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1.5 Vectores y matrices 45
D EFINICIÓN^3 Matriz
Una matriz A de m 3 n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m ren- glones y n columnas
A 5
a a a a a a a a
a a a a
j n j n
i i ij i
11 12 1 1 21 22 2 2
1 2
nn
am am amj amn
1 2 ^
El símbolo m 3 n se lee “ m por n ”. A menos que se establezca lo contrario, se supondrá siempre que los números en una matriz o vector son reales. El vector renglón ( a (^) i 1 , a (^) i 2 , … ain ) se llama ren-
glón i y el vector columna
a 1 j aa
a
j
mj
2 "
se llama columna j. La componente o elemento ij de A , denotado
por aij , es el número que aparece en el renglón i y la columnas j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A como A 5 ( a (^) ij ). Por lo general, las matrices se denotarán con letras mayúsculas. Si A es una matriz m 3 n con m 5 n , entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz m 3 n con todos los elementos iguales a cero se denomina matriz cero de m 3 n. Se dice que una matriz m 3 n tiene tamaño m 3 n.
Nota histórica. El matemático inglés James Joseph Silvester (1814-1897) fue el primero que utilizó el término “matriz” en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes (que se estudiarán en el capítulo 2). La idea era que el término “matriz” tuviera el significado de “ma- dre de los determinantes”.
EJEMPLO 2 Cinco matrices
Enseguida se presentan cinco matrices de diferentes tamaños:
i.^1 4 2
⎠⎟^
es una matriz de 2 3 2 (cuadrada).
ii.
⎟⎟^ es una matriz de 3^3 2.
iii. ⎛ ⎝⎜
es una matriz de 2 3 3.
RENGLONES Y
COLUMNAS DE UNA MATRIZ
COMPONENTE O
ELEMENTO
MATRIZ CUADRADA
MATRIZ CERO
TAMAÑO DE
UNA MATRIZ
46 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
iv.
es una matriz de 3 3 3 (cuadrada).
v.^0 00 0 0 0 0 0
⎠⎟^
es la matriz cero de 2 3 4.
Notación con paréntesis cuadrados. En algunos libros las matrices se presentan dentro de pa- réntesis cuadrados en lugar de paréntesis redondos. Por ejemplo, las primeras dos matrices del ejemplo 2 se pueden escribir como
i.^1 4 2
A (^5) ⎥ ii.
A 5
En este texto se utilizarán exclusivamente paréntesis redondos. A través del libro se hace referencia al renglón i , la columna j y la componente ij de una matriz para diferentes valores de i y j. Estas ideas se ilustran en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 3 Localización de las componentes de una matriz
Encuentre las componentes (1, 2), (3, 1) y (2, 2) de
A 5 2 ⎟⎟
Solución (^) La componente (1, 2) es el número que se encuentra en el primer renglón y la segunda columna, que se han sombreado; la componente (1, 2) es 6:
μ
En las siguientes matrices sombreadas se puede ver que la componente (3, 1) es 7 y la compo- nente (2, 2) es 2 3:
μ
μ
48 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
tienen cinco plantas diferentes, entonces la matriz de 4 3 5 podría representar las órdenes de los cuatro productos en cada una de las cinco plantas.
10 20 15 16 25 30 10 20 25 22 1
Q 5
Se puede apreciar, a manera de ejemplo, que la planta 4 ordena 25 unidades del segundo pro- ducto mientras que la planta 2 ordena 40 unidades del cuarto producto. Las matrices se pueden sumar y multiplicar por números reales.
DEFINICIÓN^5 Suma de matrices Sean A 5 ( a (^) ij ) y B 5 ( b (^) ij ) dos matrices m 3 n. Entonces la suma de A y B es la matriz m 3 n , A 1 B dada por
A B a b
a b a b a b a b ij ij
n n 1 5 1 5
11 11 12 11 1 1 21 21
aa b a b
a b a b a b
n n
m m m m mn mn
22 22 2 2
1 1 2 2
Es decir, A 1 B es la matriz m 3 n que se obtiene al sumar las componentes correspon- dientes de A y B.
