofo socrático, contemporâneo de Platão” como autor de tratados de geometria. O
equívoco permanece após a tradução e a edição impressa de Campanus feita em Veneza em 1482 (Figura 1), a de Bartolomeo Zamberto em Paris, (Figura 2), a de Tartaglia em Veneza, 1565, a de Candalla em Paris, 1566 e a de Billingsley em Londres, 1570 (Figura 3). A mais importante tradução de Os Elementos para o latim é de Commandinus de Urbino (1509 – 1575) a quem pertence o crédito de colocar a matéria do primeiro tradutor sob suspeita e corrigir o erro a que as pessoas foram induzidas a acreditar que Euclides era o mesmo que o filósofo Euclides de Megara.
Figura 2 – CONTENTA. EVCLIDIS Megarensis Geometricorum elemetorum libri XV. CAMPANI Galli trãsalpini in eosdem cõmentariorum libri XV.theonis Alexandrini Bartholomae Zamberto Veneto interprete, in tredecim priores, commen-tariorum libri XIII. Hypsiclis Alexãdrini in duos posteriores, eode Bartholomaeo Zamberto Veneto interprete, commetariorum libri II. PARISIIS: in officina Henrici Stephani, [ca.1516].-261f. : 2º.(30 cm)
Figura 3 – Frontispício da primeira edição inglesa de Os Elementos de Euclides. Londres,1570. Nota-se ainda o equívoco com o nome de Euclides.
que considerava supérfluas, consertou lapsos, corrigiu e removeu erros até reduzir o livro, porém sem alterar a substância para o uso de homens com habilidades e devotados ao ensino. A obra foi traduzida depois por Ishaq Hunain (morto em 910), diretamente do grego, devido ao seu exímio domínio da língua grega. Uma revisão foi feita em comum acordo entre Ishaq e Thabit, morto em 901 (9 anos antes de Ishaq). Sabe-se que Thabit consultou também os originais gregos em sua revisão. Isto fica expresso nas notas marginais na versão para o hebreu de Os Elementos , feita a partir do trabalho de Ishaq e atribuída a Moses Tibbon (c. 1244-1274) e Jakob Machir (morto depois de 1306). Os inúmeros acréscimos e elisões na obra são demonstrados na observação de Thabit de que a proposição citada no Livro IX como de número 31, não foi por ele encontrada antes nos gregos, mas somente no arábico. Com isso, duas conclusões são possíveis: os árabes tinham interesse pela autenticidade do texto grego e que Thabit não alterou o número de proposições da tradução de Ishaq. A forma arábica atualmente mais acessível de Euclides é a versão de At- Tusi (1201-1274). Esta edição apareceu em duas formas, uma maior e outra menor. Da maior encontra-se em Florença apenas seis livros; foi publicada em Roma em 1594 em arábico e por isso poucos puderam lê-lo. A forma menor que está em 15 livros encontra-se em Berlim, Munique, Oxford, Museu Britânico, Paris e Istambul (antiga Constantinopla). Foi impressa em Constantinopla em 1801.
O trabalho de At-Tusi não é apenas uma tradução do texto de Euclides, mas um esforço de reescrever Euclides baseado em antigas traduções arábicas. Deste modo, parece ser como a versão latina dos Elementos de Campanus que foi publicada primeiro por Erhard Ratdolt em Veneza em 1482 – a primeira versão impressa de Euclides. Campanus (século XIII) foi um matemático que usou da mesma liberdade de At-Tusi para editar Euclides. A relação entre a versão de Campanus e a de Adelard de Bath (c. 1120) foi que ambos usaram a mesma versão latina dos séculos X-XI. É certo que ambas as versões provêem de fontes arábicas, pela ocorrência de palavras árabes no texto. A versão de Campanus não serve ao propósito de atestar a autenticidade das tradições grega e árabe, mas preserva alguns traços da fonte original como quando omite a adição feita por Theon ao Livro VI. É curioso que enquanto a versão de Campanus concorda com a de At-Tusi no número de proposições (teoremas) em todos os livros de Euclides, exceto no V e no IX, ele concorda com Abelard de Bath com as 34 proposições (teoremas) do Livro V (contra 25 em outras versões). Isto confirma que Campanus e Adelard não são independentes e também levanta uma dúvida: ou as adições ao Livro V são do próprio Adelard ou ele usou uma versão arábica de Euclides desconhecida até hoje. O Quadro 2 apresentado a seguir, de autoria do matemático Thomas L. Heath (1925) com as principais traduções feitas a partir de fontes árabes (Euclides arábico) e fontes gregas (Euclides grego) indica os acréscimos ou subtrações de proposições (teoremas) em cada um dos Livros de Euclides
1.2 – A organização da Obra
Os livros que compõem Os Elementos são os mais antigos tratados gregos que chegaram até nós. Ao escrevê-los Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas de seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto e a teoria dos cinco sólidos regulares (poliedros) de Platão. A obra está dividida em treze livros (os Livros XIV e XV não são de autoria de Euclides), que ao contrário do senso comum, não tratam apenas de Geometria, mas têm seus assuntos assim distribuídos: Livros I a IV – tratam de geometria plana elementar. São os Livros que mais nos interessam, pois são os únicos que comparecem com alguns ensinamentos nos desenhos e croquis dos séculos XII e XIII, especialmente nos cadernos de Villard de Honnecourt (c. 1225-1235). Parte de propriedades elementares de retas e ângulos que vão conduzir à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao Teorema de Pitágoras (Livro I – proposição 47), à construção de um quadrado com área igual à de um retângulo dado, à secção áurea, ao círculo a aos polígonos regulares. Livro V – apresenta a Teoria das Proporções de Eudoxo (408 – 355 AC) em sua forma puramente geométrica. Livro VI – dedica-se aos problemas de semelhança de figuras planas. Retorna à secção áurea e ao Teorema de Pitágoras (proposições 30 e
