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VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN : El valor absoluto de un número
real “x” denotado por x; se define de la
siguiente manera:
x; si : x 0
x 0; si : x 0
x; si : x 0
^
Conclusión : El valor absoluto de un número
real cualquiera será siempre positivo ó cero.
Ejemplos:
25 25
12 ^ 12 12
Estos ejemplos nos darán a entender, que el
resultadote aplicar valor absoluto a una expresión
matematicazos dará siempre una expresión
positiva.
PRINCIPALES TEOREMAS:
x 0; x
(^2 ) x x ; x
x x; x
x x ; x
2 x x ; x
Además, si x e y son reales, entonces:
x.y x. y
x x ;con y 0 y y
x y x y x, y
x y x y xy 0
x y x y xy 0
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Teoremas:
x 0 x 0
x a a 0 ^ x a x a
x y x y x y
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver las inecuaciones con valor absoluto
se requieren del uso de los siguientes teoremas:
x y y 0 y x y
x y x y x y
x y x y x y 0
x y x y x y 0
PROBLEMAS PROPUESTOS
- Resolver: 5x 1 6
a)
b)
c)
d)
e)
- Resolver:
2 x 3 3 x
a) (^) 3;0;1; 2 b) (^) 3; 1;1;2 c) 2;0;1;2
d) (^) 3; 2;0; 2 e) 3; 1; 2
- Resolver: 2 3x 3x 2
a)
b)
c)
d)
e)
- Resolver y dar como respuesta el mayor valor
en el conjunto solución de: 2x 1 x
a) – 1 b)
c)
d) 1 e)
- Hallar la suma de elementos del conjunto
solución de:
2 x 5x 6
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
- Si el conjunto solución de:
x 2 3x 6 4x 8 2x 5 , tiene la
forma:
a b , 6 10
;hallar “a+b”.
a) 21 b) 32 c) 11 d) 10 e) – 10
- Determine el número de soluciones de la
ecuación: x 1 2003
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Resolver: x 3 5x
a)
b)
c)
d)
e)
- Resolver: 2x 5 7
a) ; 6 U 1; b) ; 6 U 1;
c) ; 6 U 1; d) ; 1 U 6;
e) ;1 U 6;
- Indicar el conjunto solución en:
x 5 2x 3
a) 8, 2 b)
c) 8, 2
d)
e)
- Resolver: 3 x 3x 5
a) (^) 1; 2 b) (^) 2; (^1) c) 1; 2
d) (^) 1; 2 e) 1; 2
- Resolver : x 5 5 4 x
a) (^) 2; 1;0 b) (^) 0; 2;4 c) 2; 2;0
d) (^) 4; 1;0 e) 2;0;1
- Resuelva: ^
2 x 3 9 x 3 20 0 ;dando
como respuesta la suma de los elementos del
conjunto solución.
a) 10 b) 12 c) 4 d) 6 e) 9
- Si: x 0 ;3. Calcular:
5x 48 3 2x 16 K x
a) 8 b) 11 c) 3 d) – 5 e) – 6
- Las soluciones de la ecuación; son:
3
x x 0
a) – 1; 0 b) – 2; – 1 c) – 2; 0 d) – 1; 0; 1 e) 0; 1
- Si: x 2, 3 , entonces el valor de:
3x 5 x 2 E 7x 8 3x 6
a) 2 b) 3 c)
d)
e) 6
- Hallar el conjunto solución en: 2 x 2 4 x 2 5
a) , 3
b) 7,
c) 3,
d) , 3 7,
e) , 3 7.
- Resolver: x 3 x 1
a) (^) 2 : 2 b) (^) 2 : 2 c) 2 : 2
d) (^) 2 : 0 e) 2 : 2
- Resolver:
2 2 x 4 x 2
a) 0; U 2 b) 0; c) 0; U 2
d) 2; e) 0; U 2
- Resolver:
2 4 x x
a) 4;4 b) 4;0 c) 0;4
d) 4;4 e) 4;4
- Resolver:
2
2
x 5x 6 6 x x 56
Señalar un intervalo del conjunto solución.
a) ; 8 b) 2;3 c) 7;
d) e)
- Resolver: x 6 2
Indicar su intervalo solución.
a) (^) 6; b) ;10 c)
d) e) 6;
- Hallar la suma de los enteros que verifican:
4 ^ x 3 ^ 7 ^ x 2 .. .^ I
4 ^ 2x 5 3x 8.. .^ II
a) – 20 b) – 21 c) – 22 d) 20 e) – 23
SEGUNDA PRÁCTICA DOMICILIARIA
- Resolver: 3x 5 9. Hallar la mayor
solución.