ADVERTENCIA (^) La suma de dos matrices se define únicamente cuando las matrices son del mismo tamaño.
Así, por ejemplo, no es posible sumar las matrices
4 5 6 y
(^2) o las matrices
(vectores) 1 2
^
y
. Es decir, son incompatibles bajo la suma.
EJEMPLO 5 Suma de dos matrices
Al manejar vectores se hace referencia a los números como escalares (que pueden ser reales o complejos dependiendo de si los vectores en cuestión son reales o complejos).
Nota histórica. El término “escalar” encuentra su origen con Hamilton. Su definición de cuater- nión incluía lo que él definió una “parte real” y una “parte imaginaria”. En su artículo “On Quar- tenions, or on a New System of Imagineries in Algebra”, en Philosophical Magazine, 3a. serie,
ESCALARES
1.5 Vectores y matrices 49
25(1844):26-27, escribió: “La parte real algebraicamente puede tomar... todos los valores con- tenidos en la escala de la progresión de números desde el infinito negativo al infinito positivo; la llamaremos, entonces, la parte escalar o simplemente el escalar del cuaternión…” En el mismo ar- tículo Hamilton definió la parte imaginaria de su cuaternión como la parte vectorial. Aunque éste no fue el primer uso que se dio a la palabra “vector”, sí fue la primera vez que se usó en el contexto de las definiciones contenidas en esta sección. Es importante mencionar que el artículo del que se tomó la cita anterior marca el inicio del análisis vectorial moderno.
D EFINICIÓN^6 Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A 5 ( aij ) es una matriz de m 3 n y si a es un escalar, entonces la matriz m 3 n , a A , está dada por
a 5 a 5
a a a a a A a
a a a a a ij
11 12 1 n 21 22
aa
a a a
a
a a a
n
m m mn
2
1 2
Esto es a A 5 (a a (^) ij ) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por a. Si a A 5 B 5 ( b (^) ij ), entonces bij 5 a a (^) ij para i 5 1, 2,... , m y j 5 1, 2,... , n.
EJEMPLO 6 Múltiplos escalares de matrices
Sea 5
A
⎟⎟^. Entonces^2
A
⎟⎟^ ,
(^13)
(^134323) (^1343) (^235373)
A ⎜⎜
⎟⎟^ y
A 5
EJEMPLO 7 Suma de múltiplos escalares de dos vectores
Sea
a (^5) ⎜⎜ ⎜
y
b 5
. Calcule 2 a 2 3 b.
Solución
2 a 2 3 b 52
El teorema que se presenta a continuación proporciona los hechos básicos sobre la suma de matrices y la multiplicación por escalares. Se demuestra la parte iii ) y se deja el resto de la prue- ba como ejercicio para el lector (vea los problemas 41 a 43).
1.5 Vectores y matrices 51
El ejemplo 7 ilustra la importancia de la ley asociativa de la suma de vectores ya que si se desea sumar tres matrices o más, únicamente se podrá hacerlo sumándolas de dos en dos. La ley aso- ciativa indica que esto se puede llevar a cabo de dos maneras diferentes obteniendo el mismo re- sultado. Si no fuera así, sería más difícil definir la suma de tres o más matrices ya que tendría que especificarse si se quiere definir la suma de A 1 B 1 C como ( A 1 B ) 1 C o como A 1 ( B 1 C ).
Problemas 1.
A U T O E V A L U A C I Ó N
I. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz 1 2 3 7 21 0
⎠⎟^
a) Es una matriz cuadrada. b) Si se multiplica por el escalar 2 1, el producto es 1 2 3 7 1 0
⎠⎟^
c) Es una matriz de 3 3 2.
d) Es la suma de 3 1 4 7 2 0
⎠⎟^
y 222 1 1 0 1 0
⎠⎟^
II. ¿Cuál de los incisos es 2A 2 4 B si A 5 (2 0 0) y B 5 (3 1)? a) ( 28 2 4) b ) (5 0 1) c ) (16 2 4 0) d ) Esta operación no se puede realizar.
III. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta cuando se encuentra a diferencias (res- tas) de dos matrices? a) Las matrices deben ser del mismo tamaño. b ) Las matrices deben ser cuadradas. c ) Las matrices deben ser ambas vectores renglón o vectores columna. d ) Una matriz debe ser un vector renglón y la otra un vector columna.