- como teoremas referentes a razões entre grandezas. A proposição 27 deste Livro contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, ou
seja, provou que o quadrado é de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima. Livros VII a IX - são dedicados à Teoria dos Números: divisibilidade de inteiros, adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número pi (Teeteto 417- 369 AC). Livro X – é considerado o mais difícil entre todos os Livros. Contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e suas raízes. Livros XI a XIII – tratam da geometria sólida e conduzem através dos ângulos sólidos aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e ao que parece ter sido considerado o ponto mais alto da obra, à discussão dos cinco poliedros regulares (chamados platônicos) juntamente com a prova de que somente existem estes cinco poliedros regulares. Esta discussão é a causa de Proclus ter afirmado que Euclides era também platônico, pois a teoria dos cinco sólidos regulares ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão. Em algumas versões dos Elementos , aparecem os Livros XIV e XV, que não são de Euclides. O Livro XIV pode ter sido escrito por Hypsicles (viveu na segunda metade do século II AC) com base num tratado de Apolonius sobre cônicas e o Livro XV talvez tenha sido escrito por Isidoro de Mileto (que viveu por volta de 532), arquiteto da catedral de Santa Sofia em Constantinopla Os Elementos de Euclides têm por isso uma importância ímpar na história da Matemática, pois não apresenta a Geometria como um
Como a maioria dos treze livros, o Livro I começa com uma lista de Definições, sem qualquer comentário. A definição é como uma abreviação. O principal na arte de criar matemática é a formulação das definições apropriadas. Sócrates dizia que “o começo da sabedoria é a definição dos termos”. Em seguida às Definições (em número de 23) aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas. Os Postulados (em número de
- são proposições geométricas específicas. São leis que não receberão demonstrações, mas que figurarão como premissas básicas. Postular significa “pedir para aceitar”. As Noções Comuns ou Axiomas (em número de 5) tratam de questões de caráter geral e não específicas da geometria. Os problemas procuram novas entidades geométricas a partir de um dado conjunto. A solução de um problema é chamada de construção. As Proposições ou Teoremas (em número de 48) são novas leis que se procura demonstrar com o auxílio dos Postulados. Um Teorema também pode ser provado com Teoremas previamente provados, sendo a prova um argumento convincente.
Livro I Definições
- um ponto é aquilo que não tem partes.
- uma linha é um comprimento sem largura.
- os extremos de uma linha são pontos.
- uma linha reta é uma linha traçada uniformemente com os pontos sobre si.
- uma superfície é aquilo que só tem comprimento e largura.
- os lados de uma superfície são linhas.
- uma superfície plana é uma superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si.
- um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas de um plano que se cruzam entre si e não estão na mesma reta.
- quando as linhas que contém o ângulo são retas, o ângulo é chamado retilíneo.
- quando uma reta é colocada sobre outra reta de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.
- um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
- um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
- uma fronteira é aquilo que é a extremidade de alguma coisa.
- uma figura é tudo aquilo que fica delimitado por qualquer fronteira ou fronteiras.
- um círculo é uma figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto determinado do interior da figura sejam iguais entre si.
- e o ponto é chamado centro do círculo.
Postulados
- dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
- um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.
- dados um ponto qualquer e uma distancia qualquer, pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distancia dada.
- todos os ângulos retos são iguais entre si.
- se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.
Noções Comuns ou Axiomas
- duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
- se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.
- se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.
- coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
- o todo é maior do que as partes.
Proposições (Teoremas) A Proposição 1 é uma das mais conhecidas e divulgadas nos compêndios para uso prático. Nos cadernos de Villard de Honnecourt esta Proposição é ilustrada pelo desenho “mneumônico” dos flamingos (Figura 4).
Figura 4 – Os Flamingos – Folha F 18v. Os pescoços lembram a obtenção de perpendiculares a uma linha. Roland Bechmann chama este desenho de figura de memória. Extraído de Zenner, (op.cit.,2002).
- sobre um segmento de reta construir um triangulo eqüilátero
- sobre um ponto dado (usado como extremidade) desenhar uma linha reta igual à linha reta dada.
- dadas duas linhas retas diferentes, determinar sobre a linha maior, um comprimento igual à menor.
- se dois triângulos tem dois lados iguais respectivamente e tem os ângulos contidos por linhas retas iguais, eles terão também as bases iguais; os dois triângulos serão congruentes e os ângulos restantes serão iguais entre si.
