Baixe Problemas de Física: Movimento de Projéteis e Órbitas e outras Provas em PDF para Cinemática, somente na Docsity!
0.1 Problemas correspondentes ao Capítulo 3
Cinemática bidimensional e movimento relativo
Cinemática Vetorial
- Um observador no solo percebe que uma pedra foi lançada horizontalmente de uma altura h e atingiu o solo após percorrer uma distância horizontal D. A partir desses dados, e do valor da aceleração da gravidade, encontre o módulo da velocidade da pedra (a) no instante de lançamento e (b) no instante em que ela atinge o solo. (c) Suponha, neste item, que D = h. Nesse caso, determine o ângulo entre a velocidade da pedra e a horizontal no instante em que ela toca o solo.
- Um projétil é lançado da origem com a velocidade ~v 0 = v 0 cos(θ 0 )ˆı + v 0 sen(θ 0 )ˆ, onde v 0 é uma constante positiva e 0 < θ 0 < π/ 2. Seja t 1 o instante no qual o projétil atinge a sua altura máxima e t 2 o instante no qual ele volta a tocar o solo. Calcule: (a) o vetor deslocamento entre os instantes de tempo t 1 e t 2 ; (b) o vetor velocidade média nesse intervalo; (c) o vetor velocidade nos instantes t 1 e t 2 ; (d) desenhe a trajetória e marque com setas os vetores calculados nos itens anteriores.
- Um helicóptero voa horizontalmente com uma velocidade constante de módulo 90km/h a uma altitude de 340m em relação ao solo. No instante t 0 = 0, o helicóptero deixa cair um pequeno pacote e, nesse mesmo instante, um balão começa a se elevar verticalmente, a partir do solo, com uma velocidade constante de módulo V. Suponha que o helicóptero e o balão se movam num mesmo plano vertical e que o balão esteja à frente do helicóptero (veja figura).
m
200 m
V
v
Sabendo que no instante t 0 o balão está a uma distância horizontal de 200m à frente do helicóptero, determine: (a) as equações de movimento do pacote e do balão; (b) o valor de V para que uma pessoa dentro do balão agarre o pacote, o instante em que isso ocorre e a que altura do solo.
- Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial de módulo v 0 e ângulo de lança- mento θ 0 = 45o. Os eixos cartesianos são escolhidos de modo que ~v 0 = v 0 cosθ 0 ˆı + v 0 senθ 0 ˆ. Seja g o módulo da aceleração da gravidade e despreze a resistência do ar. Considere um ponto P localizado no plano OX Y e de coordenadas xp = d e yP = h, d, h > 0. (a) Utilizando argumentos qualitativos, determine os valores de h para os quais o ponto P pode ser atingido por esse projétil? (b) Suponha, neste item, que o ponto P seja atingido. Calcule v 0 em termos de g, d e h. Analise o limite em que h → d e interprete o resultado. (c) Para que valores de h o projétil passa pelo ponto P na subida e para que valores de h ele passa por esse ponto na descida?
- Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa região a aceleração da gravidade não é bem vertical. Além de uma componente vertical para baixo de módulo g, ela possui
micírculo de raio r, uma semi-reta e outro semicírculo de raio R = 2r. O sentido do movimento está indicado na figura e, nela, estão marcados os pontos A e B.
A
B
Indique, com setas, as velocidades e acelerações da partícula nos instantes em que ela se encontra no ponto A (~vA e ~aA) e no ponto B (~vB e ~aB ). Desenhe as setas de modo que seus tamanhos sejam proporcionais aos seus módulos. Marque, ainda, em seu desenho, o vetor deslocamento ∆~r [ta, tb], onde ta é o instante em que ela se encontra no ponto A e tb, o instante em que ela se encontra no ponto B.
- Uma partícula executa um movimento circular de raio R com uma aceleração de com- ponente tangencial dada por aT = a 0 cos(ω t), onde a 0 e ω são constantes positivas. Sabendo que no instante t 0 = 0 o módulo da velocidade é v 0 = a 0 /ω, determine num ins- tante de tempo qualquer o módulo da velocidade da partícula, v, a componente centrípeta (ou normal) de sua aceleração e o módulo de sua aceleração.
- Considere duas partículas, A e B, que se movimentam no plano OX Y e cujas coordena- das do vetor posição estão escritas abaixo: xA = 0 ; yA = R cos(ωt) e xB = R cos(ωt) ; yB = R sen(ωt) , onde R e ω são constantes positivas. (a) Descreva com palavras que tipo de trajetórias têm as partículas A e B. (b) As partículas se encontrarão em algum instante? Caso isso ocorra, determine em que instantes. Caso contrário, justifique porque nunca se encontrarão. (c) Desenhe, numa mesma figura, as trajetórias das duas partículas. Marque, nesse de- senho, as suas respectivas posições nos instante t 1 = π/(2ω) e t 2 = π/ω. Com o
auxílio de setas, indique também no desenho as respectivas velocidades e acelera- ções das duas partículas nesses instantes.