IV. ¿Cuáles serían los elementos de la segunda columna de la matriz B si 3 4 0 2 8 1
1 B 5?
a) 2 2, 2 8, 1 b) 4, 28 c) 2, 8, 21 d) 2 4, 8
V. ¿Cuál de las siguientes debe ser el segundo renglón de la matriz B si 3A 2 B 5 2 C para
AA 5 C
y ⎟ ⎟⎟⎟^?
b) Considere la siguiente gráfica dirigida
Defina
a ij 5 H
1 si la arista j va al nodo i 2 1 si la arista j sale del nodo i 0 de otra manera ¿De qué tamaño será A? Introduzca A 5 zeros(n,m) , donde n es el número de renglones y m es el número de columnas ( doc zeros ). Se modificará A columna por columna viendo una arista a la vez. Por ejemplo, A ([1 2],1) 5 [ 2 1;1] la arista 1 sale del [1] y va al [2] A (4 5], 8 5 [1; 2 1] la arista 8 sale del [5] y va al [4] Complete el proceso anterior para encontrar A.
3. a) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B de distinto tamaño. Encuentre A 1 B; ¿qué le dice MATLAB? b) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B del mismo tamaño. Suponga que s es un es- calar. De sus conocimientos algebraicos sobre las manipulaciones con números, ¿a qué conclusión llegaría sobre las relaciones sA* , sB* y s(A* 1 B)? Utilice una línea de comen- tario para escribir esta conclusión. Pruebe su conclusión con tres elecciones diferentes de s. Pruebe su conclusión con otra elección de A y otra elección de B para tres valores de s. (Si va a usar MATLAB para generar matrices aleatorias, consulte la presentación anterior de problemas de MATLAB 1.3.)
1.6 PRODUCTOS^ VECTORIAL^ Y^ MATRICIAL
En esta sección se analizará la forma en la cual se pueden multiplicar dos matrices. Es obvio que se puede definir el producto de dos matrices de m 3 n , A 5 ( a (^) ij ) y B 5 ( b (^) ij ) como la matriz m 3 n cuya componente ij es aij bij. Sin embargo, para casi todas las aplicaciones importantes que usan matrices, se requiere de otro tipo de producto. Explicaremos las razones de esto.
EJEMPLO 1 Producto de un vector de demanda y un vector de precios
Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está dada por el vector de de- manda d 5 (30 20 40 10) (una matriz de 1 3 4). El precio por unidad que recibe el fabricante
por los artículos está dado por el vector de precios p^^5
(una matriz de 4 3 1). Si se cumple
la demanda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante?
1.6 Productos vectorial y matricial 57
EJEMPLO 2 Producto escalar de dos vectores
Sea
a y bb 5 2
^. Calcule^ a^?^ b.
Solución a? b 5 (1)(3) 1 ( 2 2)( 2 2) 1 (3)(4) 5 3 1 4 1 12 5 19.
EJEMPLO 3 Producto escalar de dos vectores
Sea (^) a 5 2 26 b 5
(2, 3, 4, ) y
. Calcule a? b.
Solución Aquí a? b 5 (2)(1) 1 ( 2 3)(2) 1 (4)(0) 1 ( 2 6)(3) 5 2 26 1 0 218 5 2 22. El teorema se presenta a continuación y se deduce directamente de la definición del producto escalar. Se demuestra la parte ii ) y se deja el resto como ejercicio.
TEOREMA 1 Sean a , b y c tres n -vectores y sean a y b dos escalares. Entonces
iii. a? 0 5 0 iii. a? b 5 b? a (ley conmutativa del producto escalar) iii. a? (b 1 c) 5 a? b 1 a? c (ley distributiva del producto escalar) iv. (a a )? b 5 a (a? b)
Prueba de ii) Sean
a 5 b 5
a a
a
b b
n bn
1 2
1 y^ ^2
Entonces ab 5 ba para cualesquiera dos números a y b
a? b 5 a 1 b 1 1 a 1 b 1 1...^1 anbn 5 b 1 a 1 1 b 2 a 2 1...^1 bn an 5 b? a Observe que no existe una ley asociativa para el producto escalar. La expresión (a? b)? c 5 a? (b? c) no tiene sentido porque ninguno de los dos lados de la ecuación está definido. Para el lado izquierdo, esto se concluye a partir de que a? b es un escalar y el producto escalar del escalar a? b y el vector c no está definido. Ahora se define el producto de dos matrices.
