Conjuntos Geradores e Independência Linear em Espaços Vetoriais, Provas de Álgebra

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MATD41-Introdução aos modelos Lineares

1.1 – Espaços Vetoriais

Kim Samejima

IME-UFBA

Espaços Vetoriais

Um conjunto não vazio V é um espaço vetorial sobre R as seguintes operações são válidas sobre seus elementos(vetores): u, v ∈ V, a a operação soma resulta em um elemento que também pertence a u + v ∈ V; u, v , w ∈ V, vale a propriedade associativa: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; O elemento nulo 0 pertence a V; Para cada v ∈ V, existe o elemento −v ∈ V tal que v + (−v ) = 0 para todo v ∈ V; α ∈ R e v ∈ V, existe um vetor αv ∈ V denominado produto escalar de α por v , satisfazendo a propriedade associativa da multiplicação: (αβ)v = α(βv ), α, β ∈ R, v ∈ V e 1.v = v , ∀v ∈ V; Vale a propriedade distributiva: α(u + v ) = αu + αv e (α + β)v = αv + βv para todos α, β ∈ R e u, v ∈ V.

Conjunto Gerador II

Exemplo O conjunto B = {( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 0 , 1 )} é um conjunto gerador para o R^3. Para quaisquer a, b, c ∈ R, teremos que:

(a, b, c) = a( 1 , 0 , 0 ) + b( 0 , 1 , 0 ) + c( 0 , 0 , 1 ).

Futuramente, veremos que este conjunto B possui propriedades importantes e que B é também base para R.

Linearmente Independente I

Definição Seja B um subconjunto de V. Dizemos que B é linearmente independente (l.i.) se:

α 1 v 1 + · · · + αnvn = 0 , vi ∈ B, αi ∈ R, i = 1 ,... , n

implicar em α 1 = · · · = αn = 0. Se B não é l.i., dizemos que é linearmente dependente (l.d.)

Linearmente Independente III

Exemplo ( [Boyd and Vandenberghe, 2018]) O conjunto B = (a 1 , a 2 , a 3 ):

a 1 =

 (^) , a 2 =

 (^) , a 3 =

é um conjunto l.i. pois o sistema:

α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 3 a 3 =

α 1 −α 3 = 0 −α 2 +α 3 = 0 α 2 +α 3 = 0

admite como única solução α 1 = α 2 = α 3 = 0.

Resultados importantes I

Proposição Se V é um espaço vetorial finitamente gerado não nulo e B = {v 1 ,... , vm} é conjunto gerador de V. Então todo conjunto l.i. em V possui, no máximo m elementos.

Proposição Seja V um espaço vetorial e seja B = {v 1 ,... , vn}, n < ∞ um conjunto l.i. em V. Então se existir u ∈ V que não seja combinação linear dos elementos de B, então {v 1 ,... , vn, u} é l.i.

Resultados importantes I

Teorema Todo espaço vetorial finitamente gerado não nulo possui uma base.

Teorema Seja V espaço vetorial finitamente gerado e B um conjunto l.i. em V. Então existe uma base de V contendo B.

Teorema Seja V espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 e B ⊆ V. São equivalentes: (i) B é base para V; (ii) Cada elemento de V se escreve de maneira única como comb. linear dos elementos de B.

Referências I

Boyd, S. P. and Vandenberghe, L. (2018). Introduction to applied linear algebra : vectors, matrices, and least squares. Cambridge University Press.