Movimento Relativo
- Dois barcos, A e B, navegam num grande lago com os seguintes vetores posição relativos a um referencial R fixo em suas margens:
~rA = tˆı + 5tˆ e ~rB = (120 − t)ˆı + 5t ,ˆ
respectivamente. Considere, agora, um novo referencial, R ′, solidário ao barco A e cujos eixos se mantêm paralelos aos eixos de R.
(a) Obtenha a velocidade do barco B relativa ao referencial R ′, também chamada ve- locidade do barco B relativa ao barco A. (b) Determine, em um instante genérico t, a posição ~r (^) B′ do barco B em relação a R ′. Os barcos irão se chocar? Em caso afirmativo, em que instante? Responda às duas últimas perguntas analisando os movimentos relativos ao referencial R ′.
- Um elevador sobe com aceleração constante vertical, para cima, de módulo a. No instante t = 0, o piso do elevador passa pelo primeiro andar com velocidade v 0. Considere um referencial com sistema de eixos OX YZ fixo no primeiro andar, sendo o eixo OZ vertical e para cima e a origem O no chão do andar (as direçoes dos eixos OX e OY não serão importantes neste problema). Considere, também, um outro referencial com sistema de eixos O′X ′Y′Z′^ fixo no elevador sendo o eixo O′Z′^ vertical e para cima e a origem O′^ no piso do elevador (também as direçoes dos eixos O′X ′^ e O′Y′^ não serão importantes neste problema). No instante t = 0 um parafuso desprende-se do teto da cabine do elevador. A figura mostra o elevador com o parafuso em um instante posterior a t = 0. Sabendo-se que o teto do elevador está a uma altura H do seu piso, calcule (a) as velocidades do parafuso relativas aos dois referenciais no instante inicial;
O X
Y
O ′^ X ′
Y ′
P
e cujo vetor posição relativo ao referencial R ′^ é dado por ~r ′^ = a[sen(ωt) ˆı + cos(ωt) ˆ] , onde ω é uma constante positiva que representa a velocidade angular da roda. Pode-se mostrar, ainda, que a velocidade da origem O ′^ em relação a R é dada por V = ωa ˆı, devido à condição de rolamento sem deslizamento. (a) Calcule a função-velocidade e a função-aceleração de P no referencial R ′. (b) Desenhe a trajetória do grão de poeira em relação ao referencial R ′. Marque setas nesse desenho indicando a velocidade ~v 1 ′ e a aceleração ~a 1 ′ de P no instante t 1 = 3 π/ 2 ω. (c) Determine a posição ~r, a velocidade ~v e a aceleração ~a de P em relação ao referen- cial R em um instante qualquer. (d) Mostre que vx ≥ 0 e calcule os instantes nos quais vx = 0. Determine vy e ~a nesses instantes? (e) Desenhe a trajetória de P em relação a R entre os instantes 0 e 4 π/ω. Nesse de- senho, marque setas indicando a velocidade ~v 1 e a aceleração ~a 1 de P no instante t 1 = π/ω, e a velocidade ~v 2 e a aceleração ~a 2 no instante t 2 = 2π/ω (se algum desses vetores for nulo, simplesmente não o desenhe).
- A figura abaixo mostra a trajetória de um projétil que é lançado do solo com velocidade inicial ~v 0 = v 0 xˆı + v 0 y ˆ, onde v 0 x e v 0 y são constantes positivas. Por conveniência,
escolhemos os eixos cartesianos OX Y do referencial inercial R solidários ao solo, com a origem no ponto de lançamento do projétil e de tal forma que o seu movimento ocorra no plano OX Y. O instante de lançamento é tomado como t = 0.
O X
Y
~v 0
O ′^ X^ ′
Y ′
V^ ~
Considere um novo referencial, R ′, cujos eixos O ′X ′Y ′, são paralelos aos anteriores e coincidem em t = 0, e que se move em relação aos eixos OX Y com uma velocidade constante V~ = Vxˆı (veja a figura).
(a) Qual deve ser o valor de Vx para que a trajetória do projétil relativa ao referencial R ′^ seja um segmento de reta. Determine esse segmento de reta em termos de v 0 y e do módulo da aceleração da gravidade g. (b) Desenhe a trajetória do projétil relativa ao referencial R ′^ supondo que Vx = v 0 x/ 2. (c) Repita o item anterior, mas supondo agora que Vx = −v 0 x.