1.6 Productos vectorial y matricial 59
60 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
DEFINICIÓN^2 Producto de dos matrices
Sea A 5 ( a (^) ij ) una matriz m 3 n , y sea B 5 ( b (^) ij ) una matriz n 3 p. Entonces el producto de A y B es una matriz m 3 p , C 5 ( c (^) ij ), en donde
cij 5 (renglón i de A )? (columna j de B ) (3)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene
c (^) ij 5 a (^) i 1 b 1 j 1 ai 2 b2j 1 … 1 a (^) in b (^) nj (4)
Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B , entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.
ADVERTENCIA (^) Dos matrices se pueden multiplicar únicamente si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda. De otra modo, los vectores que forman el renglón i en A y la columna j de B no tendrán el mismo número de compo- nentes y el producto punto en la ecuación (3) no estará definido. Dicho de otro modo, las matrices A y B serán incompatibles bajo la multiplicación. Para ilustrar esto se con- sideran las siguientes matrices de A y B :
a a a a a a
a a a
a a
n n
i i in
m m
aa
b b b b b b
mn
j p
μ
bb^ b
b b b b
j p
n n nj np
μ
i A
j B
Los vectores renglón y columna sombreados deben tener el mismo número de compo- nentes.
EJEMPLO 4 Producto de dos matrices de 2 3 2
Si A 5 1 33 2 4
y B , calcule AB y BA.
Solución A es una matriz de 2 3 2 y B es una matriz de 2 3 2, entonces C 5 AB 5 (2 3 2) 3 (2 3 2) también es una matriz de 2 3 2. Si C 5 ( c (^) ij ), ¿cuál es el valor de c 11? Se sabe que c 11 5 (1 er^ renglón de A )? (1ª columna de B )
62 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Solución Primero observe que A es una matriz de 2 3 3 y B es una matriz de 3 3 4. Por lo que el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Por lo tanto, el producto AB está defi- nido y es una matriz de 2 3 4. Sea AB 5 C 5 ( c (^) ij ). Entonces
c
c
11
13
23
c
c
⎟⎟^5
c
14
22
c
c
24
c 5 2 ⎟⎟
Así, AB 5 23 25 2 5 15 6 26 39
⎠⎟^
. Esto completa el problema. Observe que el producto BA no está definido ya que el número de columnas de B (cuatro) no es igual al número de renglones de A (dos).
EJEMPLO 6 Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa
En el siguiente ejemplo se muestra la forma en la cual se puede usar la multiplicación de matri- ces para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Suponga que cua- tro individuos han contraído esta enfermedad. Este grupo entra en contacto con seis personas de un segundo grupo. Estos contactos, llamados contactos directos , se pueden representar por una matriz de 4 3 6. Enseguida se da un ejemplo de este tipo de matrices. Matriz de contacto directo: primero y segundo grupos
A 5
En este caso se hace a (^) ij 5 1 si la i -ésima persona del primer grupo entra en contacto con la j -ésima persona del segundo grupo. Por ejemplo, el 1 en la posición (2,4) significa que la segun- da persona del primer grupo (infectada) entró en contacto con la cuarta persona del segundo grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cinco personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo. Esto también se puede representar mediante una matriz.