a)
b)
c)
d) 8 e) 9
- Resolver:
2 x 1 9. Hallar una solución.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
- Resolver: x 5 8. Hallar el intervalo
solución.
a) x ; 3 13; b)x 3;
c) x d)x
e)x 3;13
- Resolver: 2x 7 9. Indicar cuántos enteros
“x” la verifican.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 16
- Resolver: 2x 6 2x 6
a) (^) 3; b) c) 2;
d) (^) 3; e) 2;
- Resolver: 2x 4 x 10
a) (^) 2 b) (^) (^14) c) 14; (^2)
d) 2; 14 e) 14
- Resolver:
x 3
a) b) 3 c) (^) (^3)
d) 0 e) 3;3
- Resolver: x 6 10x
a)
b)
c)
d)
e) 0;
- Si:
2 2 x 4 3 x 1 x 5
el menor valor positivo que satisface la inecuación es:
a) 0 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2
- Indicar el conjunto solución en:
1 1 2x 3
a) ,1 2, b) ,1 (^) 2,
c) , 1 2, d) ,
e) 2,
- Halle el conjunto solución en la inecuación:
2 x 1 1
a) 1, 0 b) 1, 3 c) 2, 3
d) 1, 0 2, 3 e) 0, 2
MISCELÁNEA
- Resuelva:
9 5 2x x x 3 x 3
a) 1; 2 3;5 b) 1; 2 3;
c) 1;3 4; d) ; 2 3;
e) 1; 2 4;
- Resuelva:
3x 5x 13 9 12 (2 x) 2 3 5
a)
x ; 3
^ b)
x ; 2
c)
x ; 2
d)
x ; 2
e)
x ; 1
- Resolver el sistema:
2x 3 0 ...(1) (x 1)(2 x)
x 2 1 ...(2) 3x 2
Indicando un intervalo solución:
a) 2; b) 3; c) 2;
d) 1; e) 3;
- Para que el trinomio:
2 mx m 1 x m 1 sea positivo para
cualquier valor de “x”, se debe cumplir
que: m ;a b; ; hallar “ a b”
a) – 1/3 b) – 1 c) 2/3 d) 3/2 e)
1/
- Sabiendo que la siguiente inecuación
cuadrática: ^
2 ax 1 2a x a 0
se verifica para todo x , el conjunto de los
valores de “a” es:
a) ; 2 b) 1 / 4; c) 2;3
d) 1; e) 1/4;
- Si:
10 a 5
2 b 1
2 c 5
El mayor valor entero de
ab
c
, será:
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
- Al resolver la siguiente inecuación:
3x 10 1 2 x 7
se encuentran “n” soluciones enteras positivas.
Hallar el valor de:2n 1
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
- Dado: ^8 ^ x^ ^10 ^6. Calcular “ a^ b” si:
a 3x 4 b 2
a) 12 b) 14 c) 16 d) 25 e) 13
- Si: 3 x 7 ; hallar la variación de:
2x 1 M 2x 5
a) (^) 5;1 b) 5/3 ;7 c) 7;9
d) 5;7/3 e) 5/2 ;7
- Hallar la condición que debe satisfacer el
número “n” para que cualquiera que sea el valor
real atribuido a “x”, el trinomio:
2 x 2x nsea superior a 10.
a) n 11 b) n 13 c)n 13
d) n 11 e)n 10
- Determine cuántos valores enteros de k
satisface la siguiente inecuación para que se verifique para todox R
2 x k 3 x 5 0
a) 19 b) 21 c) 22 d) 23 e) 20
- Indique el conjunto de valores de “m” de modo tal que la inecuación:
(^) m 3 (^) x 2 2mx 4 0
se cumpla para todo valor de x .
a) (^) ; 0 b) (^) c) 2; 4
d) e) 0 ; +
- Entre que límites debe estar comprendido el valor de “k” para que la inecuación:
2 3 x 2kx k 16
se verifique, x.
a) 0 ; 1/2 b) 1/4 ; 3/4 c) 1/4 ; 5/
d) 1/4 ; 3/4 e) 0 ; 3/
- Hallar el menor número “M” con la propiedad
de que para todo (^) x Rse cumpla:
2 1 6x x M a) 9 b) 10 c) 30 d) 12 e) 20