Matriz de contacto directo: segundo grupo y tercer grupo
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
B 5
Observe que b 64 5 0, lo que quiere decir que la sexta persona del segundo grupo no tiene con- tacto con la cuarta persona del tercer grupo. Los contactos indirectos o de segundo orden entre individuos del primero y tercer grupos se representan mediante la matriz de 4 3 5 C 5 AB. Para ver esto, observe que una persona del gru- po 3 puede quedar contagiada por alguien del grupo 2, quien a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. Por ejemplo, como a 24 5 1 y b 45 5 1 se ve que, indirectamente, la quinta persona del grupo 3 tuvo contacto (a través de la cuarta persona del grupo 2) con la segunda persona del grupo 1. El número total de contactos indirectos entre la segunda persona del grupo 1 y la quinta persona del grupo 3 está dado por
c 25 5 a 21 b 15 1 a 22 b 25 1 a 23 b 35 1 a 24 b 45 1 a 25 b 55 1 a 26 b 65 5 1? 1 1 0? 0 1 0? 0 1 1? 1 1 0? 0 1 1? 0 5 2
Ahora se calcula. Matriz de contacto indirecto: primero y tercer grupos
C 5 AB 5 1 000 1
Observe que únicamente la segunda persona del grupo 3 no tiene contactos indirectos con la enfermedad. La quinta persona de este grupo tiene 2 11115 4 contactos indirectos. Se ha visto que las matrices, en general, no conmutan. El siguiente teorema muestra que la ley asociativa sí se cumple.
TEOREMA^2 Ley asociativa para la multiplicación de matrices
Sea A 5 ( aij ) una matriz de n 3 m, B 5 ( bij ) una matriz de m 3 p y C 5 ( cij ) una matriz de p 3 q. Entonces la ley asociativa
A ( BC ) 5 ( AB ) C (5)
se cumple y ABC , definida por cualesquiera de los lados de la ecuación (5), es una matriz de n 3 q.
1.6 Productos vectorial y matricial 63
Observe que c 11
11 21
1
a a
am
es la primera columna de A , (^2)
12 22
2
a a
am
c ⎜⎜⎜ ⎜⎜
es la segunda columna de A , y
así sucesivamente. Entonces (9) se puede escribir como
A x 5 x 1 c 1 1 x 2 c 2 1 p 1 xn c n (10)
El lado derecho de la expresión (10) se llama combinación lineal de los vectores c 1 , c 2 , …, c n. Las combinaciones lineales se estudiarán con detalle en la sección 4.4. Aquí simplemente se observa el siguiente hecho de interés:
El producto de la matriz A de m 3 n y el vector columna x es una combinación lineal de las columnas de A.
Suponga ahora que B es una matriz de n 3 p. Sea C 5 AB y sea c 1 la primera columna de C. Entonces ⎛
c 1
11 21
1
11 5 5
c c
c
a
m
bb a b a b a b a b a b
n n n n
11 12 21 1 1 21 11 22 21 2 1
am (^) 1 b 11 (^) 1 a (^) m 2 b (^) 21 1! 1 a (^) mn bn 1
5 b 11
aa a
a
b
a a
m am
11 21
1
21
12 22
2
b
a a
a
n
n n
mn
1
1 2
es igual a la combinación lineal de las columnas de A. Lo mismo se cumple para todas las co- lumnas de C 5 AB , donde se ve que
Cada columna del producto AB es una combinación lineal de las columnas de A.
EJEMPLO 7 Cómo escribir las columnas de AB como combinación lineal de las columnas de A
Sean A 5 B
y
Entonces AB 5
⎟⎟^.^ Ahora bien
1.6 Productos vectorial y matricial 65
66 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
5 una combinación lineal de las columnas de A
y ⎛
5 una combinación lineal de las columnas de A.
M ULTIPLICACIÓN DE MATRICES POR BLOQUES
En ciertas situaciones es prudente manejar las matrices como bloques de matrices más peque- ñas, llamadas submatrices , y después multiplicar bloque por bloque en lugar de componente por componente. La multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices.
EJEMPLO 8 Multiplicación por bloques
Considere el producto
AB^55
El lector debe verificar que este producto esté definido. Ahora se realiza una partición de estas matrices mediante líneas punteadas.
AB 5
C ||
D
E F
G H
J K
Existen otras maneras de formar la partición. En este caso ⎛ ⎝⎜
C 5 1 21 K 5
, y así su- cesivamente. Si suponemos que todos los productos y las sumas de matrices están definidos, se puede multiplicar de manera normal para obtener
ABB C^ D
E F
G H
J K
CG DJ CH DK
EG 1 FJ | EH 1 FK
Ahora
5 2 2
CG
5 2 , DJ 5 2 ⎞
y ⎛ ⎝⎜
CG 1 DJ 5 22107 1321.
68 CAPÍTULO 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
L A NOTACIÓN CON (^) a
Una suma se puede escribir^9 de la siguiente manera, si N $ M.
a (^) M 1 a (^) M 11 1 aM 11 5 2 1 L^1 a^ N^5 ak k M
N ∑ (11)
que se lee “suma de los términos ak cuando el valor de k va de M a N ”. En este contexto a se llama signo de sumatoria y k se conoce como índice de la suma.
EJEMPLO 10 Interpretación de la notación de sumatoria
Extienda la suma 51
5 bk k^ ∑^
Solución (^) Comenzando con k 5 1 y terminando con k 5 5 se obtiene
5
1
5 k^ ∑^ bk^ b^1^^ b^2^^ b^2^^ b^4^^ b^5
EJEMPLO 11 Interpretación de la notación de sumatoria
Extienda la suma 53
ck k
66 ∑.
Solución (^) Comenzando con k 5 3 y terminando con k 5 6 se obtiene
53
ck k
66 ∑ 5 c 3^ 1 c 4^ 1 c 5^ 1 c 6
EJEMPLO 12 Interpretación de la notación de sumatoria
Calcule 2 k 522
3 ∑ k^.
Solución (^) En este caso a (^) k 5 k^2 y k va de 2 2 a 3.
2 k 522
(^32 2 2 ) ∑ k^ 5 2(^2 )^ 1 2(^1 )^1 ( )^0 11 1222 55 4 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 4 11 9 5519
Nota. Al igual que en el ejemplo 12, el índice de la sumatoria puede tomar valores enteros negativos o cero.
(^9) El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en usar la letra griega a (sigma) para denotar una suma.
SIGNO DE
SUMATORIA ÍNDICE DE LA SUMA
EJEMPLO 13 Cómo escribir una suma usando la notación de sumatoria
Escriba la suma S 8 5 1 2 2 1 3 2 4 1 5 2 6 1 7 2 8 usando el signo de sumatoria.
Solución Como 1 5 ( 2 1) 2 , 225 ( 2 1) 3? 2, 3 5 ( 2 1) 4? 3…, se tiene
8
1 1
8 5 21 1 5
S k k k
∑^ (^ )
EJEMPLO 14 Cómo escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria
La ecuación (1) para el producto escalar se puede escribir de manera compacta usando la no- tación de sumatoria:
Solución a ⋅ b 5 a b 1 1 (^) 1 a b 2 2 1 L 1 a bn n 5 aii i i
n b 51
∑
La fórmula (4) para la componente ij del producto AB se puede escribir
c ij 5 a bi 1 (^) 1 j 1 a bi 2 2 (^) j 1 L 1 a bin nj (^5) k 551 a bik kj
n ∑ (12)
La notación de sumatoria tiene propiedades útiles. Por ejemplo,
5
k 1 k^1 2
n ∑ ca^ ca^ ca^ ca^ L can
5 1 1 1 1 5 5
c a a a a (^) n c ak k
n ( 1 2 3 ) 1
⋅⋅⋅ (^) ∑
A continuación se resumen éste y otros hechos.
Hechos sobre la notación de sumatoria Sean { a (^) n } y { bn } dos sucesiones reales y c un número real. Entonces
5 5
ca (^) k c a k M
N k M k
N ∑ ∑ (13)
5
a (^) k b k M
N ∑ (^ k )^55 k 5 M^ a^ k^15 b
N k M k
N ∑ ∑ (14)
5 5 5
a (^) k b a b k M
N k (^) k M k
N ∑ (^ ) ∑ k M k
NN ∑ (15)
k M^ k
N k M k
m k m k
N ∑ a^ ∑ a^ ∑ a 5 5 5 1
1
si M , m , N (16)
Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicios (vea los problemas 104 a 106). Ahora se usará la notación de sumatoria para probar la ley asociativa y la ley distributiva.
1.6 Productos vectorial y matricial 69
